吉林省长春市市第八十七中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析

吉林省长春市市第八十七中学2021-2022学年高二数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列命题正确的是

A.四边形确定一个平面

B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C.经过三点确定一个平面

D.经过一条直线和一个点确定一个平面参考答案：B2.设的三边长分别为,的面积为,,若,,则( )A.{Sn}为递减数列

B.{Sn}为递增数列 C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列 D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列参考答案：B略3.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：D【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．4.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（）A．60° B．120° C．30° D．60°或120°参考答案：D【考点】平行公理．【分析】根据平行公理知道当空间两个角α与β的两边对应平行，得到这两个角相等或互补，根据所给的角的度数，即可得到β的度数．【解答】解：如图，∵空间两个角α，β的两边对应平行，∴这两个角相等或互补，∵α=60°，∴β=60°或120°．故选：D．5.已知过点P(-2,m)，Q(m,4)的直线的倾斜角为45°，则m的值为

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A略6.已知曲线与直线交于点,若设曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为,则的值为(

).A.

B.

C.

D.参考答案：A略7.下列命题中正确的个数为(

)（1）命题“”的否定是“”（2）函数在上为减函数（3）已知数列{}，则“成等比数列”是“”的充要条件（4）已知函数，则函数的最小值为2A.1 B.2

C.3

D.4参考答案：A8.命题“若，则”的逆否命题是（

）A.若，则或

B.若，则C.

D.参考答案：D略9.下列说法正确的是(

)A．a＞b?ac2＞bc2 B．a＞b?a2＞b2 C．a＞b?a3＞b3 D．a2＞b2?a＞b参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题．【分析】由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例．【解答】解：选项A，当c=0时，由a＞b，不能推出ac2＞bc2，故错误；选项B，当a=﹣1，b=﹣2时，显然有a＞b，但a2＜b2，故错误；选项C，当a＞b时，必有a3＞b3，故正确；选项D，当a=﹣2，b=﹣1时，显然有a2＞b2，但却有a＜b，故错误．故选C【点评】本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．10.在△ABC中，A、B、C分别为a、b、c所对的角，若a、b、c成等差数列，则B的范围是()A.0＜B≤

B.0＜B≤

C.0＜B≤

D.＜B＜π参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知tanα=2，则=．参考答案：由三角函数的诱导公式化简，再由弦化切计算得答案．解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．12.

已知数列的通项公式为若成等差数列，则的取值集合是___________参考答案：13.设实数满足，则的最大值是_____________.参考答案：2略14.如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．参考答案：【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．15.在如图所示的数阵中，第行从左到右第3个数是

参考答案：略16.若点为圆的弦的中点,则弦所在直线方程为_____参考答案：17.已知函数的单调递减区间是，则实数

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分10分）已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＋2.(1)求f(x)的表达式；(2)画出f(x)的图象，并指出f(x)的单调区间．参考答案：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2.又f(0)＝0，∴(2)先画出y＝f(x)(x>0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y＝f(x)(x<0)的图象，其图象如右图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．19.（本题满分14分）已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线、与抛物线分别相交于、以及、，若.（1）求此抛物线的方程.（2）试求四边形的面积的最小值.（3）设，过点的直线与抛物线相交于、两点，且，试将表示为的表达式.参考答案：设直线的斜率为，直线的方程为，联立消去得，从而，，故=1，化简整理得故，因为所以，即抛物线的方程为.

5分设直线的斜率为，则直线的斜率为.直线的方程为，联立消去得从而，，由弦长公式得，以换得，故所求面积为=（当时取等号），即面积的最小值为32.

10分设，直线的方程为，联立消去得，其即.又即由于，进而，消去得，==14分20.已知等差数列满足：.（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前n项和参考答案：(1)设等差数列的公差为d,则：

∴a3=a1+2d=7

①

a5+a7=2a1+10d=26②

由①②得：a1=3,d=2

∴an=a1+(n-1)d=2n+1

(2)bn=

∵

∴数列是首项为4，公比为4的等比数列。

∴

21.已知抛物线，为坐标原点，动直线与抛物线交于不同两点（1）求证:·为常数；（2）求满足的点的轨迹方程。参考答案：解：将代入，整理得，因为动直线与抛物线C交于不同两点A、B，所以且，即

解得:且．设，，则．（1）证明：·==∴·为常数．（2）解：．

设，则

消去得：．又由且得：，

，

∴，所以，点的轨迹方程为略22.已知函数的图象过点（－1，－6），且函数的图象关于y轴对称．(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a＞0，求函数y=f(x)在区间（a-1,a+1）内的极值．参考答案：解：（1）由函数f(x)图象过点（－1，－6），得m-n=-3,……①由f(x)=x3+mx2+nx-2，得f′（x）=3x2+2mx+n,则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n;而g(x)图象关于y轴对称，所以－＝0，所以m=-3,代入①得n=0.于是f′(x)＝3x2-6x=3x(x-2).由f′(x)>得x>2或x<0,故f(x)的单调递增区间是（－∞，0），（2，＋∞）；由f′(x)<0得0<x<2,故f(x)的单调递减区间是（0，2）.(Ⅱ)由（Ⅰ）得f′(x)＝3x(x-2),令f′(x)＝0得x=0或x=2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：X(-∞.0)0(0,2)2(2,+∞)f′(x)+0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗由此可得：当0