内蒙古自治区呼和浩特市单台子中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析

内蒙古自治区呼和浩特市单台子中学2022年高三数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离为

（

）

A．

B.

C．

D．参考答案：B2.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点： 充要条件．专题： 简易逻辑．分析： 求解：|x﹣2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．解答： 解：∵|x﹣2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的充分不必要条件．故选：A点评： 本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．3.若函数在内有极小值，则（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A4.如果函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，那么mn的最大值为(

)A．16 B．18 C．25 D．参考答案：B【考点】二次函数的性质；利用导数研究函数的极值；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．【分析】函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，则f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．结合基本不等式求出mn的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴f′（x）≤0，故（m﹣2）x+n﹣8≤0在[，2]上恒成立．而（m﹣2）x+n﹣8是一次函数，在[，2]上的图象是一条线段．故只须在两个端点处f′（）≤0，f′（2）≤0即可．即由（2）得m≤（12﹣n），∴mn≤n（12﹣n）≤=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足（1）和（2）．故选：B．

解法二：∵函数f（x）=（m﹣2）x2+（n﹣8）x+1（m≥0，n≥0）在区间[]上单调递减，∴①m=2，n＜8对称轴x=﹣，②即③即设或或设y=，y′=，当切点为（x0，y0），k取最大值．①﹣=﹣2．k=2x，∴y0=﹣2x0+12，y0==2x0，可得x0=3，y0=6，∵x=3＞2∴k的最大值为3×6=18②﹣=﹣．，k=，y0==，2y0+x0﹣18=0，解得：x0=9，y0=∵x0＜2∴不符合题意．③m=2，n=8，k=mn=16综合得出：m=3，n=6时k最大值k=mn=18，故选；B【点评】本题综合考查了函数方程的运用，线性规划问题，结合导数的概念，运用几何图形判断，难度较大，属于难题．5.复数(i是虚数单位)的实部是．参考答案：D6.已知过点（﹣2，0）的直线与圆O：x2+y2﹣4x=0相切与点P（P在第一象限内），则过点P且与直线x﹣y=0垂直的直线l的方程为（）A．x+y﹣2=0 B．x+y﹣4=0 C．x+y﹣2=0 D．x+y﹣6=0参考答案：B【考点】J7：圆的切线方程．【分析】求出P的坐标，设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，求出c，即可求出直线l的方程．【解答】解：由题意，切线的倾斜角为30°，∴P（1，）．设直线l的方程为x+y+c=0，代入P，可得c=﹣4，∴直线l的方程为x+y﹣4=0，故选B．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线方程，考查学生的计算能力，属于中档题．7.定义在R上的偶函数,满足,且在区间上为递增（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：A8.设点在不等式组表示的平面区域上，则的最小值为A．1

B．

C.2

D．参考答案：D9.已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，对称点为F'（m，n），即有=﹣，且?n=?，解得m=，n=﹣，将F'（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及点满足双曲线的方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．10.＝（2，1），＝（3，4），则向量在向量方向上的投影为（）A．2 B． C．2 D．10参考答案：C【解答】解：∵＝（2，1），＝（3，4），∴向量在向量方向上的投影为：?cosθ＝＝＝2二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，若则

。.参考答案：1略12.设向量满足，则＝(

)A．2

B．

C．4

D．参考答案：B略13.四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、3，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为，记，则随机变量的数学期望为

．参考答案：

3.5

14.曲线与直线所围成的封闭图形的面积为

.参考答案：15.已知，，设，的夹角为，则___________.参考答案：16.已知对称中心为原点的双曲线与椭圆有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该椭圆的标准方程为___________________。参考答案：17.函数的零点个数是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数（其中为常数，且）的图像经过点和点（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）若函数，求的值域参考答案：略19.(本小题满分12分)椭圆的上顶点为是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．参考答案：（1）（2）存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.【知识点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．H5H8解析：（1），由题设可知，得 ①

………1分又点P在椭圆C上， ② ③

………3分①③联立解得，

………4分故所求椭圆的方程为

………5分（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去y，整理得 （﹡）方程（﹡）有且只有一个实根，又，所以得

………8分假设存在满足题设，则由对任意的实数恒成立,所以，

解得，当直线的斜率不存在时，经检验符合题意.总上，存在两个定点，使它们到直线的距离之积等于1.…12分【思路点拨】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得?a2=2②，又b2+c2=a2=2③，①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由得，假设存在满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．20.十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领农村地区人民群众脱贫奔小康，扶贫办计划为某农村地区购买农机机器，假设该种机器使用三年后即被淘汰.农机机器制造商对购买该机器的客户推出了两种销售方案：方案一：每台机器售价7000元，三年内可免费保养2次，超过2次每次收取保养费200元；方案二：每台机器售价7050元，三年内可免费保养3次，超过3次每次收取保养费100元.扶贫办需要决策在购买机器时应该选取那种方案，为此搜集并整理了50台这种机器在三年使用期内保养的次数，得下表：保养次数012345台数110191442记x表示1台机器在三年使用期内的保养次数.（1）用样本估计总体的思想，求“x不超过2”的概率；（2）若y表示1台机器的售价和三年使用期内花费的费用总和（单位：元），求选用方案一时y关于x的函数解析式；（3）按照两种销售方案，分别计算这50台机器三年使用期内的总费用（总费用=售价+保养费），以每台每年的平均费用作为决策依据，扶贫办选择那种销售方案购买机器更合算？参考答案：（1）0.6；（2）；（3）355600，353300，第二种方案.【分析】（1）根据表中所给数据可得“不超过2”的频数，利用古典概型概率公式可求“不超过2”的概率；（2）当时，；当，，从而可得结果；（3）求出方案一中，这50台机器售价和保养总费用可得每年每台的平均费用，求出方案二中，这50台机器售价和保养总费用，可得每年每台的平均费用，比较两种方案每年每台的平均费用的大小，从而可得结果，【详解】（1）从上表中可以看出50台机器维修次数不超过2次的台数共30台，故“不超过2”的概率为.（2）当时，；当，，故关于的函数解析式为.（3）在方案一中，这50台机器售价和保养总费用为（元）.所以每年每台平均费用为元.在方案二中，这50台机器售价和保养总费用为（元）.所以每年每台平均费用为元.因为，所以扶贫办应选择第二种方案更合算.【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及古典概型概率公式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.21.已知,

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在处有极值，求的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数，使在区间的最小值是3，若存在，求出的值；

若不存在，说明理由