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文档简介

会计学1D定积分的概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.矩形面积梯形面积第1页/共25页解决步骤:1)

大化小.用直线将曲边梯形分成n

个小曲边梯形;2)

常代变.作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得在区间[a,b]中

插入

n–1个分点任意在第i

个窄曲边梯形上任取第2页/共25页3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积第3页/共25页2.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)大化小.将它分成在每个小段上物体经2)常代变.得已知速度n

个小段过的路程为第4页/共25页3)近似和.4)取极限.上述两个问题的共性:

解决问题的方法步骤相同:“大化小,常代变,近似和,取极限”

所求量极限结构式相同:特殊乘积和式的极限第5页/共25页二、定积分定义任取一点总趋于确定的极限

I,则称此极限I为函数在区间即记作任意一种分法上的,定积分此时称

f(x)在[a,b]上.可积(P194)第6页/共25页积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即第7页/共25页定积分的几何意义:曲边梯形面积曲边梯形面积的负值各部分面积的代数和第8页/共25页可积的充分条件:取定理1定理2且只有有限个间断点(证明略)例1解将[0,1]n

等分,分点为利用定义计算定积分第9页/共25页注

当n较大时,此值可作为的近似值注：第10页/共25页[注]

利用得两端分别相加,得即第11页/共25页例2解

用定积分表示下列极限:第12页/共25页三、定积分的性质(设所列定积分都存在)(k为常数)证=右端规定定积分的线性性质第13页/共25页证时,因在上可积,所以在分割区间时,可以永远取

c

为分点,于是当积分对积分区间具有可加性第14页/共25页当a,b,c

的相对位置任意时,例如则有综上可得,对任意位置的c，都有第15页/共25页5.则证推论1则若在[a,b]上若在[a,b]上证推论2即第16页/共25页例3证则在上,有即故即试证:

设6.则设第17页/共25页7.

积分中值定理则至少存在一点使证

则由性质6

可得根据闭区间上连续函数介值定理,使因此定理成立.第18页/共25页说明:

可把故它是有限个数的平均值概念的推广.

积分中值定理对因第19页/共25页例4计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均速度.解故所求平均速度已知自由落体速度为第20页/共25页内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式线性性质不等式性质积分对区间的可加性测度性质第21页/共25页思考与练习1.用定积分表示下述极限:解或第22页/共25页思考

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