上海星火学校2022年高二数学文上学期期末试题含解析

上海星火学校2022年高二数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式x2＞x的解集是（）A．（﹣∞，0） B．（0，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）参考答案：D【考点】一元二次不等式的解法．【分析】对不等式先进行移项，然后再提取公因式，从而求解．【解答】解：∵不等式x2＞x，∴x2﹣x＞0，∴x（x﹣1）＞0，解得x＞1或x＜0，故选D．【点评】此题比较简单，主要考查一元二次不等式的解法：移项、合并同类项、系数化为1．2.已知的三个内角的对边分别是，且，则角

等于（A）

（B）或

（C）

（D）

参考答案：A略3.等腰三角形ABC底边两端点坐标分别为B(4，2)、C(－2，0)，则顶点A的轨迹方程是(

)A．

B．C．

D．参考答案：C4.已知P：2＋2＝5，Q:3>2,则下列判断错误的是（

）A.“P或Q”为真，“非Q”为假；

B.“P且Q”为假，“非P”为真；C.“P且Q”为假，“非P”为假；

D.“P且Q”为假，“P或Q”为真参考答案：B略5.下列有关命题的说法正确的是

（

） A．命题“若，则”的否命题为“若，则” B．命题“”的否定是“” C．命题“若，则”的逆否命题为假命题 D．若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真命题参考答案：D略6.已知2016-2018年文科数学全国Ⅱ卷中各模块所占分值百分比大致如图所示：给出下列结论：①选修1-1所占分值比选修1-2小；②必修分值总和大于选修分值总和；③必修1分值大致为15分；④选修1-1的分值约占全部分值的.其中正确的是（

）A.①② B.①②③ C.②③④ D.②④参考答案：C【分析】由对图表信息的分析、成立结合百分比逐一运算即可得解.【详解】解：对于①，选修1-1所占分值比为20%选修1-2所占分值比为6.8%即选修1-1所占分值比选修1-2大；对于②，必修分值总和为66.5%大于选修分值总和33.5%，即必修分值总和大于选修分值总和；对于③，必修1分值大致为150×10%=15分；对于④，选修1-1的分值约占全部分值的=.即正确的是②③④，故选C.【点睛】本题考查了对图表信息的分析处理能力，属基础题.7.A，B，C，D四点都在一个球面上，AB=AC=AD=，且AB，AC，AD两两垂直，则该球的表面积为（）A．6π B． C．12π D．参考答案：A【考点】球的体积和表面积．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=6π．故选：A．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题8.下列选项错误的是（

）A.“”是“”的充分不必要条件.B.命题“若，则”的逆否命题是“若，则”C.若命题“”，则“”.D.若“”为真命题，则p，q均为真命题.参考答案：D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，逆否命题的定义、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系依次对选项进行判断即可得到答案。【详解】对于A,由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故A正确；对于B，根据逆否命题的定义可知命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，故B正确；对于C,由全称命题的否定是存在命题，可知若命题“”，则“”，故C正确；对于D,根据复合命题的真值表可知若“”为真命题，则至少一个为真命题，故D错误。故答案选D【点睛】本题考查命题真假的判定，涉及到逆否命题的定义、充分条件与必要条件的判断、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系，属于基础题。

9.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值为(

) A． B．

C．

D．参考答案：D略10.△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，则=（）A．15 B．9 C．﹣15 D．﹣9参考答案：B【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算律．【分析】根据平面向量的数量积与勾股定理，即可求出的值．【解答】解：△ABC中，AB=3，BC=4，CA=5，∴⊥，如图所示；∴=||×||×cosA=||×||=3×3=9．故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD和DC上运动，设，将△ABP沿BP折起，使得二面角A—BP—C成直二面角，当为__________时，AC长最小．参考答案：45略12.已知命题p：，q：直线的倾斜角的取值范围是，由它们组成的“”、“”、“﹁p”形式的新命题中，真命题的个数为

▲

参考答案：113.对于命题：，则是

．参考答案：14.若，则的值等于

．参考答案：略15.若，则角的终边落在第

象限.参考答案：二16.一个容量为20的样本数据，数据的分组及各组的频数如下：（10，20），2；（20，30），3；（30，40），4；（40，50），5；（50，60），4；（60，70），2．则样本在区间（－∞，50）上的频率为_▲_．参考答案：0.717.已知集合，，若，则a的取值范围是_____________．参考答案：【分析】因为，所以，建立不等关系即可求出的取值范围。【详解】因为，所以由已知集合，所以当时，满足题意，此时，即当时，要使成立，则，解得综上的取值范围是【点睛】本题考查集合的包含关系，解题的关键是不要忘了空集这一特殊情况，属于一般题。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？参考答案：（1）256（2）24（3）144【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有种不同的放法．【点睛】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.19.如图所示，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点．（1）求证：B1C∥平面A1DB；（2）求直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．

参考答案：【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AB1，交A1B于点O，由三角形中位线定理得OD∥B1C，由此能证明B1C∥平面A1DB．（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值．【解答】证明：（1）连结AB1，交A1B于点O，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，ABB1A1是矩形，∴O是AB1中点，∵D为AC中点，∴OD∥B1C，∵OD?平面A1DB，B1C?平面A1DB，∴B1C∥平面A1DB．解：（2）取A1C1中点E，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2，D为AC中点，∴B（0，，0），D（0，0，0），A1（﹣1，0，2），C1（1，0，2），=（0，﹣，0），=（﹣1，﹣，2），=（1，﹣，2），设平面A1BC1的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，2，3），设直线BD与平面A1BC1所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=||=∴直线BD与平面A1BC1所成的角的正弦值为．20.如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：DM∥平面APC；（2）求证：平面ABC⊥平面APC；（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．参考答案：【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离．【分析】（1）要证DM∥平面APC，只需证明MD∥AP（因为AP?面APC）即可．（2）在平面ABC内直线AP⊥BC，BC⊥AC，即可证明BC⊥面APC，从而证得平面ABC⊥平面APC；（3）因为BC=4，AB=20，求出三棱锥的高，即可求三棱锥D﹣BCM的体积．【解答】证明：（I）由已知得，MD是△ABP的中位线∴MD∥AP∵MD?面APC，AP?面APC∴MD∥面APC；

（II）∵△PMB为正三角形，D为PB的中点∴MD⊥PB，∴AP⊥PB又∵AP⊥PC，PB∩PC=P∴AP⊥面PBC∵BC?面PBC∴AP⊥BC又∵BC⊥AC，AC∩AP=A∴BC⊥面APC，∵BC?面ABC∴平面ABC⊥平面APC；

（III）由题意可知，三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．MD⊥面PBC，BC=4，AB=20，MB=10，DM=5，PB=10，PC==2，∴MD是三棱锥D﹣BCM的高，S△BCD=×=2，∴．【点评】本题考查直线与平面的平行，三棱锥的体积，平面与平面垂直的判定，是中档题．21.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知侧面，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=.

(1)求证：C1B⊥平面ABC；

（2）设=l(0≤l≤1)，且平面AB1E与BB1E所成的锐二面角

的大小为30°，试求l的值.参考答案：解：（1）因为侧面,侧面，故,在中,由余弦定理得：，所以，

故,所以,而平面（2）由（1）可知，两两垂直.以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，,.所以,所以,则.

设平面的法向量为，则由,得,即，令，则是平面的一个法向量.