上海市长宁第二中学2021年高一数学文期末试题含解析

上海市长宁第二中学2021年高一数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.直角坐标系xOy中，已知点P(2﹣t，2t﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l：．若对任意的tR，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为A.(0，2) B.(2，3) C.(，) D.(，3)参考答案：C【分析】先求出点P的轨迹和直线l的方程，再求点Q关于直线l对称点Q′的坐标.【详解】设点P(x,y),所以所以点P的轨迹方程为2x+y-2=0.对任意的tR，点P到直线l的距离为定值，所以直线l的方程为2x+y=0.设点点Q关于直线l对称点Q′的坐标为，所以.故选：C【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查点线点对称问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2.把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份

之和，则最小1份是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.已知幂函数的图像过点，则这个幂函数的解析式是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略4.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B5.若函数，则的值为

（）A．5

B．－1C．－7

D．2参考答案：D6.（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角为（） A． 30° B． 45° C． 60° D． 90°参考答案：D考点： 异面直线及其所成的角．专题： 计算题．分析： 连接B1G，EG，先利用长方形的特点，证明四边形A1B1GE为平行四边形，从而A1E∥B1G，所以∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角，再在三角形B1GF中，分别计算三边的长度，利用勾股定理即可得此角的大小解答： 如图：连接B1G，EG∵E，G分别是DD1，CC1的中点，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四边形A1B1GE为平行四边形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即为异面直线A1E与GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴异面直线A1E与GF所成角为90°故选D点评： 本题考查了空间异面直线所成的角的作法、证法、算法，长方体的性质及其中的数量关系的应用，将空间问题转化为平面问题的思想方法7.函数y=的图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【分析】根据x的变化趋势，得到y的变化趋势，问题得以解决．【解答】解：当x→﹣∞时，x3→﹣∞，3x﹣1→﹣1，故y→+∞，当x→+∞时，x3→+∞，3x﹣1→+∞，且故y→0，故选：A．8.某高中在校学生2000人，高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表，其中a：b：c=2：3：5，

高一级高二级高三级跑步abc登山xyZ全校参与登山的人数占总人数的．为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二级参与跑步的学生中应抽取（）A．36人 B．60人 C．24人 D．30人参考答案：A【考点】分层抽样方法．【分析】先求得参与跑步的总人数，再乘以抽样比例，得出样本中参与跑步的人数．【解答】解：全校参与跑步有2000×=1200人，高二级参与跑步的学生=1200××=36．故选A9.已知函数，给出下列四个结论：①函数f(x)满足；

②函数f(x)图象关于直线对称；③函数f(x)满足；

④函数f(x)在是单调增函数；其中正确结论的个数是（

）A.1 B.2 C.3 D.4参考答案：C【分析】求出余弦函数的周期，对称轴，单调性，逐个判断选项的正误即可。【详解】函数，函数的周期为，所以①正确；时，，函数取得最大值，所以函数图象关于直线对称，②正确；函数满足即．所以③正确；因为时，，函数取得最大值，所以函数在上不是单调增函数，不正确；故选C．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、周期性以及对称轴等性质的应用。10.已知，那么等于（

）

A．2

B．4

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点，点，若，则点的坐标是

。参考答案：（3，4）略12.计算：2lg5+lg4=

．参考答案：2【考点】对数的运算性质．【分析】把lg4化为2lg2，提取2后直接利用对数式的运算性质得答案．【解答】解：2lg5+lg4=2（lg5+lg2）=2lg10=2．故答案为2．13.已知，，则

．参考答案：1利用两角和差的正弦公式可得：，故，则

14.函数的定义域为

；参考答案：15.函数

在区间上单调递增，则实数a的取值范围是_____参考答案：16.已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列四个论断中正确的是__________．（把你认为是正确论断的序号都写上）①若，则；②若，，，则满足条件的三角形共有两个；③若a，b，c成等差数列，=sin2B，则△ABC为正三角形；④若，，△ABC的面积，则.参考答案：①③①由正弦定理可得，又，所以，正确。②由于，所以钝角三角形，只有一种。错。③由等差数列，可得，得,sinAsinB=sin2B，得，,所以，等边三角形，对。④，所以或，或，错。综上所述，选①③。

17.=__________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？参考答案：【考点】HR：余弦定理．【分析】（1）根据正弦定理即可确定出AB的长；（2）设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，由余弦定理可得；（3）设乙步行的速度为vm/min，从而求出v的取值范围．【解答】解：（1）在△ABC中，因为cosA=，cosC=，所以sinA=，sinC=，从而sinB=sin=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC==由正弦定理，得AB===1040m．所以索道AB的长为1040m．（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100+50t）m，乙距离A处130tm，所以由余弦定理得d2=（100+50t）2+（130t）2﹣2×130t×（100+50t）×=200（37t2﹣70t+50）=200，因0≤t≤，即0≤t≤8，故当t=min时，甲、乙两游客距离最短．（3）由正弦定理，得BC===500m，乙从B出发时，甲已经走了50×（2+8+1）=550m，还需走710m才能到达C．设乙步行的速度为vm/min，由题意得﹣3≤≤3，解得，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在[]范围内．【点评】此题考查了余弦定理，锐角三角函数定义，以及勾股定理，利用了分类讨论及数形结合的思想，属于解直角三角形题型．19.（10分）已知数列{an}的首项a1=1，且满足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由满足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．整理得﹣=1，利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由（1）知：cn==n?3n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）由满足（an+1﹣1）an+an+1=0（n∈N*）．整理得﹣=1，∴数列是等差数列，首项与公差都为1．∴=1+（n﹣1）=n，∴an=．（2）由（1）知：cn==n?3n，∴数列{cn}的前n项和Sn=3+2×32+3×33+…+n?3n，∴3Sn=32+2×33+…+（n﹣1）?3n+n?3n+1，∴﹣2Sn=3+32+…+3n﹣n?3n+1=﹣n?3n+1=×3n+1﹣，∴Sn=×3n+1+．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．20.（本题12分）数列的前项和记作，满足（Ⅰ）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；（Ⅱ）记，数列的前项和为，求。参考答案：（1）（2）；21.已知函数＝（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）利用函数单调性定义证明函数在区间上为增函数.参考答案：（1）函数＝既不是奇函数，也不是偶函数，………2分

理由如下：

，

注意到，

故且

所以函数＝既不是奇函数，也不是偶函数.………7分

（2）设为区间上的任意两个值，且，

因为=

……10分

又故，，所以……12分

即，故函数＝区间上为增函数.…14分

略22.（本题满分12分）已知圆过点，且圆心在直线上。（I）求圆的方程；（II）问是否存在满足以下两个条件的直线:①斜率为；②直线被圆截得的弦为，以为直径的圆过原点.若存在这样的直线，请求出其方程；若不存在，说明理由.参考答案：(1)设圆C的方程为则解得D=-6,E=4,F=4所以圆C方程为

--------------------------------5分（2）设直线存