2022-2023学的人教版七年级下册数学期末压轴题训练

七年级下学期数学期末压轴题训练

1.探究并尝试归纳:

(1)如图1,已知直线a与直线3平行，夹在平行线间的一条折线形成一个角N4试求

N1+/2+/4的度数，请加以说明.

(2)如图2,已知直线a与直线6平行，夹在平行线间的一条折线增加一个折，形成两

个角//和请直接写出/1+/2+/月+/6=度.

(3)如图3,已知直线a与直线6平行，夹在平行线间的一条折线每增加一个折，就增

加一个角.当形成〃个折时，请归纳并写出所有角与Nl、N2的总和：—【结果用

含有〃的代数式表示，〃是正整数，不用证明】

2.如图，已知"〃CD,反尸分别在A3、8上，点G在A8、切之间，连接GE、GF.

(1)当NBEG=40。时，EP平分NBEG,FP平分ZDFG；

①如图1,当EGLFG时，则NP=_°；

②如图2,在C£＞的下方有一点0,若EG恰好平分N8EQ,/T＞恰好平分NGFQ,求

NQ+2々的度数；

(2)在的上方有一点0,若尸。平分NGFC.线段GE的延长线平分NOE4,则当

ZEOF+ZEGF=100。时，直接写出ZOEA与ZOFC的关系.

O.

B

3.问题情境：如图1,已知45〃C/),Z4PC=108°.求NR4B+NPCD的度数.

经过思考，小敏的思路是：如图2,过P作PE〃福,根据平行线有关性质，可得

NPAB+ZPCD=3600-ZAPC=252°.

问题迁移：如图3,8G点尸在射线〃犷上运动，ZADP=Na,ABCP=A/3.

(1)当点。在4、6两点之间运动时，NCPD、乙a、4之间有何数量关系？请说明

理由.

(2)如果点P在46两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不重合)，请你直接写出ACPD、

Na、”之间的数量关系.

⑶问题拓展：如图4,MA,//NA„,A-^-4-MT是一条折线段，依据此图

所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为二

4.如图1,AB//CD,E是AB,⑦之间的一点.

⑴判定N员伤，/0应与//口之间的数量关系，并证明你的结论；

⑵如图2,若NBAE,应的角平分线交于点E直接写出/加力与/月初之间的数量

关系；

⑶将图2中的射线DC沿翻折交",于点G得图3,若///的余角等于2N6的补角，

求/历史的大小.

5.已知：如图1,直线4分/5，E尸分别交AB,CD于E,尸两点，/AEF,NCFE

的平分线相交于点

(1)求NM的度数；

(2)如图2,ZAEM,DC7区的平分线相交于点M1,请写出N/与NM之间的等量关

系，并说明理由；

⑶在图2中作NAEM-NCR%的平分线相交于点历2,作乙4EM2,NCFM2的平分

线相交于点加3,依此类推，作NCFMM。的平分线相交于点以，请直接

写出/“2。21的度数.

6.已知AM〃CN,点占为平面内一点，AB上BC于B.

(1)如图，直接写出N4和NC之间的数量关系.

B

求证：ZABD=NC.

(3)如图，在(2)间的条件下，点£,尸在〃〃上，连接班t,BF,CF,BF斗分/DBC,

BE平■分■NABD,若NFCB+NM才=180°,NBFC=3NDBE,求NE3c的度数.

7.如图1,把一块含30°的直角三角板的回边放置于长方形直尺侬Z?的房边上.

(1)填空：Zl=,N2=；

(2)现把三角板绕6点逆时针旋转.如图2,当0<〃<90,且点C恰好落在加边

上时，

①请直接写出N2=°(结果用含〃的代数式表示)

②若N1与N2恰好有一个角是另一个角的1■倍，求"的值

(3)若把三角板绕6点顺时针旋转.当0<〃<360时，是否会存在三角板某一边

所在的直线与直尺(有四条边)某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有〃

的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由.

8.已知，AB〃DE,点C在AB上方,连接6C、CD.

(1)如图1,求证：NBCD+ZCDE=NABC；

(2)如图2,过点。作组6c交"的延长线于点凡探究和/尸之间的数量关

系；

(3)如图3,在(2)的条件下，/C叨的平分线交切于点G,连接四并延长至点

若BH*分■NABC,求/脑-N呼的值.

9.如图，直线4?〃直线切，线段4'〃切，连接跖、CF.

(1)求证：4ABF+4DCF=4BFC；

(2)连接儆CE、BC,若郎平分NABC,BEICE,求证：CE平■令4BCD；

(3)在(2)的条件下，G为用上一点，连接6G,若4BFC=4BCF,4FBG=2NECF,

/CBG=70°,求/斯的度数.

图1图2图3

10.已知/97切.

(1)如图1,E为AB,⑦之间一点，连接喝DE,得到/刎.求证：4BED=4吩ND；

(2)如图，连接1。，BC,防平分N46GDF平■分乙ADC,且孙；小'所在的直线交于点

F.

①如图2,当点8在点力的左侧时，若N46C=50°,N47C=60°,求/月的度数.

②如图3,当点8在点A的右侧时，设NMC=a,AADC=B,请你求出/质的度数.(用

含有a,B的式子表示)

图1图2图3

11.已知：如图(1)直线力从口被直线秘V所截，N1=N2.

(1)求证：AB//CD-,

(2)如图(2),点£在/18龙之间的直线版V上，P、0分别在直线力氏CD上,连接

PE、EQ,PF平分乙BPE,QF平■'分乙EQD,则/必,0和/必B之间有什么数量关系，请直接

写出你的结论；

(3)如图(3),在(2)的条件下，过。点作/W偌交切于点〃，连接版若图平

分乙EPH,/QPF：NEQF=k5,求/哪的度数.

12.如图1,肠必图点G6分别在直线加V、图上，点力在直线版KPQ之间.

(1)求证：NCAB=NMCA+NPBA；

(2)如图2,CD〃AB,点、E在PQ上,4EC"4CAB,求证：4MCA=NDCE；

(3)如图3,BF平分NABP,CG平分N4CV,AF//CG.若/。8=60°,求/力阳的度数.

图1图2图3

13.已知，AB//CD.点”在49上，点/V在a?上.

(1)如图1中，乙BME、NE、NEW的数量关系为：—；(不需要证明)

如图2中，ZW；/尸、的数量关系为：—；(不需要证明)

(2)如图3中，鹿平分NR皿，,监平分NE监，且2N6+N6=180°,求/同e的度数；

(3)如图4中，N8监'=60°,EF平■分4MEN,NP平■分4END,且EQ〃NP,则/此的

大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出/碇的度数.

14.阅读下面材料：

小亮同学遇到这样一个问题：

已知：如图甲，ABHCD,E为AB,5之间一点，连接豳DE,得到N6出

求证：NMAN屏

(1)小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整.

证明：过点《作"//力8,

则有/啊

'：ABHCD,

：.AFED=_.

：.N版=NBEF+4FEgN田

(2)请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，

已知：直线a//6,点46在直线a上，点C,〃在直线6上，连接AD,BC,BE平分4ABC,

瓦1平分B.BE,庞所在的直线交于点£.

①如图1,当点8在点力的左侧时，若N46C=60°,N47C=70°,求/质的度数：

②如图2,当点8在点力的右侧时，设NABC=a,NADC=8,请你求出/质的度数

(用含有a,£的式子表示).

15.如图，以直角三角形40c的直角顶点。为原点，以0C、2所在直线为x轴和y轴

建立平面直角坐标系点4(0,a),C(b,0)满足Ja-26+|0-2|=0.〃为线段的中

点.在平面直角坐标系中以任意两点户(入,%)、/加,%)为端点的线段中点坐标为(4警

(1)则力点的坐标为;点。的坐标为.。点的坐标为.

(2)已知坐标轴上有两动点只0同时出发，尸点从C点出发沿“轴负方向以1个单位

长度每秒的速度匀速移动，。点从。点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移

动，点Q到达A点整个运动随之结束.设运动时间为t(t>0)秒.问：是否存在这样

的t,网SAOD—SAODQ,若存在，请求出t的值：若不存在，请说明理由.

(3)点尸是线段“'上一点，满足/AOC=NR6,点G是第二象限中一点，使得N4%

=/AOF.点£是线段》上一动点，连夜交加于点〃，当点£在线段的上运动的过

程中，幺竺之M笠的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值，若变化请说明理

ZOEC

由.

16.已知4MCN,点8为平面内一点，ABJ_BC于B.

(1)如图1,求证：NA+NC=90。；

(2)如图2,过点8作B£»_LM4的延长线于点。，求证：ZABD=ZC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、尸在DW上，连接BE、8F、CF,且8尸平

令NDBC,BE平分/AfiO,若ZAFC=ZBCF,NBFC=3NDBE,求NEBC的度数.

17.如图1,点A、8分别在直线G”、MN上,NGAC=ANBD,NC=ND.

(1)求证：GHUMN；(提示：可延长4c交MN于点尸进行证明)

(2)如图2,AE平分NG4C,DE平分NBDC,若/AED=NG4C,求NGAC与NACD

之间的数量关系；

(3)在(2)的条件下，如图3,BF平分ND8W,点K在射线跳1上，ZKAG=^ZGAC,

^ZAKB=ZACD,直接写出NG4C的度数，

18.已知直线/,///,,点A,C分别在4,4上，点8在直线4,%之间，且ZBCN<NBAM<90°.

(1)如图①，求证：ZABC=ZBAM+ZBCN.

阅读并将下列推理过程补齐完整：

过点6作BG//NC,因为〃〃2,

所以AM〃()

所以Z/WG=N3AW,NCBG=NBCN()

所以ZABC=ZABG+NCBG=NBAM+ZBCN.

(2)如图②，点。，£在直线4上，S.ZDBC=ZBAM,应'平分/ABC.

求证：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的条件下，如果/CBE的平分线跖与直线4平行，试确定ZBAM与NBCN

之间的数量关系，并说明理由.

参考答案:

1.(1)360°

(2)540

⑶18O-(n+l)°

【分析】(1)过A作A8〃直线。，再根据平行线的性质即可得到结论；

(2)过A作AC〃直线。，30〃直线。，则/CZ物//直线6,根据平行线的性质即可得到

结论；

(3)根据平行线的性质即可得到结论.

【解析】(1)解：过｛作/〃/直线。，

则仍/直线b,

Zl+Z3=Z4+Z2=180°,

.-.Z1+Z2+ZMAN=360。；

(2)解：过A作4。/直线“，姒/直线”，

则〃//"/直线。，

Nl+N3=N5+N6=N4+N2=180°,

Z1+Z2+ZMAB+ZABN=540°,

故答案为：540；

(3)解:由(1),(2)知,

当形成1个折时，所有角与Nl、N2的总和=180(1+1)。=360。，

当形成2个折时，所有角与Nl、N2的总和=180-(2+1)。=540。，

当形成〃个折时，所有角与Nl、N2的总和=180(〃+1)。,

故答案为：180("+1)。.

1

N

图1

【点评】本题考查了平行线的性质，正确的作出图形是解题的关键.

2.⑴①45；②120。

(2)3ZOEA-ZOFC=160°

【分析】(1)根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；

(2)过点。作OT〃A8,则。7〃。设/0爪=/0柘=/，ZOEH=ZHEA=a,

NG=NBEG+NGF£>=a+18()o-277,根据平行线的性质求得a+乃=80。，进而根据

3NOE4-NOHC=3/7-(/-2a)=2/+2a=160。即可求解.

【解析】(1)①如图，分别过点G,P作GN〃AB,PM〃A3,

B

图1

：,/BEG=/EGN,

AB//CD,

:.ZNGF=ZGFD,

ZEGF=ZBEG+NGFD,

同理可得NEP/=NN石P+NPED,

EG1FG,

.\ZEGF=90°,

族平分ZBEG,FP平分/DFG；

/.BEP=-/BEG,ZPFD=-ZGFD,

22

/EPP=|(/BEG+ZGFD)=|ZEGF=45°

故答案为：45,

②如图，过点。作QR〃。,

图2

ZBEG=40°,

EG恰好平分NBEQ,FD恰好平分/GFQ,

ZGEQ=^BEG=40°f/GFQ=/QFD,

设乙GFQ=4QFD=a,

QR//CD,AB//CD,

二ZEQR=180O-ZQEB=180°-2ZQEG=100°,

CD//QR,

・•./DFQ+NFQR=180。,

a+ZF0/?=180°,

:.a+ZFQE=S009

ZFeE=80°-a,

由(1)可知NG=2NP=NBEG+NEFD=400+a,

NFQE+2NP=80°-a+40°+a=120°；

(2)如图，在AB的上方有一点0,若尸。平分NGFC,线段GE的延长线平分NOE4,设”

为线段GE的延长线上一点，

贝|JNOFC=NOEG,NOEH=NHEA

设ZOFC=ZOFG=0,ZOEH=NHEA=«

如图，过点。作OT〃A8,则OT〃C。

.-.^TOF=ZOFC=/3,/TOE=ZOEA=2a

NEOF=0-2a

ZHEA=/BEG=a,4GFD=180°-2/3

由(1)可知NG=N3EG+NGF£>=a+18()o-2/7

ZEOF+ZEGF=100°

0-2a+a+1800-2/?=100°

.5+夕=80°

ZOFC=p-2a,ZOEA=0

..3/OE4—NOFC=3£—(尸一2a)=24+2a=160。

即3ZOEA-ZOFC=160°

【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键.

3.(DN。氏理由见解析

⑵4CPD=2£-/a或/⑦9=/a-4B

(3)N1/+N力/+…+N//?=/8/+/昆+…+N加

【分析】(1)过P作在〃/〃，根据平行线的判定可得在〃/〃〃8G再根据平行线的性质即

可求解；

⑦这P作PE〃AD,根据平行线的判定可得跳〃4?〃及7,再根据平行线的性质即可求解;

(3)问题拓展：分别过念4…，4,作直线〃/圈过8,B,,­,8T作直线〃4M根据平

行线的判定和性质即可求解.

【解析】(1)户/a+N£,理由如下：

如图，过P忤PE〃AD交CD于E,

：,AD//PE//BQ

：・4a=4DPE,4B=4CPE,

AZC7^ZZmZC7^=Z。+/£；

(2)当户在劭延长线时，/CPD-/8-/a；理由:

如图，钝P作.PE〃AD交CD于E,

：.AD//PE//BC.

：・4a二乙DPE,4B=4CPE,

：.4CPA4CPE-4DP拄4£-NQ；

当月在死之间时，/0少=/。-/£.理由:

如图，迂P作-PE"AD友CD于E、

：,AD//PE//BQ

：・4a=4DPE,4B=4CPE,

:"CP2/DPA/CP="N£.

（3）问题拓展：分别过4,4…，4/作直线〃4M过为员，…，丛作直线〃力圈

由平行线的性质和角的和差关系得/4/+/4?+…+N/=/8+N氏+…+NH

N.

nN

故答案为：NAf+NA?+…+NA=N8t+NB2+…+NB.

【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第(2)

问在解题时注意分类思想的运用.

4.(1)ZBAE+ZCDE=ZAED；

(2)ZAFD=-ZAED；

2

(3)Z&4£=60°

【分析】(1)作旗〃48,如图1,KJEF//CD,利用平行线的性质得N1=N用区42=4CDE,

从而得到/胡研/0片/4S9

(2)如图2,由(1)的结论得/胡反乙CD2三4CDE,驰NAFF三(4BAE+4CDE),

加上(1)的结论得到砂4砂；

(3)由(1)的结论得胡力/侬，利用折叠性质得/5再利用等量代

3

换得到N4O2//盼jN物£,加上90°-//6氏180°-2/45〃从而计算出/劭E的度数.

【解析】(1)^BAE+ACDE=ZAED

理由如下：

作EF//AB,如图1

'：AB//CD

：.EF//CD

：.Z1=ZBAE,Z2=ZCD£

：.ZBAE+ZCDB=ZAED

(2)如图2,由(1)的结论得

NAFD=NBAPr/CDF

VZBAE./核的两条平分线交于点尸

:.NBAgg/BAE,/CD吟/CDE

：.NAF吟(.NBAE+/CDE)

,：4BA吩乙CDE=4AED

:.NAF吟NAED

(3)由(1)的结论得N/ON为—NSG

而射线DC沿膜翻折交4尸于点G

:.匕CDf/CDF

：./AGD=ZBAF+4NCDQg/BAE+2/CD拄gzBAE+2QAED~NBAE)=2ZAED~-ZBAE

222

V90°-ZAGD=18O0-2/AED

3

.\90°-2/4吠—N胡氏180°-2ZAED

2

・・・/班芹60°

【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补;

两直线平行，内错角相等.

5.(1)90°

(2)AMi=\AM.证明见解析

⑶弓)2021X900

【分析】(1)利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；

(2)结论：如图2中，过点、助作利用平行线的性质解决问题;

(3)探究规律，利用规律解决问题即可.

【解析】(1)解：如图1中，

,：A.B//CD,

,:NAEF,喏的平分线相交于点业

:.NME百;NAEF,AEFM=^ACFE,

：.2MER乙MFE卷(/AEMCFE)=90°,

/,Z^180°-90°=90°；

(2)结论：NMk;NM.

理由：如图2中，过点用作版7〃/6

图2

'JAB//CD,MJ//AB,

CD,

,:乙AEM,/仔犷的平分线相交于点出,

：./AEMkyZ.AEM,ZCFMf=gZCFM,

'：NE陆户/AEM,,AJM,F-ZCFM,

:4E品户/AEM*/CFMkgCZAEl^-ZCElf)=gx90°=45°；

所以/掰於gZ.K

(3)由(2)可知，N*X90°,

同法可知，/肪=；N跖=1NM,

24

•••9

N沪(3)〃X90°,

当炉2021时，//*(y)2021X90°.

【点评】本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方

法，属于中考常考题型.

6.(1)ZA+ZC=90°

(2)证明见解析

⑶105°

【分析】(1)根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可；

(2)过点6作8G〃。何，根据同角的余角相等得出NA8O=NCBG,再根据平行线的性质

得到NC=/CBG,即可得到NA3£)=NC；

(3)过点8作8G〃OM,根据角平分线的定义得出NABP=NG89，设NDBE=a,

AABF=(3,可得3a+〃=75。，再根据AB23C,得到/7+£+2a=90。，解方程得到

NABE=15。,继而得出，ZEBC=ZABE+ZABC=15°+90°=105°.

【解析】(1)如图1,

图/

'：AMIICN,

：.NC=ZAOB,

ABIBC,

：.ZABC=9O°,

ZA+ZAOB=90°,ZA+ZC=90°,

故答案为：ZA+ZC=90°；

图2

,?BDYAM,

；・DB上BG,

：.ND5G=90。，

：.ZABD+ZABG=90°.

■:AB1BC,

：.NCBG+ZABG=90。,

：.ZABD=ZCBG,

■:AM/IBG,

Z.ZC=ZCBG,ZABD=ZC.

(3)如图3,过点、B作BG//DM,

■:BF平分NDBC,BE平分NABD,

：./DBF=/CBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NABD=NC3G,

:・ZABF=/GBF,设Z£>8E=a,ZAB尸=£,

则ZA3E=a,ZABD=2a=ZCBG,4GBF=/AFB=0,

/BFC=3/DBE=3a,

：.ZAFC=3a+/3

VZAFC+ZA^CF=180°,NFCB+/NCF=180。,

；.4FCB=ZAFC=3a+j3,

△BCF中，由NCM+NBFC+N3b=18。。得

2a+/7+3a+3a+/?=180°,

VAB1BC,

・"+/+2a=90。，

Aa=15°,

；・ZABE=15°,

・・・/EBC=ZABE+ZABC=150+90°=105°.

【点评】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助

线，掌握相关知识是解题关键.

7.(1)120°,90°；(2)①90°+n；②n的值为弓或与；(3)当〃=30°时，ABVDG

(防)；当〃=90°时，BCLDG(fiP),ACLDE(GF)；当z?=120°时，ABIDE(g当n=

180°时，ACVDG(〃)，BCLDE(GA；当〃=210°时，AB±DG(ER；当〃=270°时，

BCLDG(£70,ACLDE{GF)-,当c=300°时，ABIDE(GP>.

【分析】(1)根据邻补角的定义和平行线的性质解答；

(2)①根据两直线平行，同旁内角互补求出/比6然后根据周角等于360。计算即可得到

N2；②根据邻补角的定义求出N4施；再根据两直线平行，同位角相等可得N1=N48£,再

分/1=3N2和/2=：Z1分别求解即可；

44

(3)结合图形，分48、BC、/C三条边与直尺垂直讨论求解.

【解析】解：(1)Zl=180°-60°=120°,

Z2=90°；

故答案为：120,90；

(2)①如图2,'：DG//EF,

：.ABCG^1800-/侬'=180°-n°,

N5CG+N2=360°,

，/2=360°-NACB-NBCG=36Q°-90°-(180°-n°)=90°+n°；

故答案为：90°+n°；

②•.•/脑=60°,

AZABE=180°-60°-n°=120°-n°,

'：DG//EF,

：.Z1=ZABE=12O°-n°,

若Nl=2/2,则120°~n°--(90°+〃°),解得n=L；

443

若则90。+n=-(120°-n°),解得n=四；

443

所以n的值为?或写:

(3)当〃=30。时，ABLDG(^)；

当〃=90°时，BCLDG(ED,ACLDE(GF)；

当〃=120°时，ABLDE(6^)；

当n=180°时，ACLDG(E2,BCLDE(GP)；

当〃=210°时，ABLDG(£70；

当〃=270°时，BCJLDGAOLDE(.GR；

当〃=300°时，ABIDE(670.

【点评】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，

读懂题目信息并准确识图是解题的关键.

8.(1)证明见解析；(2)ZAfiC-ZF=90°；(3)45°.

【分析】(D过点C作CF〃回，先根据平行线的性质可得NABC+N8b=I80。，再根据

平行公理推论可得C尸DE,然后根据平行线的性质可得/a>E+N8CF+/8C£>=180。，

由此即可得证；

(2)过点C作CG〃/同(1)的方法，先根据平行线的性质得出NA5C+/3CG=18O。，

ZF+ZBCG+ZBCF=180°,从而可得ZABC—NF=NBCF,再根据垂直的定义可得

NBCF=90°,由此即可得出结论；

(3)过点G作GMAB,延长FG至点N,先根据平行线的性质可得NABH=ZMG”，

ZMGN=ZDFG,从而可得ZMGH-NMGN=ZABH-NDFG,再根据角平分线的定义、

结合(2)的结论可得NMGN=45。，然后根据角的和差、对顶角相等可得

ZBGD-ZCGF=ZMGH-AMGN,由此即可得出答案.

【解析】证明：(1)如图，过点C作C/〃AB,

/.ZABC4-ZBCF=180°,

ABDE9

；・CFPDE,

.\ZCDE+ZDCF=180°f即+，

・•.ACDE+ABCF+/BCD=ZABC+ZBCF,

/./BCD+/CDE=ZABC；

(2)如图，过点C作CG〃Afi,

ZABC+ZBCG=180°,

ABDE,

:.CGDE,

.•.ZF+ZFCG=180°,即NF+ZBCG+ZBb=180。，

/./F+NBCG+NBCF=ZABC-b4BCG,

:.ZABC—/F=/BCF,

CF±BCf

.\ZBCF=90°f

.\ZABC-ZF=90°；

(3)如图，过点G作GMAB,延长AG至点N,

:.ZABH=ZMGHf

ABDE,

:.GMDE,

:.ZMGN=4DFG,

.8〃平分/ABC,FN平分/CFD,

/ABH=-NABC,ZDFG=-ZCFD,

22

由（2）可知，Z4BC-ZCFD=90°,

・•.NMGH-ZMGN=ZABH-ZDFG=-ZABC--ZCFD=45°,

22

「JZBGD=/MGH+ZMGD

又[ZCGF=4DGN=NMGN+/MGD'

/.ZBGD-ZCGF=ZMGH-ZMGN=45°.

【点评】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行

线的性质是解题关键.

9.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）/FBE=35°.

【分析】（1）根据平行线的性质得出N/144N5阳4DCF=4EFC,进而解答即可；

（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；

（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可.

【解析】证明：（1）9：AB//CD,EF"CD,

：.AB//EF,

：.ZABF=ZBFE,

♦：EF〃CD,

:・/DCF=/EFC,

：.ZBFC=4BFE+4EFC=/AB我/DCF；

（2）VBE工EC,

：,4BEC=9G°,

:・/EBC+/BCE=9C,

由（1）可得：NBFC=/ABE+4ECD=9G,

・・・/ABE+/ECD=/EBC+/BCE,

•:BE*分/ABC,

：.ZABE=4EBC,

：.4ECD=/BCE,

・・・庞平分N阅9；

（3）设4BCE=B,NECF=y,

♦：CE4禽/BCD,

：.ZDCE=ABCE=£,

:./DCF=/DCE-/ECF=B-y,

：.ZEFC=e-y,

9：ZBFC=ZBCF,

：.ZBFC=ZBCE+ZECF=y+8,

：.ZABF=ZBFE=2y,

•：4FBG=24ECF,

：.ZFBG=2y,

:"ABE+ZDCE=N.BEC=9G°,

:.NABE=9Q°-£,

NGBE=Z.ABE-AABF-N碗=90°-£-2%-2y,

■:BE平■62ABC,

:./CBE=NABE=9Q°-£,

：.ACBG=ACBE+AGBE,

.♦.70°=90°-2+90°-£-2y-2y,

整理得：2y+£=55°,

：.NFBE=2FBG+NGBE=2、+9Q°-£-2y-2y=90°-(2y+£)=35°.

【点评】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答.

10.(1)见解析；(2)55°；(3)180。-；。+：/7

【分析】(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2冠如图2,过点F作在//A3,当点8在点A的左侧时,根据ZABC=50°,ZADC=60°,

根据平行线的性质及角平分线的定义即可求NBFD的度数；

②如图3,过点尸作成〃A3,当点5在点A的右侧时，ZABC=a,ZADC=^,根据平

行线的性质及角平分线的定义即可求出N8FD的度数.

【解析】解：(1)如图1,过点E作EF//AB,

图1

则有=

AB//CD,

:.EF//CD,

：.ZFED=ZD,

:.ZBED=^BEF+AFED=ZB+ZD\

(2)①如图2,过点尸作在E//AB,

图2

有ZBFE:ZFBA.

ABI/CD,

:.EF//CD.

:.乙EFD=4FDC.

NBFE+Z.EFD=乙FBA+4FDC.

即ZBFD=NFBA+NFDC,

BF平分/ABC,。尸平分/ADC,

ZFBA=-^ABC=25°ZFDC=-ZADC=30°,

2f2

ZBFD=^FBA+AFDC=55°.

答：N8FD的度数为55。；

②如图3,过点尸作在〃AB,

图3

有NBFE+NE8A=180。.

:.ZBFE=180P-NFBA,

AB!/CD,

:.EF//CD.

ZEFD=ZFDC.

ZBFE+ZEFD=180°-NFBA+NFDC.

即NBFD=180°-ZFBA+ZFDC,

8/平分NA8C,。尸平分一ADC,

ZFBA=gZA6C=ga,NFDC=-Z.ADC=；/3,

NBFD=180°-ZFBA+ZFDC=18O°--a+-/7.

22

答：NBFD的度数为18(T-ga+；尸.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

11.(1)见解析；(2)/PE52/PFQ=36Q°；(3)30°

【分析】(1)首先证明/1=/3,易证得4勿/口；

(2)如图2中，NPEQ^2/PFQ=36Q°.作EH〃AB.理由平行线的性质即可证明；

(3)如图3中，设NQPF=y,NPHQ=x.AEPQ=z,典\NEQF=NFQH=5y,想办法构建方

程即可解决问题；

【解析】(1)如图1中，

：/2=/3,Z1-Z2,

.*.Z1=Z3,

:.ABHCD.

(2)结论：如图2中，N必g2//F0=36O°.

理由：作EHHAB.

M

APB

OD

⑵

♦：AB〃CD,EH//AB,

：.EH//CD,

AZ1=Z2,Z3=Z4,

AZ2+Z3=Z1+Z4,

・・・NW=N1+N4,

同法可证：4PFQ=4BPR乙FQD,

•:/BPE=2/BPF,/EQD=2/FQD,Nl+N叱=180,N4+N颂?=180°,

AZl+Z4+Z£，e/>Z^=2X180°,

即NQ502(N/WN出为二3600,

.•・N/W2NW=360°.

(3)如图3中，设N斯=八APIIQ=x./EPQ=z,於/EQF=/FQH=3y,

⑶

9：EQ//PH,

"EQC=/PHQ=x,

/.A+10y=180o,

'：AB//CD,

：・4BPH=/PHQ=x,

•:PF平%4BPE,

：.4EP54FPQ=/FPI代NBPH,

；・/FPH=y^-z-x,

、：PQ平分/EPH,

Z=y+y+z-x,

/.x=2y,

.\12y=180°,

.\y=15°,

/.x=30°,

AZW=30°.

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义等知识.（2）中能正确作出辅助

线是解题的关键；（3）中能熟练掌握相关性质，找到角度之间的关系是解题的关键.

12.（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°.

【分析】（1）过点力作/〃〃的；根据两直线平行，内错角相等得到乙心/PBA=

4DAB,根据角的和差等量代换即可得解；

（2）由两直线平行，同旁内角互补得到・・・、ZCAB^ZACD=180°,由邻补角定义得到

/ECW/ECN=180°,再等量代换即可得解；

（3）由平行线的性质得到，/FAB=120。-/GCA,再由角平分线的定义及平行线的性质得

到NG。-N力郎'=60°,最后根据三角形的内角和是180°即可求解.

【解析】解：（1）证明：如图1,过点/作力〃〃协；

图1

YMNIIPQ、AD〃MN,

：.AD//MN//PQ,

：.AMCA=ADAC,/PBA=/DAB,

，ACAB=/DAC+/DAB=NMCA+/PBA,

即：/CAB=/MCA+/PBA；

(2)如图2,VCD//AB,

：.ZCAff^ZACD=l80°,

u：ZEafl-ZECN=180°,

9：ZECN=ZCAB

：.Z.ECM=AACD,

即/加Z+N/1B=N〃蛆

.•・ZMCA=4DCE；

(3),:AFHCG,

：.ZGCA+ZFAC=Y80°,

・.・NO8=60°

即NGO+/0屏NQ18=180°,

：.ZFAB=180°-60°-ZGCA=120°-/GCA,

由(1)可知，/CAB=/MCA+/ABP,

♦：BF斗令/ABP,CG平分4ACN,

：.ZACN=2ZGCA9/ABP=2/ABF,

又・・・乙必4=180°-4ACN,

・・・/。4=180°-2NGC4+2NW60°,

：.ZGCA-ZABF=60°,

■:/AFm/AB丹NE4B=M0,

：.ZAFB=1800-ZFAB-ZFBA

=180°-(120°-/GCA)-/ABF

=180°-120°+ZGCA-ZABF

=120°.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本

题的关键.

13.(1)/BME=ZMEN-ZEND；ABMF=ZMFN-VAFND-,(2)120°；(3)不变，30°

【分析】⑴过£作EH//AB,易得分/〃46〃徼根据平行线的性质可求解；过/作FH//AB,

易得"/〃/5〃5，根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2QBME+/END)+NBMANFND=180°,可

求解价60°,进而可求解；

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知/必03/5物；进而可求解.

【解析】解：(1)这E作EH/iAB,如图1,

/BME=NMEH,

'：AB//CD,

：.HE//CD,

：.AEND=AHEN,

：.4电=乙幽+NHEN=NBME+ZEND,

即/区ZEND.

如图2,过户作灰〃48,

，NBMF=NMFK,

'：AB//CD,

J.FII//CD,

：.4FND=AKFN,

：.AMFN=AMFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

即：ZBMF=NMFN+ZFND.

图2

故答案为i/BME=NMEN-ZEND；4BMF=ZMFN+ZFND.

(2)由(1)得/BME=AMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+ZFND.

,:NE*令乙FND,MB平■哈4FME,

：.ZFME=ZBME+ZBMF,ZFNgZFNE+ZEND,

V2ZJ1EAH-Z,10^180°,

：.2QBME+4ENG+ZBMF-/E，Vgl80°,

2ZBME+2ZW+ZBMF-ZMZ>=180o,

即2NBMF+NFND+ZBMF-NFNg'RG,

解得/5跖1=60°,

：.4FME=2NBMF='20"；

(3)/侬?的大小没发生变化，4FEQ=3Q；

由(1)知：ZMEN^ZBME+ZEND,

■:EF平■令人MEN,NP*64END,

：.4FEN=1/MEN=g(4BME+/END),4EN—|AEND,

'：EQ//NP,

：.ANEQ=AENP,

：.4FEQ=/FEN-ZNEQ=y(ZBME+ZEND)-|AEND=|NBME,

■:NBME=6G°,

X60°=30°.

【点评】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

14.(1)NB,EF,CD,ZA(2)①65°；②180°-；夕

【分析】(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；

(2)①如图1,过点£作EF//AB,当点5在点A的左侧时，根据N/PGO。，ZADC=70°,

参考小亮思考问题的方法即可求/时的度数；

②如图2,过点£作及〃/8,当点8在点/的右侧时，ZABC=a,NADC=B,参考小亮思

考问题的方法即可求出/板的度数.

【解析】解：(1)过点£作小〃

则有/应7』/氏

'：A.B//CD,

：.EF//CD,

：.ZFED=AD,

：.4BEA/BEFr4FED=NB+ND；

故答案为：/B；EF；CD；ND；

(2)①如图1,试点、E悴EF〃AB,有NBEF=NEBA.

图1

•:ABaCD,

：.EF//CD.

：.NFED=AEDC.

：./BEPr4FEA/EBA+ZEDC.

於NBED=/EBA+/EDC,

■:BE平分4ABC,DE平分4ADC,

：.NEBA=g/ABC=3Q°,NEDC=5乙ADC=33。,

:.NBED=NEBA+NEDC=65°.

答：切的度数为65。；

②如图2,这点、E作■EFHAB,有NBERNEBA=180°.

AB

DC

图2

颜=180°-ZEBA,

'：AB//CD,

：.EF//CD.

：.AFED=AEDC.

:./B2/FEg\8G°-AEBA+^EDC.

即/戚=180°-ZEBA"EDC,

■:BE平■6/ABC,DE平分乙ADC,

：.AEBA=:/ABC=-a,』EDC=工ZADC=-p,

2222

:.NBEg\8G°-/EBA+/EDC=18Q°--a+-/3.

22

答：/版的度数为180°-\a+\p.

22

【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

15.(1)(0,4),(2,0),(1,2)；(2)1,理由见解析；(3)2,理由见解析

【分析】(1)根据绝对值和算术平方根的非负性，求得a,6的值，再利用中点坐标公式即

可得出答案；

(2)先得出华=t,OP=2-t,OQ=21,第=4-23再根据力眦=8勿0,列出关于t

的方程，求得t的值即可；

(3)过〃点作/C的平行线，交x轴于只先判定OG〃/G再根据角的和差关系以及平行线

的性质，得出NPHO=NGOF=N1+N2,/加=/6^//WC=NG〃/4/4=/l+/2+/4,

最后代入“HC匕比进行计算即可.

/.OEC

【解析】解：⑴Vsja-2b+\b-2\=o.

.•.a-26=0,b-2=0,

解得a=4,6=2,

：.A(0,4),C(2,0)；

(1,2).

故答案为(0,4),(2,0),(1,2).

(2)如图1中,

由条件可知：P点从。点运动到。点时间为2秒，0点从。点运动到A点时间为2秒,

时，点0在线段4。上，

即CP=t,OP=2-t,OQ=2t,AQ=\-It,

：.SADOP^^OP>y^^(2-t)X2=2-力SADOQ=yOQ>X2tX1=t,

'：SAODP^SAODQ,

・・2一t--ty

；・t=1；

y1

»

X

图1

(3)的值不变,其值为2.理由如下：如图2中，

Z.1OEfACC"

VZ2+Z3=90°,

又・・・N1=N2,Z