2022年度河南省信阳市育才中学高三数学理联考试题含解析

2022年度河南省信阳市育才中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.双曲线（，）的右焦点关于渐近线的对称点在双曲线的左支上，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．参考答案：D双曲线的渐近线方程为y=±x，设F（c，0）关于直线bx﹣ay=0的对称点为A（m，n），则，且，解得：m=，n=﹣，将A代入双曲线方程得：﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．

2.已知图①中的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数为()．A.

B.

C. D.参考答案：C3.函数f（x）=ex+x2﹣2在区间（﹣2，1）内零点的个数为（）A．1B．2C．3D．4参考答案：B考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由已知中函数的解析式，求出导函数f'（x）的解析式，和导函数的导函数f''（x）的解析式，分析f''（x）的符号，求出f'（x）的单调性，进而分析f'（x）的符号，再分析函数f（x）在区间（﹣2，1）的单调性及极值，进而结合零点存在定理，得到答案．解答：解：∵f（x）=ex+x2﹣2得f'（x）=ex+2xf''（x）=ex+2＞0从而f'（x）是增函数，f'（﹣2）=﹣4＜0f'（0）=1＞0从而f'（x）在（﹣2，1）内有唯一零点x0，满足则在区间（﹣2，x0）上，有f'（x）＜0，f（x）是减函数，在区间（x0，1）上，f'（x）＞0，f（x）是增函数．因为f（﹣2）=+2＞0，f（x0）＜f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0从而f（x）在（﹣2，1）上有两个零点．故选B点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，使用导数法，判断函数的单调性是解答的关键，但需要二次求导，难度中档．4.向量，则“x=2”是“"的A.充分但不必要条件

B.必要但不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A略5.已如定义在R上的函数的周期为6．且，则（

）A.11 B. C.7 D.参考答案：A【分析】利用函数是周期函数这一性质求得和.【详解】根据的周期是6，故，，所以,故选A.【点睛】此题考查周期函数的性质，属于基础题.6.复数等于

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：B略7.函数的图像向右平移动个单位，得到的图像关于轴对称，则的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B由题意得关于轴对称，所以因此时，取最小值，选B.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.函数是奇函数；函数是偶函数；函数是奇函数；函数是偶函数.8.已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个交点，则的形状是

………….

（

）A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.随的变化而变化参考答案：B9.如图，矩形OABC内的阴影部分是由曲线,及直线x=a,与x轴围成，向矩形OABC内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为，则的值是（）A、

B、

C、

D、参考答案：B略10.执行右面的程序框图，则输出的的值是A.210

B.－210

C.420

D.－420参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在极坐标中直线的方程为，圆的参数方程为圆与直线相交于点，则的长为___________参考答案：略12.设O为ABC的外心，且，则ABC的内角．参考答案：略13.同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第23个图案中需用黑色瓷砖

块.参考答案：10014.在三棱锥中，,,PA与平面ABC所成角的余弦值为，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为

．参考答案：12π15.已知函数f（x）满足xf′（x）=（x﹣1）f（x），且f（1）=1，若A为△ABC的最大内角，则f[tan（A﹣）]的取值范围为．参考答案：（﹣，0）∪[1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】根据条件构造函数g（x）=xf（x），求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系求函数的极值和单调性即可得到结论．【解答】解：∵xf′（x）=（x﹣1）f（x），∴f（x）+xf′（x）=xf（x）设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），即g′（x）=g（x），则g（x）=cex，∵f（1）=1，∴g（1）=f（1）=1，即g（1）=ce=1，则c=，则g（x）=xf（x）=?ex，则f（x）=，（x≠0），函数的导数f′（x）==，由f′（x）＞0得x＞1，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得x＜0或0＜x＜1，此时函数单调递减，即当x=1时，函数f（x）取得极小值，此时f（1）==1，即当x＞0时，f（x）≥1，当x＜0时，函数f（x）单调递减，且f（x）＜0，综上f（x）≥1或f（x）＜0，∵A为△ABC的最大内角，∴≤A＜π，则0≤A﹣＜，则设m=tan（A﹣），则m≥0或m＜﹣，∴当m≥0时，f（m）≥1，当m＜﹣，f（m）∈（f（﹣），0），即f（m）∈（﹣，0），即f[tan（A﹣）]的取值范围为的值域为（﹣，0）∪[1，+∞），故答案为：（﹣，0）∪[1，+∞）16.16．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，若对任意x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f(3x＋1)恒成立，则实数a的取值范围是 参考答案：(－∞，－5]17.已知定义在R上的函数g（x）=2x+2﹣x+|x|，则满足g（2x﹣1）＜g（3）的x的取值范围是．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵g（x）=2x+2﹣x+|x|，∴g（﹣x）=2x+2﹣x+|﹣x|=2x+2﹣x+|x|=g（x），则函数g（x）为偶函数，当x≥0时，g（x）=2x+2﹣x+x，则g′（x）=ln2（2x﹣2﹣x）+1，则当x≥0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，则不等式g（2x﹣1）＜g（3）等价为g（|2x﹣1|）＜g（3），即|2x﹣1|＜3，即﹣3＜2x﹣1＜3，解得﹣1＜x＜2，即x的取值范围是（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4—1：几何证明选讲）如图，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作直线的垂线，为垂足，与圆交于点，求线段的长．参考答案：19.如图，四边形ABCD为矩形，PB=2，BC=3，PA⊥平面ABCD．（1）证明：平面PCD⊥平面PAD；（2）当AB的长为多少时，点B到平面ACD的距离为？请说明理由．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）证明：AB⊥平面PAD，根据四边形ABCD为矩形，AB∥CD，得到CD⊥平面PAD，即可证明平面PCD⊥平面PAD；（2）利用等体积方法，即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形为矩形，∴AB⊥AD∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB∵PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD∴CD⊥平面PAD又因为CD?平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD…（2）解：设AB=x，则CD=x，PA=，PC=，PD=∴VB﹣PCD=VP﹣BCD∴××CD×PD×=××BC×CD×PA即×x?×=××3x?，∴=2，解得：x=1即当AB的长为1时，点B到平面PCD的距离为…20.（本小题满分14分）已知函数.（I）若函数有极值1，求实数的值；（II）若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（III）证明：.参考答案：（I）1；（II）a≤1；（III）见解析

【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．B11B12（Ⅰ）x＞0，F′（x）=a﹣=（x＞0），当a≤0时，F′（x）＜0，F（x）在（0，+∞）递减，无极值；当a＞0时，由F′（x）＞0，可得x＞，由F′（x）＜0，可得0＜x＜，x=取得极小值．由F（x）有极值﹣1，即有1﹣ln=1，解得a=1；（Ⅱ）G（x）=f[sin（1﹣x）]+g（x）=asin（1﹣x）+lnx，G′（x）=﹣acos（1﹣x）+，G（x）在（0，1）上递增，即有﹣acos（1﹣x）+≥0在（0，1）上恒成立，即a≤在（0，1）上恒成立．令h（x）=xcos（1﹣x），0＜x＜1，h′（x）=cos（1﹣x）+xsin（1﹣x）＞0，h（x）在（0，1）递增，0＜xcos（1﹣x）＜1，即有＞1，则有a≤1．（III）由（II）知，当a=1时，在区间上是增函数，所以,因为，令，即，则所以故。【思路点拨】（Ⅰ）求出导数，对a讨论，当a≤0时，当a＞0时，判断函数的单调区间，即可得到极值，进而求得a；（Ⅱ）求出函数G（x）的导数，由于G（x）在区间（0，1）上为增函数，可得﹣acos（1﹣x）+≥0在（0，1）上恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可求得最小值，可得a的范围．（III）利用证明即可。21.（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．参考答案：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（I）利用频率分布直方图的性质即可得出．（II）根据分层抽样，求出女生和男生得人数，再一一列举出所有得基本事件，找到所抽取的2人中至少有1名女生的基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）由（0.008+0.021+0.035+0.030+x）×10=1，解得x=0.006．（4分）（Ⅱ）满意度评分值在[90，100]内有100×0.006×10=6人，其中女生2人，男生4人．设其中女生为a1，a2，男生为b1，b2，b3，b4，从中任取两人，所有的基本事件为（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4），（b1，b2），（b1，b3），（b1，b4），（b2，b3），（b2，b4），（b3，b4）共15个，至少有1人年龄在[20，30）内的有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，b4），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，b4）共9个．所以，抽取的两人中至少有一名女生的概率为，即为．（12分）【点评】本题考查分层抽样，以及古典概型的概率公式，考查数据处理能力和分析问题、解决问题的能力，属于中档题．22.