反证法(高中数学人教A版选修2-2)

2.2.2反证法西南大学数学与统计学院2.2直接证明与间接证明复习1.直接证明的两种基本证法：综合法和分析法2.这两种基本证法的推证过程和特点：由因导果执果索因3、在实际解题时，两种方法如何运用？通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程综合法已知条件结论分析法结论明显成立的条件本节重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．本节难点：应用反证法解决问题．教学目标1．知识与技能结合实例的间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点．2．过程与方法了解反证法的特点、增强应用反证法证明的能力．3．情感、态度与价值观培养学生的数学素养，发展学生的数学思维能力．反证法前言：推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。反证法是继前面学习完推理知识后，证明方法中的一种（间接证明问题的）基本方法，它弥补了直接证明的不足，完善了证明方法，有利于培养逆向思维能力。路边苦李王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动.王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法?小故事:这与事实矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的假设李子不是苦的，即李子是甜的，那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？那么，树上的李子还会这么多吗？所以，李子是苦的在古希腊时,有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是就在花园里的一棵大树下躺下休息睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额,当他们醒过来后，彼此相看时都笑了。一会儿其中有一个人却突然不笑了，他是觉察到什么了？思考1：他运用了怎样的推理方法？自己的前额也被涂黑了.各抒己见假设自己的前额没有被涂黑,那么另一个哲学家也不会有异常行为,这与另一个哲学家笑个不停矛盾,所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确,于是自己的前额也被涂黑了.——"脏脸"博弈思考2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，为什么？分析:假设C没有撒谎,则C真.那么A假且B假;由A假,知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.探究1:认识反证法1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过

，最后得出

，因此说明假设

，从而证明了原命题

，这样的证明方法叫做反证法．反证法是

的一种基本方法．2．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与

矛盾，或与

矛盾，或与定义、公理、

、

矛盾等．正确的推理矛盾错误成立间接证明已知条件假设定理事实反证法的思维方法：正难则反1．反证法证明数学命题的四个步骤：第一步：分清命题的条件和结论；第二步：做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．2.常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与公认的简单事实矛盾．探究2：了解反证法3．反证法适宜证明存在性、唯一性、带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的一些数学问题．4．用反证法证明不等式，常用的否定形式有：“≥”的反面为“<”；“≤”的反面为“>”；“>”的反面为“≤”；“<”的反面为“≥”；“≠”的反面为“＝”；“＝”的反面为“≠”或“>及<”．5．反证法属于逻辑方法范畴，它的严谨体现在它的原理上，即“否定之否定等于肯定”，其中第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定了假设”．反证法属于“间接证明方法”，书写格式易错之处是“假设”错写成“设”．常见的“结论词”与“反设词”如下：原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有n－1个p∨q(¬p)∧(¬q)至多有n个至少有n＋1个p∧q(¬p)∨(¬q)（习题2.2A组1）

已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有一个根。分析：要说明两个方面存在性和唯一性；证明唯一性时可以用反证法探究3常见典型题目类型总结：证明；(存在性）a≠0，方程ax=b至少有一个根x=b/a。（以下为唯一性）[说明]

(1)反证法是利用原命题的否定不成立则原命题一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)对于否定性命题或结论中出现“至多”、“至少”、“不可能”等字样时，常用反证法．1、直接证明困难，原因何在？①情况很多，分类讨论②条件太少直接证明找不到突破口反证法主要用于以下两种情形：1、要证的结论和条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰。2、如果从正面证明，需要分成多种情况进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形。对于“不可能，至少，唯一性”等题目常用课堂小结：我来告诉你

1.存在性问题2.否定性问题3.唯一性问题4.至多、至少类问题5.一些基本命题、基本定理哪些问题适宜用反证法总之，直接证明比较困难的命题大家议一议！[规律方法]

当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．名家情系反证法反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具。

牛顿说：“反证法是数学家最精当的武器之一”。英国数学家哈代也曾这样称赞它：“反证法是数学家最有力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱手让给对方！”---德国数学家希尔伯特说，禁止数学家使用反证法，就象禁止拳击家使用拳头。同学们，学了这节课，你们有何体会？反思与收获你能谈谈举反例与反证法的联系和区别吗？拓展阅读—反证法典型例子证明：素数有无穷多个。这个古老的命题最初是由古希腊数学家欧几里德(EuclidofAlexandria，生活在亚历山大城,约前330～约前275,是古希腊最享有盛名的数学家)在他的不朽著作《几何原本》里给出的一个反证法：假设命题不真，则只有有限多个素数，设所有的素数是2=a1<a2