初中数学专题训练-变量函数-函数的图像

精品设计精品设计例1、在赵庄通向省城的公路上，甲乙二人同时向距赵庄60千米的省城进发.甲从距赵庄10千米处以15千米/小时的速度骑自行车，乙从甲前方30千米处以5千米/小时的速度步行.（1）分别求甲、乙二人与赵庄距离S（千米）、S（千米）和所用时间（小时）12的函数关系式；（2）在同一坐标系下画出这两个函数的图象.这两个函数图象如果相交说明了什么？分析：甲距赵庄的距离S=10+甲走的距离1即S二10+15t；1同理S二40+5t2解：（1）S=10+15t1S二40+5t22）甲走完全程用时为602）甲走完全程用时为60-10151060-40乙走完全程用时为5二4又时间t>0,10所以S=10+15t的自变量t的取值范围是0<t<-13S=40+5t的自变量t的取值范围是0<t<42列表如下：t012310254055t01234S4045505560根据表中数据作图.这两个函数的图象相交，说明甲、乙二人相遇，也就是甲从后面追上了乙．说明：（1）画函数图象时，应先确定函数的自变量取值范围；（2）画函数图象时，要标明函数解析式．例2、一函数的图象如下图，根据图象：（1）确定自变量x的取值范围；（2）求当x=0,-3时，y的值；（3）求当y二0,3时，对应的x的值；（4）当x为何值时，函数值y最大？（5）当x为何值时，函数值y最小？（6）当y随x的增大而增大时，求相应的x值在什么范围内？（7）当y随x的增大而减小时，求相应的x值在什么范围内？分析：函数图象上每一点的横坐标都是自变量x的一个值，自变量的取值范围就是图象上各点的横坐标的最小值到最大值，即图象上最左端点的横坐标到右端点的横坐标.函数y的最大值就是函数图象上最高点的纵坐标，函数的最小值就是函数图象上最低点的纵坐标.函数图象从左到右，自变量x的值不大增大，此时，如果图象自下而上，那么函数值y在减小.解：（1）自变量x的取值范围是一3<x<4（2）当X二0时，y=3.3,当X=—3时，y=2的值；（3）当y二0时，与之对应的x的值是—2.5,—1.5和4,当y二3时，与之对应的x的值是—0.3和—2.5；(4)当x二1时，y的值最大，此时y二4；当x=一2时，y的值最小，此时，y=一1；当y随x的增大而增大时，相应的x值在-2Vx<1内；当y随x的增大而减小时，求相应的x值在一3<x<2或1x<4内？说明：(1)用图象法表示函数形象、直观，但不精细，因此，从图象上观察的数值往往是近似值，只有通过具体函数解析式的计算，才能得到精确值.当函数图象从左下到右上呈“撇”状时，函数y随x的增大而增大；当函数图象从左上到右下呈“捺”状时，函数y随x的增大而减小.反之也对.从函数图象求函数的某些值、研究函数y随自变量x的变化规律是数形结合思想的具体体现.例3、若点P(2,4)在函数y二ax2+c的图象上，且当x=一€3时，y=2.(1)求a、c的值；(2)如果点(-1,m)和点(n,6)也在函数的图象上，求m,n的值.解：(1)丁点P(2,4)在函数y二ax2+c的图象上，4a+c=4.又当x=一七'3时，y=2，..2=(一、：3)2a+c即3a+c=2.4a+c二4「a二2得｛3a+c二2|c=一4(2)a=2,c=一4.函数为y—2x2一4t点(-1,m)和点(n,6)在函数图象上m=2(—1)2—4,6二2n2—4./.m二—2,n二±、：'5说明：应向学生强调：若点在图象上，则点的横坐标，纵坐标满足这个函数的解析式.典型例题四例(常州市，2000)小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里.图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是().解选D.说明：本题考查函数图象的应用，解题关键是正确理解函数图象与实际问题间的内在联系易错点是误选C.典型例题五例已知函数y二mx2与y二X3+nx的图象的一个交点是A(l,-2)，求其余交点的坐标．分析：函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式，因此，可转化为方程组求解．解：点A(1,-2)是函数y二mx2与y二x3+nx的图象交点，/.m=—2■—=2+n/.m=—2n=—3.•••两个函数的解析式分别为y二—2x2与y二x3-3x.设图象的交点为Q(a,b)b=—2a2b=a3—3a二式相减，得a3+2a2—3a=0a(a2+2a—3)二0a(a+3)(a—1)二0a=0,a=—3,a=1.TOC\o"1-5"\h\z123分别将.a二0,a=—3,a二1.代入b=—2a2123得b=0,b=—18,b=—2.123.另外两个交点是(0，0)和(-3，-18)

说明：求函数图象交点问题，通常是转化为方程组求解.典型例题六例(吉林省试题，2002)一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售.售出土豆千克数与他手中持有的钱数(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列题：(1)农民自带的零钱是多少？(2)降价前他每千克土豆出售的价格是多少？(3)降价后他按每千克0.4元将剩余土豆出售完，这时他手中的钱(含备用零钱)是26元问他一共带了多少千克土豆.解：(1)农民自带的零钱是5元.(20—5)三30=0.5(元)降价前他每千克土豆卖0．5元.(26—20)20.4+30=45(千克)他一共带了45千克土豆.说明：本题考查学生的识图能力。能由所给出的函数图象回答问题。典型例题七例如图，是某个篮球运动员在五场比赛中的得分情况，依据图回答：(1)该运动员第一场球得多少分；(2)哪场球得分比前一场得分少？(3)在五场比赛中最高得分是多少？最低得分是多少？(4)从这五场比赛中的得分情况分析，该运动员的竞技状态怎么样？解：(1)这个运动员在第一场比赛中得21分.(在场次栏中找到“1”，然后在得分栏中找到相应的得分)(2)第二场球比第一场球得分少，竞技状态趋下.(图形向下)(3)第五场比赛得分最高为36分，第一场比赛得分最低21分.(4)从这五场的比赛得分情况看，该运动员目前的竞技状态是向前发展，其趋势是良

好的.（从第二场球之后图形全部向上.）说明：本题考查学生的识图能力。能由所给出的函数图象回答所问的问题典型例题八例已知点P（2,7）在函数y二ax2+b的图象上，且当x=—j3时，y=51（1）求a,b的值；（2）如果点（-,m）和点（n,7）也在函数的图象上，求m,n的值.解：①•••点P（2,7）和点（—■'3,5）在函数y二ax2+b的图象上7=4a+b5=（—\：3）2a+b由方程组解出：a=2，b=一1即y二2x2—1（2）依题意，有（2）依题意，有＜m=2x（丄）2—127=2n2—1函数问题转化方程组问题）1m=——・••<2n=±211即m=_—，n=2或m=——22说明：本题利用方程组来解决函数问题典型例题九例已知函数y=3x一2，求：（1）函数图象与x轴、y轴的交点坐标；（2）当x取什么值时，函数值是正数、零、负数？解（1）T函数图象与x轴交点既在图象上，又在x轴上•••此交点的纵坐标为0即y=0（记住坐标轴上点的坐标的特征）23x—2=0，得x=3（这是求与坐标轴相交点的方法）

2•••函数图象与x轴交点坐标是（3,0）又函数图象与y轴的交点在y轴上：•此交点的横坐标为0,即x二0（这是求与坐标轴相交点的方法）y=3x0-2得y=-2•函数图象与y轴的交点是（0,-2）2（2）由函数值大于0,即y>0，从而3x—2>0，得x>3；（转化不等式求解）选择题1.如图分别给出了变量1.如图分别给出了变量x与y之间的对应关系，不符合函数定义的是（）.点p(3,-l)，Q(-3,-l)，R(-2,0)，S(2,4)中，在函数y--2x+5的图象上的点有().A.1个B.2个C.3个D.4个函数y=-(x+4)2+9的图象过四个点p(-4,-9)，Q(一4,9)，R(-7,18)，S(-7,0)中的（）A.1个B.2个C.3个D.4个14.下列各点不在函数y二-1的图象上的是（）x1A.1A.(1,0)B.(一2,-3)C.（巨亍）(3D.(2’直线y二-x-2与y二x+3的交点在（）第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限下列各点在y=-丁x的图象上的是（）2-_一A.（1,；）B.（-1,迈）C.（2,-迈）D.（一迈,2）

17.函数y二2x+1与y=-2x+6的图象交于点M，则M点的坐标是()A．(-1,1)B．(2,-5)C．(1,6)D．(2,5)答案：1.D2.B3.B4.D5.B6.C7.D.2由函数值等于0即y=0，从而3x一2=0，得x=3；(转化方程求解)2由函数值小于0,即y<0，从而3x-2<0，得x<3222综上，当x>3时，y>0；当x二3时，y二0；当x<3时，y<0.说明：本题考查函数图象与坐标轴的交点问题,此类问题通常是转化为方程来解填空题长方形面积为40cm2，则它的宽y与x之间的函数关系式，自变量x的取值范TOC\o"1-5"\h\z围是.1+x一_一一函数y二一-的自变量x的取值范围是.1-x2函数y二Jx-2+Jx+3的自变量x的取值范围是.2x-1函数y二［，当x二1时，函数y的值是；当函数y二1时，自变量x的值x+1是.已知x、y满足等式x+y-2二0，那么y=.在匀速直线运动中，当路程s—定时，用时间t来表示速度u的函数式是.答案：4012S1.y二，(x>0)2.x工±13.x>24.；25.6.V二(心0).x2x+1t解答题(2y二一(2y二一x2(1)y=—x分别在同一坐标系内画出各组函数的图象，并观察每组图象之间的关系和区别.1(1)y=1xI,y=IxI,y=2IxI22)y=IxI,y=IxI+1,y=IxI-1

(3)y=1xI,y=1x+II,y=1x一IIx取何值时，下列函数有意义:x(1)y=2x2+3x；(2)y=；(3)y=、2x+5；x-11<2x-3■v'x+11<2x-34)y=；(5)y=4)x4.一根弹簧的长度是12cm，它能挂的重量不能超过5kg,并且每挂lkg重物就伸长2cm,写出挂重物后的弹簧长度y(cm)与所挂重物x(kg)之间的函数关系式。x一1已知y=—-，求当x=3，一1时，函数的值分别是2x+3求出函数y=2x-1图象上和函数y=x2图象上横坐标为1和0的坐标。已知函数y=4—2x画出这个函数的图象；写出相应的函数与x轴交点坐标，与y轴的交点坐标；17判断点P(2-1),Q(2.25)是否在这个函数的图象上，如果在将它画在图象上28答案:1.略2•略3.(1)x的取值范围是全体实数(2)x丰1的一切实数(3)x3的全体实数(4)x>一1且x丰0的全体实数3(5)x>2的全体实数1y=12+—x(0<x<5)2:22y=9，y=-2111(2,0)，(0,-1)(2,4)，(0,0)7.(1)略(2)(2，0)，(0，4)(3)P、Q均在图象上.2003年中考类型题1.甲、乙两同学约定游泳比赛规则:甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则是先游蛙泳到泳道中点后改为自由泳，两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到泳道终点。又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快，并且二人自由泳均比蛙泳速度快，若某人离开泳道起点的距离s与所用时间t的函数关系可用图象表示，则下列选项中正确的是()

2．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发，图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s（米）与登山所用的时间t（分钟）的关系（从爸爸开始登山时计时）。根据图象，下列说法错误的是（）爸爸开始登山时，小军已走了50米爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面小军比爸爸晚到山顶爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快3.甲乙二人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次训练成绩分别用实线和虚线连结，如图所示，下面的错误的是

乙的第二次成绩与第五次成绩相同第三次测试甲的成绩与乙的成绩相同第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分五次测试甲的成绩都比乙的成绩高4．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基

本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了。下面各图5．某游客为爬上3千米高的山顶看日出。先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶。游客爬山所用时间t与山高h间的函数关系用图形表示是h千米4h千米4h千米4]h千米4门「M1厂时丁乔■小时-川1234小时曲1234”小时-11234*小时(A)(B)(C)(A)(B)(C)(D)6.一慢车和一快车沿相同路线从A地到B地，所行的路程与时间的函数图象如图所示.试根据图象,回答下列问题:(1)慢车比快车早出发小时,快车追上慢车时行驶了千米,快车比慢车早小时到达B地；(2)在下列3个问题中任选一题求解(多做不加分).快车追上慢车需几个小时?求慢车、快车的速度.求A、B两地之间的路程.7•阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练。如图，实线表示父亲离家的路程y（米）与时间x（分钟）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（米）与时间x（分钟）的图象。由图象可知，他们在出