解析：2022年全国高考乙卷数学（文）试题（解析版）

2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为，，所以．故选：A.2.设，其中为实数，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.3.已知向量，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D4.分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：则下列结论中错误的是（）A.甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4B.乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8C.甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4D.乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6【答案】C【解析】【分析】结合茎叶图、中位数、平均数、古典概型等知识确定正确答案.【详解】对于A选项，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A选项结论正确.对于B选项，乙同学课外体育运动时长的样本平均数为：，B选项结论正确.对于C选项，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，C选项结论错误.对于D选项，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，D选项结论正确.故选：C5.若x，y满足约束条件则的最大值是（）A. B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数为，上下平移直线，可得当直线过点时，直线截距最小，z最大，所以.故选：C.6.设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，，则，即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，不妨设点在轴上方，代入得，，所以.故选：B7.执行下边的程序框图，输出的（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，，，；执行第二次循环，，，；执行第三次循环，，，，此时输出.故选：B8.如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【详解】设，则，故排除B;设，当时，，所以，故排除C;设，则，故排除D.故选：A.9.在正方体中，E，F分别为的中点，则（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】【分析】证明平面，即可判断A；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，分别求出平面，，的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体中，且平面，又平面，所以，因为分别为的中点，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正确；如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，则，，设平面的法向量为，则有，可取，同理可得平面的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为，则，所以平面与平面不垂直，故B错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故C错误；因为与不平行，所以平面与平面不平行，故D错误，故选：A.10.已知等比数列的前3项和为168，，则（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.11.函数在区间的最小值、最大值分别为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.【详解】，所以在区间和上，即单调递增；在区间上，即单调递减，又，，，所以在区间上的最小值为，最大值为.故选：D12.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先证明当四棱锥顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为又则当且仅当即时等号成立，故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.记为等差数列的前n项和．若，则公差_______．【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.【详解】由可得，化简得，即，解得.故答案为：2.14.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为甲、乙都入选的方法数为，所以甲、乙都入选的概率故答案为：15.过四点中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】或或或；【解析】【分析】设圆的方程为，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为，若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；若过，，，则，解得，所以圆的方程为，即；故答案为：或或或；16.若是奇函数，则_____，______．【答案】①.；②.．【解析】【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）证明：【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据题意可得，，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．【小问1详解】由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．【小问2详解】由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．18.如图，四面体中，，E为AC的中点．

（1）证明：平面平面ACD；（2）设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明详见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面来证得平面平面.（2）首先判断出三角形的面积最小时点的位置，然后求得到平面的距离，从而求得三棱锥的体积.【小问1详解】由于，是的中点，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小问2详解】依题意，，三角形是等边三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以当最短时，三角形的面积最小值.过作，垂足为，在中，，解得，所以，所以过作，垂足为，则，所以平面，且，所以,所以.

19.某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值样本中10棵这种树木的材积量的平均值据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，平均一棵的材积量为小问2详解】则【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得，解之得．则该林区这种树木的总材积量估计为20.已知函数．（1）当时，求的最大值；（2）若恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；（2）求导得，按照、及结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解.【小问1详解】当时，，则，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以；【小问2详解】，则，当时，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，此时函数无零点，不合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大，所以仅在有唯一零点，符合题意；当时，，所以单调递增，又，所以有唯一零点，符合题意；当时，，在上，，单调递增；在上，，单调递减；此时，又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷，所以在有一个零点，在无零点，所以有唯一零点，符合题意；综上，a的取值范围为.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.21.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．（1）求E的方程；（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E的方程为，过，则，解得，，所以椭圆E的方程为：.【小问2详解】，所以，①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点.②若过点的直线斜率存在，设.联立得，可得，，且联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立，综上，可得直线HN过定点【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑．按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．（1）写出l的直角坐标方程；（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式处理即可；（2）联立l与C的方程，采用换元法处理，根据新设a的取值范围求解m的范围即可.【小问1详解】因为l：，所以，又因为，所以化简为，整理得l的直角坐标方程：【小问2详解】联立l与C的方程，即将，代入中，可得，所以，化简为，要使l与C有公共点，则有解，令，则，令，，对称轴为，开口向上，所以，，所以m的取值范围为.[选修4—5：不等式选讲]23.已知a，b，c都是正数，且，证明：（1）；（2）；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为，，，则，，，所以，即，所以，当且仅当，即时取等号．【小问2详解】证明：因为，，，所以，，，所以，，当且仅当时取等号．高中的学习方法总结关于高一一、高一关键词------难从初中到高中是个从量变到质变的过程，高中整体呈现知识量增大理论性增强、系统性增强、综合性增强、能力要求增加的6增趋势，而盖伊又是数学、物理、化学学科难点最集中的年级，所以对大多数学生来说，初三到高一不是个坡儿，而是个坎儿，必须要跳才能完成这个质变的过程二、高一最重要的事情1、重视高一成就高考-----高一是整个高中阶段的开始，抓住高一让自己一开始就能够占据领先位置，对学生高中阶段的发展至关重要，多年的高考经验显示，对高一的重视程度和3年后的高考成绩成正比关系，想要在高考中取得好成绩，一定要从高一抓起！2、提前动手，从容应对----刚刚经历了中考，很多学生沉浸在紧张后的放松里，但是学习如逆水行舟，不进则退，稍一放松，可能就会给自己的高一学习制造麻烦，抓住高一开始，让自几的高中学习一帆风顺！3、发现漏洞及时弥补---高中学习比较紧张，发现漏洞千万不要以太忙太累为由任其存在和发展，因为知识之间是有内在联系的，漏洞不补，会影响其他知识的学习和综合应用，并且积累得太多，会觉得无从下手，只好放弃，给高考造成很大损失！4、成绩波动正确看待-----高一学习成绩波动是非常正常的事情，一般来说，只要适应了高中老师的讲课方式、掌握了高中知识的学习方法，成绩都会逐步上升并且趋于稳定的。因为成绩的暂时下降而失去信心或对某个学科失去兴趣是得不尝失的。关于高二一、高二关键词---分化高二是一个比较特殊的年级，一方面已经适应高中的学习生活，另一方面紧张的高三还没有来临，所以心理上比较轻松；同时，高二还要面对多个科目的会考，会分三高考科目的注意力；另外，很多家长理解上有误区；高二先放松一下，要不在高三就没有放松的时候了。这种想法非常错误，结果就是高二是轻松了，到高三也紧张不起来。以上各种因素综合起来，造成了严重的分化，一些学生到高三再想努力的时候，发现已为时太晚！二、高二最重要的事情1、均衡发展----高考录取依据是总成绩，只要没有严重的偏科，即便是各科都成绩平平，在高考中也能取得一个不错的成绩。如果在高三冲刺中还能够部分学科有所突破，就会考得非常理想，所以均衡发展是取得高考好成绩的基础。2、提前备考-----高考考得是整个高中三年的知识，而不只是高三的知识。不要认为高考就是高三的事情，其实每个阶段都是在备考，都是在为高考打基础，高二尤其如此。3、强化基础----高一的很多知识是在以后的学习中必须要用到的基础知识，所以如果发现高一的部分知识没有完全掌握，千万不能等到高三复习的时候再去解决，要尽快补上，使自己高二高三的学习更加顺畅。关于高三一、高三关键词------冲刺步入高三，就像战场上吹响了冲锋号，从这一刻起，需要全力冲刺-----心无旁骛、全力以赴、坚持不懈、决不放弃！不管自己的水平如何，不论自己的能力怎样最关键的是你冲刺了没有？（可以挂座右铭或激励性的话语警醒自己）二、高三最重要的事情1、明确目标---明确高考目标，同时分析自己的程度，明确差距。对目标学校的情况初步了解（对比历年招生情况，有无加分限制）。如果没有合理定位自己，是无法完成科学规划的2、恰当选择-----对于高三学生来说，选择课外辅导是必不可少的，老师的引领和点拨可以让你进步的更快，但是课外辅导的形式很多，如：在线课程、班级辅导、串讲课堂、一对一辅导、请家教、或是最近流行的随叫随到的某品牌家教机等，根据自身情况选择合适的学习模式，才能用时最短、效果最好。3、重视第一轮复习------第一轮复习是最全面、最系统的，也是大多数学生最认真最有成效的。在第一轮复习时，不投机、不偏颇、不耍小聪明，才能收获最大。4、调整心态-------高三没完没了的做题、没完没了的考试，还有家长和老师没完没了的唠叨，加上自己给自己的压力，很容易有急躁、郁闷、迷茫、懈怠等情绪。这个时候如果能够及时调整，让心态回归到正确的轨道上，就是往高考成功道路上前进了巨大的一步。但若这种心态蔓延，就会成为你高考成功路上难以逾越的障碍在学习方面他们应该这样做：1处理好知识与能力的关系学生在校学习中，一定要重视基础知识的学习。基础是什么？就是课本上的那些知识，就是平常我们做的最多的作业题型。基础知识学好了，学习能力自然就提高了。学习能力强，掌握知识的速度就快。2处理好看书与做题的关系学生一定要保证看书的时间。比如英语，对一些常见的词汇、知识点、语法等一定要多看，多看才能记熟，才能顺利做题。不要搞题海战术，但也要做一定量题。做临考前的复习题要有代表性、典型性。3处理好学习与休息的关系要保持一个良好的心态，不要打疲劳战，尤其是到考试时，不要过度紧张，要适当休息，劳逸结合。学习时要有一定的收获，不做无用功。要注意学习做题的效率和效果。4学会做和自己水平相当的题。无论是中考或是高考。临考前一段时间，应结合自己的实际水平进行复习，做与自己水平相当模拟题。首先要保证基础题要做对，基础题没做对，难题更没有希望了。越接近考试，越要适当降低练习的难度，不做那些偏题和怪题，这有利于增强自信心。5平时做题要讲究质量不要追求数量对于大量的典型例题，要透彻的做到底、做明白。我们在学习中，盲目的做大量的题目是不会有太多效果的。比如你英语阅读能力很一般，一口气看几十篇阅读理解文章，做了好几十道选择题，可惜一篇都没看懂或是半懂不懂，选择答案时也是连蒙带猜。这样还不如用同样的时间作一篇或几道题，彻底把它读懂弄透，不认识的单词就去查字典，把整篇文章结构，每个句子的意思都搞清楚，每个答案都弄明白，这样日积月累下来进步肯定非常惊人。做什么数学题、化学题或生物题等也是一样的。做一道题就把他的解题思路、涉及的知识点都弄清楚明白，能够举一反三，下次在碰到类似的题目就不怕了。这样哪怕是用平时做十道题的时间来做一道题，学习效率也会大大的提高。怎样学好语文1勤记忆这里的记忆并不同于英语的语法的死记硬背，而是指理解地记。例如：当新学一个生字丽的时候，你只要理解这个字的含义是好看、漂亮的意思，就能举一反三地理解出秀丽壮丽、美丽等一大串和丽有关的词语。长期如此，你会发现自己已经懂得了许多字、词。2深感悟有的同学最怕考试中出现那些写出文章中心思想的题目，其实过这一关很容易，你只要用心去读，用心去感受就会自然而生。比如：我们读\t"/content/16/0801/18/_blank"朱自清的《背影》就要全身心地投入进去，就像自己的父亲关爱自己一样去感悟，你就产生一种感激之情，轻松写出作者的写作目的和文章的中心思想。3善联想在学习古诗文时，可以闭上双眼，仿佛自己回到了诗人所描绘的情境中，你就会不知不觉的记住和理解其意思。4多练笔作文。一个让许多同学头痛的难题。其实也简单，只要你记住六个字“阅读、积累、练笔”。从多阅读课外书积累出更多的名言警句，最后动笔写出来或者多写日记等，到了关键时候，自然而然就下笔如有神了。5培养语文自学能力语文是一门最易自学成才的课程，古今中外不少大作家都是自学成才的。作文写的好，工具书不可少，养成一个勤查字典、词典的好习惯。语文是一门语言学科，字、词典是无声的老师，字音、字义及相应用法在字典里都说的很清楚。因此，备齐工具书是学习好语文的一个首要条件。6要把学习语文当成一件快乐的事情它的读音、解词造句、诗歌、散文、小说、戏剧等都是非常有趣的。尤其是当我们在做完数理化作业后，看看语文方面的东西，简直是一种享受。相信，作为华夏子孙的我们一定会学好祖国的语言文字的高中拉分看语文——高中语文基本学习方法高一语文注重阅读理解能力以及文言文基础，会让新高一同学们在开始时较难入手。让我们来看看\t"/content/16/1002/23/_blank"高中语文如何学习高中语文的基本学习方法1、主动预习对于语文课来讲，预习相当重要，特别是古文学习，如果你能在预习阶段就能通过自己的思考将文章中出现的重要语法知识归纳出来，学会主动学习，便可以达到以下四个目标：(1)大致了解：对课文或下一课所学的内容及层次有大致的了解；(2)巩固梳理：巩围复习旧知识，理解新知识，能把新旧知识进行粗层次的有机联系；(3)找出重点：找出课文中的重点、难点和自己感到费解的地方，尤其对那些似是而非、似曾相识的知识要特别引起注意；(4)课后练习：了解课文后面的练习，对于难度较大的问题要做记号，等老师授课时注意听讲或提出。预习实际上是听课前在思想上、心理上及知识上的准备。2、专心上课课堂是教育教学的主阵地。学生在校的大部分时间是在课堂上度过的。上好课、听好课是学习各门功课的重要途径。课堂学习是一顼艰苦的脑力劳动，只有讲究策略，才能取得好的效果。行之有效的课堂学习策略主要有：(1)抓住思路：抓住老师的思路，跟紧老师的步伐，学会抓思路而不是死记硬背；(2)抓住关键点：抓住关键内容，抓关键词，而不是将所有课件上的内容照搬到笔记上；书必须学会圈点勾画。(3)活跃思考：积极思维，学思结合；(4)课上时间：珍惜课上学习时间，完成老师布置的任务。(5)注意课堂小结：在课堂学习过程中要做到，眼到、手到、心到。只有在课堂上达到对老师所讲内容的最基本的消化吸收，才有可能为知识的进一步掌握和巩固打好基础。3、及时复习复习是语文学习的重要环节，也是提高语文学习成效的重要因素。语文复习必须要主动，可以运用以下几种具体方法：(1)系统整理(2)独立作业(3)分析错误(4)系统小结。提高学习方法古人说“不动笔墨不读书”是很有道理的，不断动笔能强化记忆、整理思维、提高认识。所以语文学习中，动笔很重要。1、语文