微积分-大一下课件上

导数与微分3.4

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数小结思考题作业相关变化率定义1.隐函数的定义所确定的函数一、隐函数的导数称为隐函数(implicitfunction).的形式称为显函数.隐函数的可确定显函数例开普勒方程的隐函数客观存在,但无法将表达成的显式表达式.显化.2.隐函数求导法隐函数求导法则

用复合函数求导法则,并注意到其中将方程两边对x求导.变量y是x的函数.隐函数不易显化或不能显化？如何求导例解则得恒等式代入方程,将此恒等式两边同时对x求导,得因为y是x的函数,

是x的复合函数,所以求导时要用复合函数求导法,

虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y.允许在的表达式中含有变量y.一般来说,隐函数求导,

求隐函数的导数时,只要记住x是自变量,将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数从中解出即可.于是y的函数便是x的复合函数,的方程.y是x的函数,例解法一利用隐函数求导法.将方程两边对x求导,得解出得法二从原方程中解出得先求x对y的导数,得再利用反函数求导法则,得例解切线方程法线方程通过原点.练习解确定,例解将上面方程两边再对或解解得3.对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.

适用于方法先在方程两边取对数,--------对数求导法

然后利用隐函数的求导法求出导数.例解等式两边取对数得

隐函数一般地例解等式两边取对数得注复合函数改写成如上例

则只要将幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导,例解有些显函数用对数求导法很方便.例如,两边取对数两边对x求导练习解答等式两边取对数解答二、由参数方程所确定的函数的导数如?(parametricequation)参数方程

消参数困难或无法消参数如何求导.消去参数所以,单调连续的反函数由复合函数及反函数的求导法则得例解

所求切线方程为设由方程确定函数求方程组两边对t

求导,得故例解若曲线由极坐标方程给出,利用可化为极角参数方程,因此曲线切线的斜率为例解将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为所以法线斜率为又切点为参数方程故法线方程为即

这种将极坐标方程化为参数方程,借助参数方程处理问题的方法,在高等数学中将多次遇到.所以法线斜率为又切点为如:注求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理.例解解二练习解得三相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式对t求导相关变化率求出未知的相关变化率。之间的关系式

代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)例解(1)(2)仰角增加率(3)当气球升至500m时,有一观测者以的速率向气球出发点走来,当距离500m时,仰角的增加率是多少?提示

对t求导求思考例2解水面上升之速率4000m练习设自开始充气以来的时间t,解体积为在t时刻气体的半径为水面例4解桥面20mxy(1)在此人的正下方有一条小船以的速度在与桥垂直的方向航行,求经5s后,人与小船相分离的速度.对t求导(2)(3)四、小结隐函数求导法则工具:复合函数链导法则;对数求导法对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导.参数方程求导注意:变量y是x的函数.将方程两边对x求导.工具:复合函数链导法则、反函数的求导法则.思考题(是非题)正确解答试问对吗?非利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线.称这两条曲线是正交的.如果一个曲线族中的每条曲线与另一个曲线族中的所有与它相交的曲线均正交,称这是正交的两个曲线族或互为正交曲线族在很多物理现象中