第6章大型结构振动分析方法

第六章大型结构振动分析方法

天津大学建筑工程学院船舶与海洋工程系

方法：结构动力问题有限元或者称为计算结构动力学。应用范围：大型结构系统。船舶、海洋平台、土木工程结构。

§6.1动力问题的有限单元法基本原理：将原结构离散为有限个单元，在单元的局部范围内，用较为简单的数学函数来描述单元位移与单元两端节点参数之间的关系，进行单元的弹性和惯性等性质的分析。将这些单元通过有限个结点互相联结后，用它代替原结构作为计算模型。然后再根据结构变形协调条件和平衡条件，将各单元的特性矩阵(刚度矩阵和质量矩阵等)组合在一起，使它能反映原结构的动力特性。基本思路：基本思路、步骤与分析静力问题（在结构力学教材中，一般称为“结构的矩阵分析”）是类似的。将各个质点的惯性力视为荷载（惯性荷载）施加于结构，便可将动力问题在形式上按静力问题处理。基本步骤：结构系统的离散化、结构单元特性分析、整体结构的综合分析三个步骤。6.1.1．结构离散化和基本未知量选取在动力问题中，位移是空间坐标和时间坐标的函数。一般采用在空间中离散结构的方法。

单元与结点划分：单元：均质等截面直杆。结点：杆件两端、断面突变位置、集中质量位置。基本未知量：结点的位移和转角。由变形协调条件可知，某结点的位移也就是汇交于此结点处的各杆的杆端位移。确定了以结点位移为参数来表达杆内任一点位移函数后，不难进一步写出惯性力、阻尼力、弹性内力等各种量的表达式。这样通过限单元法便将一个原无限自由度体系动力问题转变成一个以有限个结点位移为广义坐标的多自由度体系的动力问题。6.1.2单元特性分析1.位移函数的确定有限单元法以结点位移为基本未知量，所以首先需研究如何以杆端位移（亦即结点位移）为参数来表示单元内部任一点的位移。这就是要选定以杆端位移为参数，以单元内一点的位置坐标为自变量的位移函数，因此位移函数表达了杆内任一点的位移与节点位移的关系。为计算简便起见，通常近似的采用与静力问题同样的位移函数。(1)杆元处于轴向振动状态-杆元长度为，为局部坐标系。

因现在只有两个杆端位移可作为参数，取杆元位移函数为：利用杆端应满足的条件，确定两个与时间有关的数，

当可解出

写成矩阵形式得：(2)杆元横向振动状态：称为位移形状函数，表示i节点位移为1时，单元内各点位移的变化规律。：称为位移形状函数矩阵，其由各节点位移形状函数组成。每个结点2个自由度：转角逆时针为正。根据4个边界条件：每端2个。可确定四个常数

,求出四个常数，代入位移函数表达式，得到：取单元内任一点任意时刻的位移为局部坐标的三次多项式得到以杆端结点位移和转角表达的单元内任意点的位移。(3)杆元同时处于轴向及横向振动状态

2.惯性力、阻尼力、杆端力及荷载向量的定义

先将结构离散为若干不受约束的单元然后再予以组合。一个两端不受约束的自由杆元i、j，共6个杆端位移。单元杆端位移列阵:单元内任意点位移矩阵:与6个杆端位移对应的有6个杆端力，杆端力的正负号与相应的杆端位移的正方向一致时为正。按此规定，图中所示各力和力矩的方向都是正的。的惯性力为：杆端加速度向量：单元单位长度阻尼系数，则单位长度阻尼力：方向单位杆长内方向单位杆长内的惯性力为：杆端速度向量：单元集中载荷：单元分布载荷：3.单元特性矩阵的形成

特性矩阵:指单元的质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵及杆端力列阵。(a)(b)

建立单元特性的目的，是建立杆元的杆端力与杆端位移、杆端力与外荷载，杆端力与惯性力等等的关系式，此关系式亦即是杆元的运动方程。先来求各种因素所产生的杆端力，迭加后即得总的杆端力列阵。(1)外荷载作用下的杆端力列阵单元两端位移和转角为零。单元上作用任意分布的外载荷，计算该外载荷引起的杆端的弯矩。杆元作用任意载荷，图（a）给出了杆端力的正向。另假设一个杆元，没有外载荷作用，仅在i端发生单位角位移。功的互等定理：图(a)杆元载荷在图(b)杆元变形上做的功等于图(b)杆元上载荷在图(a)杆元变形上做的功。●图(a)杆元载荷在图(b)杆元变形上做的功：图（b）i端发生单位转角，杆元的位移为,载荷做的功为：杆端力的功为：●图(b)杆元载荷在图(a)杆元变形上做的功：图(b)杆元无载荷，则做功为零。由功的互等定理：

例如：外载荷为均布载荷，

依次求出i、j端杆端力：均布载荷作用杆端力列阵：总的杆端力列阵为：如果作用r个集中力，则用作用点的形状函数值乘以集中载荷得到杆端力。(2)惯性力作用下的杆端力列阵单位长度的惯性力为

，将其视为分布载荷，则惯性力引起的杆端力为：单位长度的惯性力为：惯性力引起的杆端力：(3)阻尼力引起的杆端力列阵阻尼力与速度成正比：将其视为分布载荷，则阻尼力引起的杆端力为：阻尼力引起的杆端力列阵：(4)杆端位移引起的杆端力列阵采用结构力学的方法，推导杆端发生单位位移时的引起的杆端力。i节点发生单位位移，求节点i杆端力单位轴力作用下杆的内力图为：1单位力作用下杆端位移为杆上没有力P作用，则其对应的位移为0N轴力图对于杆端有垂向位移、转角的情况，均可用力法求出，总结如下：单元刚度矩阵(5)总的杆端力叠加惯性力、阻尼力引起的杆端力，杆端位移引起的杆端力，外载荷引起的杆端力，得：单元特性矩阵：，由单元形状函数A确定。

对于等截面杆均匀杆，其单元质量矩阵为：6.1.3坐标转换

单元特性矩阵是在局部坐标系下建立的，但是在考虑节点力的平衡和位移连续条件时，需要参照一个共同的坐标系，这就是总体坐标系。在不同的坐标系下，不同的物理量会有不同的数值，所以需要建立一个统一的坐标系，确定各个不同物理量的分量值。（1）单元坐标系和总体坐标系之间关系的建立单元坐标系：总体坐标系：单点i节点杆端力矢量总体坐标系下为：单点i节点杆端力矢量单元坐标系下为:规定从局部坐标系逆时针转到总体坐标系角度为正。两个坐标系之间杆端力的转换关系为：对于单元e，两端杆端力转换关系为：：坐标转换矩阵：单元坐标转换矩阵矩阵T同样适用于两个坐标系之间的节点位移关系:两边同乘以T的逆矩阵，并注意到T为正交称矩阵，得6.1.4结构整体分析1、无约束系统的总体刚度矩阵(1)

总体坐标系下单元节点位移向量与结构节点位移列阵之间的关系总坐标系下单元（1）的节点位移向量为：-单元节点位移向量与结构节点位移列阵之间的关系矩阵

(2)结构总体刚度矩阵的形成结构振动过程的变性能为：结构总体刚度矩阵：总体刚度矩阵性质：（1）若结构没有刚体位移,则刚度矩阵是正定的,变形能恒为正的；（2）刚度矩阵是对称的；（3）刚度矩阵仅和线性结构的弹性性质有关,与结构的位移状态和外荷载无关（3）结构总体质量矩阵的形成

总体结构的动能为：结构总体质量矩阵:（4)结构总体阻尼矩阵的形成

一致单元质量矩阵：凝聚质量方法得到集中质量矩阵，忽略了各个自由度之间的耦合。-单元在总体坐标系下的阻尼矩阵（5)总体坐标系下的外力矢量

已经得到总坐标系下单元杆端力：设节点虚位移为：杆端力在虚位移上做的虚功为：总体坐标系下的外力矢量：

F也称为一致节点载荷，相对于总体坐标系而言。在得到了结构总体特性矩阵和外力矢量后,结构整体的振动方程：+=

6.1.5边界条件的引入-约束处理

无约束系统的振动方程中，存在结构的刚体位移，刚度矩阵为奇异的，无法求解。必须引入边界约束，处理结构的特性矩阵。（1）边界约束的引入方法：对应边界几何约束的零位移矢量：=

：对应约束边界，位移为零。将质量矩阵、刚度矩阵、节点载荷列阵按照上述做法划分：忽略阻尼,可得

：可动节点外力矢量;：约束反力矢量。6.1.6自由振动求解-求固有频率以上处理过程，实际是在总体特性矩阵中，删除与边界约束对应的行和列，则得到非奇异矩阵例1用有限元法计算左端固定的悬臂梁的固有频率.梁长为L,横截面的面积为.①建立结构整体坐标系,进行结构离散节点位移列阵为②单元局部坐标下的单元特性矩阵为(去掉与轴向位移有关的刚度项和惯性项)不考虑轴向位移：③求总体坐标下的单元特性矩阵④形成总体刚度矩阵和质量矩阵引入左端的边界条件，位移为零转角为零：,

,

需要指出,按照有限元法计算,由于采用了位移函数,规定和限制了梁的变形形状,这相当与对结构施加了附加约束,将使梁单元的刚度增大,因此采用有限元法计算,一般频率的计算结果将高于理论解,尤其是高阶频率,有限元法的附加刚度效应愈加显著,即高阶的固有频率比理论解增大更多。6.1.7无约束系统振动分析

飞行器和船舶是没有受到外部约束的,此类结构称之为无约束结构系统。无约束系统的刚度矩阵是奇异的，由于没有约束条件可以引入，刚体位移无法排除。因此必须对无约束系统及其结构刚度矩阵做某些近似处理,以便排除刚度矩阵的奇异性.1、附加弹簧法

首先确定阻止刚体运动的最少约束，对应其中的每一个自由度，施加具有很小刚度的弹簧约束，把结构与地面用弹簧联系起来就消除了刚度矩阵的奇异性。

这相当于在刚度矩阵中增加了对应这些自由度的对角线元素，元素的数值即为附加的弹簧刚度值。如果加上去的弹簧刚度比原来的刚度矩阵系数小的很多，它们对结构变形引起的振型和频率的影响可忽略不计，但是必须附加的一组刚体振型，其频率要比变形振型小的多。对于船体的振动计算，需要排除6个刚体位移：弹簧施加在垂向强构件与水平强构件的交点。比如船底纵桁（中龙骨）与强肋板的交点。首部弹簧施加在首柱与中龙骨的交点。尾部弹簧施加在0站中龙骨与肋板的交点。尾部左右两个弹簧距离中纵剖面距离相等，可以选在旁龙骨与肋板的交点。图中共6个弹簧，可以有效排除刚体位移。弹簧刚度值的选取方法：对于船体振动分析，一般取弹簧刚度为2、

特征值移位法

通过特征值的移位,克服奇异性问题。振动的频率方程：引入特征值移位式：：特征值移位常数：移位后的特征值即使K是奇异的,经过移位后的矩阵K是非奇异的,经过移位后，则变成非奇异的。如果质量矩阵是对角的,代入一个负移位就产生一个弹簧，这个方法与所述的第一个物理似法之间的根本区别是：对应每个质量系数都加上一个弹簧,而不是加在一组最少的自由度上,移位方法的优点是振型不变,用移位可精确地算出对频率的影响。6.1.8里茨法及子空间迭代法问题：工程结构的自由度仍然有成千甚至上万个,如果用精确方法对如此高的自由度系统求解固有频率和振型,计算工作量十分庞大，甚至难于求解。目的：减缩自由度，提高计算效率。里茨法及子空间迭代法是计算大型有限自由度系统近似方法。里茨法用于近似求解结构系统固有频率和振动响应。1、动—势能驻值定理梁的稳态动位移:梁的虚位移:-任意微小的并满足位移边界条件的连续函数,其表示函数y(x)自身微小变化。梁发生虚位移，梁上的惯性力和干扰力所作的虚功为梁发生虚位移，梁截面的弯矩在虚位移上所做的虚变形功:虚功方程考虑自由振动，载荷为零：动-势能驻值原理：(5.45a)2、近似计算固有频率和振型的里茨法为位移函数，近似表示为：：满足边界条件的彼此线性无关的函数。：为待定参数，即系统的广义坐标。选择这些待定参数能使取驻值，

则式(5.46)中的则即近地代表振型函数。.

（a）式（a）为关于若干参数a的齐次线性代数方程组，根据参数不全为零的条件得到频率方程，求出各阶频率，进而可以求出振型。例题：等截面梁，单位长度质量为,求一阶、二阶固有频率（里茨方法）。解：对一端弹性支承的简支梁，位移函数可设为●动能包括：均布质量的动能，集中质量的动能●弹性势能包括：梁的弯曲变形势能，支座弹簧变形能，

，

由非零解条件，系数行列式为零无集中质量：●求振型第一振型：第二振型：●位移函数选取的原则（1）满足位移边界条件（2）满足弯矩边界条件（3）选取尽可能多的函数项，可以减小计算误差，较好满足力的平衡条件。3、用里茨法