2023高考真题知识总结方法总结题型突破：44 导数中的函数零点问题(学生版)

专题44导数中的函数零点问题【高考真题】1．(2022·全国乙文)已知函数．(1)当时，求的最大值；(2)若恰有一个零点，求a的取值范围．2．(2022·全国乙理)已知函数(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间各恰有一个零点，求a的取值范围．3．(2022·新高考Ⅰ)已知函数和有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【方法总结】1．利用导数求函数零点的常用方法(1)构造函数g(x)(其中g′(x)易求，且g′(x)＝0可解)，利用导数研究g(x)的性质，结合g(x)的图象，判断函数零点的个数；(2)利用零点存在性定理，先判断函数在某区间有零点，再结合图象与性质确定函数零点的个数．2．求解函数零点(方程根)的个数问题的3步骤第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题；第二步：利用导数研究该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；第三步：结合图象求解．3．利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(a＝g(x))后，将原问题转化为y＝g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y＝a与y＝g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．【题型突破】1．已知函数f(x)＝xex＋ex．(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)讨论函数g(x)＝f(x)－a(a∈R)的零点的个数．2．设函数f(x)＝lnx＋eq\f(m,x)，m∈R．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－eq\f(x,3)零点的个数．3．已知函数f(x)＝x－alnx(a>0)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数g(x)＝eq\f(1,2)x2－ax－f(x)的零点个数．4．已知函数f(x)＝lnx－aex＋1(a∈R)．(1)当a＝1时，讨论f(x)极值点的个数；(2)讨论函数f(x)的零点个数．5．函数f(x)＝ex－2ax－a．(1)讨论函数的极值；(2)当a＞0时，求函数f(x)的零点个数．6．已知函数f(x)＝(2－x)ex，g(x)＝a(x－1)2．(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)讨论y＝f(x)和y＝g(x)的图象的交点个数．7．已知函数f(x)＝eq\f(x2－a,sinx)－2(a∈R)．(1)若曲线y＝f(x)在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))))处的切线经过坐标原点，求实数a；(2)当a>0时，判断函数f(x)在x∈(0，π)上的零点个数，并说明理由．8．已知函数f(x)＝xsinx＋cosx，g(x)＝x2＋4．(1)讨论f(x)在[－π，π]上的单调性；(2)令h(x)＝g(x)－4f(x)，试证明h(x)在R上有且仅有三个零点．9．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．10．(2021·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b．(1)讨论f(x)的单调性；(2)从下面两个条件中选一个，证明：f(x)有一个零点．①eq\f(1,2)＜a≤eq\f(e2,2)，b＞2a；②0＜a＜eq\f(1,2)，b≤2a．11．(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．12．(2021·全国甲)已知a>0且a≠1，函数f(x)＝eq\f(xa,ax)(x>0)．(1)当a＝2时，求f(x)的单调区间；(2)若曲线y＝f(x)与直线y＝1有且仅有两个交点，求a的取值范围．13．已知f(x)＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(3,2)x2＋2x，f′(x)是f(x)的导函数．(1)求f(x)的极值；(2)令g(x)＝f′(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围．14．已知函数f(x)＝(x－1)ex－ax2＋b＋eq\f(1,2)．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)当a＝eq\f(1,2)时，f(x)的图象与直线y＝bx有3个交点，求b的取值范围．15．已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围．16．设函数f(x)＝－x2＋ax＋lnx(a∈R)．(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，3))上有两个零点，求实数a的取值范围．17．已知f(x)＝ax2(a∈R)，g(x)＝2lnx．(1)讨论函数F(x)＝f(x)－g(x)的单调性；(2)若方程f(x)＝g(x)在区间[eq\r(2)，e]上有两个不等的解，求实数a的取值范围．18．(2021·浙江卷节选)设a，b为实数，且a>1，函数f(x)＝ax－bx＋e2(x∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对任意b>2e2，函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围．19．设函数f(x)＝ex－ax－2．(1)求f(x)的单调区