直线的方程两直线的交点坐标与距离公式课件

名称方程适用范围斜截式不能表示垂直于x轴的直线点斜式不能表示垂直于x轴的直线两点式不能表示垂直于坐标轴的直线截距式不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)能表示平面上任何直线y＝kx＋by－y1＝k(x－x1)提示：截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y轴的交点的纵坐标，横截距是直线与x轴的交点的横坐标；距离是一个非负数．名称方程适用范围斜截式不能表示垂直于x轴的直线点斜式不能表线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝

且y＝

.

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组

的.2．解3．线段的中点坐标公式2．解3．距离公式(1)两点间的距离公式：已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)，|AB|＝

；(2)点到直线的距离公式：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则d＝

；(3)两平行线间的距离公式：已知直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直

线l2：Ax＋By＋C2＝0，则d＝

.4．距离公式(2)点到直线的距离公式：已知点P(x0，y0)，【思考】

在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？答案：(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；(2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算．【思考】在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式1．过点(1，－1)和(0，－3)的直线在y轴上的截距为(

) A．

B. C．3 D．－3 解析：由斜率公式求得k＝2，∴直线方程为：y＋3＝2x 令x＝0，∴y＝－3. 答案：D1．过点(1，－1)和(0，－3)的直线在y轴上的截距为(若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0相交于一点，则k等于(

)解析：由

得(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋得k＝－答案：B2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为(

)A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5解析：kAB＝

则线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，又线段AB的中点坐标为

则线段AB的垂直平分线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B3．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方已知点(a,2)(a＜0)到直线l：x－y＋1＝0的距离为2，则a等于________．解析：由点到直线的距离公式得：∴|a－1|＝2，又a＜0，∴a＝1－2答案：1－24．已知点(a,2)(a＜0)到直线l：x－y＋1＝0的距离为2确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据已知条件确定或找出能确定直线方程的两个条件，从而达到求出直线方程的目的．一般地，已知直线过一点，一般考虑点斜式或斜截式；已知直线过两点，一般考虑两点式；已知直线与两坐标轴相交得到的三角形的相关条件，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式．确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．思维点拨：选择截距式和斜截式均可．解：解法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为∵l过点P(3,2)，∴∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【例1】求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直解法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0，求经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程．解：当直线过原点时，截距相等且均为零截距，∴直线方程为y＝2x.当直线不过原点时，可设方程为：＝1，将(1,2)代入可求得a＝3或a＝－1，∴直线方程为x＋y＝3或x－y＝－1.故所求直线方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.拓展1：求经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：①设出所求直线方程；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设的方程．求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程．思维点拨：题中△OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式．【例2】解：解法一：设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)，∴A(a,0)，B(0，b)，∴∴所求直线l的方程为

＝1，即2x＋3y－12＝0.直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分解法二：设直线l的方程为y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a＝3－令x＝0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b＝2－3k，∴ (2－3k)＝24，解得k＝－∴所求直线l的方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)，一条直线l过点P(1,4)，且分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程．解：设直线l：＝1(a，b>0)．因为点P(1,4)在l上，所以

＝1.由1＝所以S△AOB＝ab≥8.当

即a＝2，b＝8时取等号，且此时△AOB的面积最小．故4x＋y－8＝0为所求直线l的方程.变式2：一条直线l过点P(1,4)，且分别交x轴，y应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方程应化为一般式，特别是两平行线距离公式中x、y系数必须相等．过点P(－1,2)引一直线，使它与两点A(2,3)，B(－4,5)的距离相等，求这条直线方程．【例3】应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方解：解法一：设直线l的方程为y－2＝k

(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－

∴直线l的方程为y－2＝－

即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，也适合题意．故所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－直线l的方程为y－2＝－

即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB中点为(－1,4)．∴直线AB方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0，或x＝－1.解：解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，解法二：在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；也可以先求出过点A与l垂直的直线方程，再求中点坐标，处理线关于线的对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称都可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．思维点拨：转化为点关于直线的对称，利用方程组求解．解：解法一：由

知直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，∴设直线l2的方程为y＋1＝k

(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得解得k＝(k＝2舍去)，∴直线l2的方程为x－2y＝0.【例4】求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1解法二：设所求直线上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上．代入直线l1：y＝2x＋3，得x＋1＝2×(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0.解法二：设所求直线上一点P(x，y)，代入直线l1：y＝2x【方法规律】1．直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；因此在求直线方程时，一 定要判断所求直线是否存在斜率，若斜率存在时再选择适当的方程形式 求直线方程．2．求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方程，再求直线方程中的 系数，这种方法叫待定系数法．3．重视轨迹法求直线方程的方法，即在所求直线上设一任意点P(x，y)， 再找出x，y的一次关系式，例如求直线关于点对称的直线方程、求直线关 于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.【方法规律】1．直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；因此在【高考真题】(2009·全国Ⅰ卷)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2

则m的倾斜角可以是①15°

②30°

③45°

④60°

⑤75°其中正确答案的序号是

．(写出所有正确答案的序号)【高考真题】(2009·全国Ⅰ卷)若直线m被两平行线l1：x【规范解答】解析：两平行线间的距离为d＝

如图所示，可知直线m与l1、l2的夹角为30°，l1、l2的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.答案：①⑤点评：最常出现的错误就是漏解．【规范解答】解析：两平行线间的距离为d＝ 如图所示，【探究与研究】本题的目的是考查考生利用直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离等基础知识灵活解决问题的能力及数形结合思想的运用．【探究与研究】本题的目的是考查考生利用直线的斜率、直线的倾斜该类问题的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线的夹角问题．如图所示，设直线m被两条平行线l1、l2所截得的线段长度为l

，两平行线间的距离是d.当l=d时，直线m与l1、l2垂直，根据垂直关系解决；当l

>d时，根据图中的直角三角形可以求出直线m与直线l1、l2的夹角，根据这个夹角和直线l1、l2的倾斜角就可以求出直线m的倾斜角．该类问题的一般解决方法是通过数形结合转化为两直线本题也可以直接设出直线方程求解：当直线m的斜率不存在时，不妨设直线m的方程为x＝0，此时直线m与直线l1，l2的交点是(0,1)，(0,3)，这两点之间的距离为2，不等于2 故直线m的斜率一定存在．设直线m：y＝kx(这样设不失一般性)，与l1的方程联立得交点坐标是

与l2的方程联立得交点坐标是

根据两点间的距离公式得

,化简，得k2－4k＋1＝0，解得k＝2±

故直线m的倾斜角是15°或75°.本题也可以直接设出直线方程求解：当直线m的斜率不存在时，不妨名称方程适用范围斜截式不能表示垂直于x轴的直线点斜式不能表示垂直于x轴的直线两点式不能表示垂直于坐标轴的直线截距式不能表示垂直于坐标轴及过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)能表示平面上任何直线y＝kx＋by－y1＝k(x－x1)提示：截距和距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y轴的交点的纵坐标，横截距是直线与x轴的交点的横坐标；距离是一个非负数．名称方程适用范围斜截式不能表示垂直于x轴的直线点斜式不能表线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝

且y＝

.

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点坐标就是方程组

的.2．解3．线段的中点坐标公式2．解3．距离公式(1)两点间的距离公式：已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)，|AB|＝

；(2)点到直线的距离公式：已知点P(x0，y0)，直线l：Ax＋By＋C＝0，则d＝

；(3)两平行线间的距离公式：已知直线l1：Ax＋By＋C1＝0，直

线l2：Ax＋By＋C2＝0，则d＝

.4．距离公式(2)点到直线的距离公式：已知点P(x0，y0)，【思考】

在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式时应注意什么问题？答案：(1)求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；(2)求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算．【思考】在应用点到直线的距离公式与两条平行线间的距离公式1．过点(1，－1)和(0，－3)的直线在y轴上的截距为(

) A．

B. C．3 D．－3 解析：由斜率公式求得k＝2，∴直线方程为：y＋3＝2x 令x＝0，∴y＝－3. 答案：D1．过点(1，－1)和(0，－3)的直线在y轴上的截距为(若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋＝0相交于一点，则k等于(

)解析：由

得(－1，－2)，代入x＋ky＋k＋得k＝－答案：B2．若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＋k＋已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方程为(

)A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5解析：kAB＝

则线段AB的垂直平分线的斜率k＝2，又线段AB的中点坐标为

则线段AB的垂直平分线方程为y－＝2(x－2)，即4x－2y＝5.答案：B3．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的方已知点(a,2)(a＜0)到直线l：x－y＋1＝0的距离为2，则a等于________．解析：由点到直线的距离公式得：∴|a－1|＝2，又a＜0，∴a＝1－2答案：1－24．已知点(a,2)(a＜0)到直线l：x－y＋1＝0的距离为2确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据已知条件确定或找出能确定直线方程的两个条件，从而达到求出直线方程的目的．一般地，已知直线过一点，一般考虑点斜式或斜截式；已知直线过两点，一般考虑两点式；已知直线与两坐标轴相交得到的三角形的相关条件，一般考虑截距式；若已知一条非具体的直线，一般考虑一般式．确定一条直线需要两个独立条件，故求直线方程时就应围绕如何根据求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．思维点拨：选择截距式和斜截式均可．解：解法一：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为∵l过点P(3,2)，∴∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.【例1】求经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直解法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0，设直线方程为y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝∴直线l的方程为：y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)．即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.解法二：由题意，所求直线的斜率存在且k≠0，求经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程．解：当直线过原点时，截距相等且均为零截距，∴直线方程为y＝2x.当直线不过原点时，可设方程为：＝1，将(1,2)代入可求得a＝3或a＝－1，∴直线方程为x＋y＝3或x－y＝－1.故所求直线方程为2x－y＝0或x＋y－3＝0或x－y＋1＝0.拓展1：求经过点A(1,2)，并且在两个坐标轴上的求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定系数法确定其中的参数，待定系数法求直线方程的步骤：①设出所求直线方程；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设的方程．求直线的方程，要善于根据条件，合理选用直线方程的形式，用待定直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分别交于A、B两点，△OAB的面积为12，求直线l的方程．思维点拨：题中△OAB的面积与截距有关，自然联想到直线方程的截距式．【例2】解：解法一：设直线l的方程为＝1(a>0，b>0)，∴A(a,0)，B(0，b)，∴∴所求直线l的方程为

＝1，即2x＋3y－12＝0.直线l经过点P(3,2)且与x，y轴的正半轴分解法二：设直线l的方程为y－2＝k

(x－3)，令y＝0，得直线l在x轴的正半轴上的截距a＝3－令x＝0，得直线l在y轴的正半轴上的截距b＝2－3k，∴ (2－3k)＝24，解得k＝－∴所求直线l的方程为y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.解法二：设直线l的方程为y－2＝k(x－3)，一条直线l过点P(1,4)，且分别交x轴，y轴的正半轴于A、B两点，O为原点，求△AOB的面积最小时直线l的方程．解：设直线l：＝1(a，b>0)．因为点P(1,4)在l上，所以

＝1.由1＝所以S△AOB＝ab≥8.当

即a＝2，b＝8时取等号，且此时△AOB的面积最小．故4x＋y－8＝0为所求直线l的方程.变式2：一条直线l过点P(1,4)，且分别交x轴，y应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方程应化为一般式，特别是两平行线距离公式中x、y系数必须相等．过点P(－1,2)引一直线，使它与两点A(2,3)，B(－4,5)的距离相等，求这条直线方程．【例3】应用点到直线的距离公式和两平行线的距离公式处理问题时，直线方解：解法一：设直线l的方程为y－2＝k

(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－

∴直线l的方程为y－2＝－

即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝－1，也适合题意．故所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.解法二：当AB∥l时，有k＝kAB＝－直线l的方程为y－2＝－

即x＋3y－5＝0.当l过AB中点时，AB中点为(－1,4)．∴直线AB方程为x＝－1，故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0，或x＝－1.解：解法一：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，解法二：在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理这种问题关键是抓住垂直与平分两个几何条件，转化为代数关系列方程求解；也可以先求出过点A与l垂直的直线方程，再求中点坐标，处理线关于线的对称可以转化为点关于直线的对称问题来解决；直线关于点的对称都可转化为点关于点的对称来处理，结合“代入法”求轨迹方程的思想方法解题也是这类问题的一个通法．在对称问题中，点关于直线的对称是最基本也是最重要的对称，处理求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1对称的直线l2的方程．思维点拨：转化为点关于直线的对称，利用方程组求解．解：解法一：由

知直线l1与l的交点坐标为(－2，－1)，∴设直线l2的方程为y＋1＝k

(x＋2)，即kx－y＋2k－1＝0.在直线l上任取一点(1,2)，由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等，由点到直线的距离公式得解得k＝(k＝2舍去)，∴直线l2的方程为x－2y＝0.【例4】求直线l1：y＝2x＋3关于直线l：y＝x＋1解法二：设所求直线上一点P(x，y)，则在直线l1上必存在一点P1(x0，y0)与点P关于直线l对称．由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点P2在直线l上．代入直线l1：y＝2x＋3，得x＋1＝2×(y－1)＋3，整理得x－2y＝0.所以所求直线方程为x－2y＝0.解法二：设所求直线上一点P(x，y)，代入直线l1：y＝2x【方法规律】1．直线一定有倾斜角，但不一定都存在斜率；因此在