圆弧长为定长的曲边三角形AOB面积最大课件

等周问题圆是最完美的图形。——但丁等周问题圆是最完美的图形。引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐，又跑了许多路再向左拐第二个直弯，此时正值中午，巴霍姆又跑了2里，还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。托尔斯泰通过小说告诫世人：人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳一本课题学习的意义苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教师理想的进修课题。”等周问题是17世纪数学家感兴趣的问题之一。它在数学发展史上占有重要地位，对变分法的产生和发展起了重要作用。本课题学习的意义苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，既精要等周问题的发现——自然界的现象大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，都是圆形的。水管等管道大自然也偏爱球形树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形。很多水果是球形的，等等。这是为什么？等周问题的发现——自然界的现象大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，等周问题的发现——泡沫实验把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上，用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲线立即变成一个圆.17世纪各种泡沫实验在数学家中风靡一时，实验的目的是从中获取数学猜想。等周问题的发现——泡沫实验把一根柔软的细线两端连接起来，围成周长为1的图形的面积图形面积圆0.0793正方形0.0625象限角形9000.0616矩形（3：2）0.0601半圆0.0595等边扇形6000.0564矩形（2：1）0.0556等边三角形0.0481矩形（3：1）0.0464等腰直角三角形0.0427泡沫实验获得的猜想：在周长为定值的一切封闭曲线中,以圆所围成的面积为最大。笛卡尔的验证这个简短的表强烈地暗示出等周定理，因为再在表中增加几个图形，也增加不了多少启发性。周长为1的图形的面积图形面积圆0.0793正方形0.0625等周定理：周长定值的一切封闭曲线中,圆围成的面积最大。假设φ是周长为定值面积最大的封闭曲线。首先证明φ是凸图形,然后证明平分φ周长的弦必平分面积；最后证平分周长与面积的弦AB必是直径；综上所述φ为圆.等周定理：周长定值的一切封闭曲线中,圆围成的面积最大。假设等周定理的2种形式及其等价形式1：在所有等周的平面封闭图形中，以圆面积最大。形式2：在所有等面积的平面封闭图形中，以圆周长最小。

是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。设等周定理的2种形式及其等价形式1：在所有等周的平面封闭图形中设是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。。作的同心圆，使其有周长q，于是由知，圆必在圆的内部，圆的面积.但另一方面，由于和P有相同的周长，依据等周定理1，应有这就产生了矛盾。故必有p<q证明：假设设是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周等周定理应用——纪塔娜问题传说古代非洲沿海某部落酋长答应给纪塔娜一块“由灰鼠皮能包住”的土地。纪塔娜想出了巧妙的办法，在海岸边划出了一块意想不到大的土地。问：纪塔娜如何围呢？将灰鼠皮尽量剪细，结成尽可能长的一条线。沿海岸线对称，则构成一周长为定值的封闭图形。结论：沿海岸线用这条长线围成一半圆时，“土地”面积最大。等周定理应用——纪塔娜问题传说古代非洲沿海某部落酋长答应给纪多边形等周定理在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n边形面积最大？注意：⊿ABC的边AB固定，其它两边之和一定的所有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。法1利用三角形面积的海伦公式法2顶点C的轨迹是椭圆，故当点C在短轴的顶点时面积最大。引理1：

在周长为定值l的n(n≥3)边形中，要使其面积最大，各边必须相等。多边形等周定理在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n边多边形等周定理引理2：在各边之长固定的所有n边形中，能内接于圆的n边形面积最大。确认一个事实：在边长给定的n边形中，一定存在一个内接于圆的n边形。多边形等周定理引理2：在各边之长固定的所有n边形中，能内接于多边形等周定理的证明多边形等周定理：在周长为定值l的一切n(n≥3)边形中，正n边形的面积最大。证明：设Φ是那个面积最大的n边形，则Φ的各边相等（等于l/n），否则，据引理1可找到比Φ的面积更大的n边形。Φ既然是边长为l/n的n边形，由引理2，Φ一定内接于圆。综上所述，Φ是正n边形。

多边形等周定理的证明多边形等周定理：证明：设Φ是那个面积最大总结：等周定理系列在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长最小。在所有等周的n(n≥3)边形中，正n边形面积最大。在所有等面积的n(n≥3)边形中，正n边形的周长最小。空间中有类似的定理。总结：等周定理系列在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐，又跑了许多路再向左拐第二个直弯，此时正值中午，巴霍姆又跑了2里，还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。托尔斯泰通过小说告诫世人：人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的相应各端系在一起（当然绳比杆长），怎样才能围出最大的面积?等周问题的应用3——杆和绳弓形弓形结论：当绳构成一段圆弧时，由杆和绳所围成的面积最大。

已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的相应各端系在一起（当然绳两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何结成一曲边四边形ABCD，才能围出最大面积？杆和绳问题推广答：当绳BC和AD是以杆AB和CD为弦的同一圆的圆弧时有最大值。类似的，n根杆与n条绳交替相连，当所有杆均为同一圆的弦，所有绳均为该圆的圆弧时，由这2n段组成的封闭曲线有最大面积。

两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何结成一曲边四边等周定理应用4——海角问题已知一张开小于1800的角。用一定长的线截此角，怎样才可使截下的曲边三角形面积最大？考虑特殊角，如120度，90度，45度等情形，你能获得什么结论？结论：若已知角的n倍恰为360度，则以角的顶点为圆心且圆弧为定长所围成的曲边三角形最大面积。等周定理应用4——海角问题已知一张开小于1800的角。用一定进一步猜想：用一定长的线截一小于1800的角，则以角的顶点为圆心、定长为圆弧所围成的曲边三角形面积最大。对吗？进一步猜想：对吗？1.给定一个角和分别在两边上的定点A,B，问如何由此角和连接A,B的定长曲线围出最大面积的曲边三角形？问题的解决—猜想的证明连结A,B两点，转化为“一根杆和一条绳”问题AB1.给定一个角和分别在两边上的定点A,B，问如何由此角和连接2.给定一角和其中一边上的定点A，求由此角和过点A的定长曲线围出的最大面积。

将角AOC关于OC反射，问题归结为11的结论：当具有已知长度的曲线为圆弧时面积最大2的结论：当具有已知长度的曲线为垂直OC的圆弧时有最大值但尚不知给定的一角为钝角的情形。？？2.给定一角和其中一边上的定点A，求由此角和过点A的定长曲线3.给定一锐角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角形AOB？利用局部变动法。把A当成固定的，由2知其解为垂直于OB的圆弧；把B当成固定的，由2知其解为垂直于OA的圆弧。最后，解是既垂直于OA又垂直于OB的圆弧，因此其圆心为O。所以，以O为圆心，圆弧长为定长的曲边三角形AOB面积最大。B3.给定一锐角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角形征解：给定一钝角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角形？A征解：给定一钝角，如何由此角和定长曲线围出最大面积的曲边三角练习5、水槽问题已知马口铁的宽度为b，用它来制作水槽。由于水槽的截面愈大，水的流量就愈多，因此希望截面尽可能地大。①若要求水槽的截面为等腰梯形，那么如何设计水槽的底与腰长以及底角，才能使水槽中水的流量最大？若水槽的截面为五边形，又该如何设计？说明理由。②问怎样利用马口铁的现有宽度，来满足水槽具有最大截面的要求？说明理由。6、（1978年北京市数学竞赛题）设有一直角O，试在直角的一边上求一点A，在另一边上求一点B，在直角内求一点C，使BC+CA等于定长l，且使四边形ACBO的面积最大。练习5、水槽问题问题探讨1.表面积为定值，体积最大的n棱柱的形状如何？说明理由。2.表面积为定值，体积最大的柱体形状如何？说明理由。问题探讨1.表面积为定值，体积最大的n棱柱的形状如何？说明理结语等周定理能启迪我们不断提出问题；波利亚说，等周的根深札于我们的经验直觉之中，它是灵感的不竭源泉。结语等周定理能启迪我们不断提出问题；等周问题圆是最完美的图形。——但丁等周问题圆是最完美的图形。引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐，又跑了许多路再向左拐第二个直弯，此时正值中午，巴霍姆又跑了2里，还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。托尔斯泰通过小说告诫世人：人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。引题：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳一本课题学习的意义苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，既精要又美妙的一个古典几何问题，是数学教师理想的进修课题。”等周问题是17世纪数学家感兴趣的问题之一。它在数学发展史上占有重要地位，对变分法的产生和发展起了重要作用。本课题学习的意义苏步青认为：等周问题是人类理性文明中，既精要等周问题的发现——自然界的现象大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，千万种美丽的花朵，都是圆形的。水管等管道大自然也偏爱球形树叶上的露珠，太阳、地球、月亮、行星，头盖骨等都自然地形成球形或近似于球形。寒夜，一只猫钻进干草垛，把自己的身体尽可能蜷伏成球形。很多水果是球形的，等等。这是为什么？等周问题的发现——自然界的现象大自然偏爱圆形，向日葵的子盘，等周问题的发现——泡沫实验把一根柔软的细线两端连接起来，围成一个任意形状的封闭曲线，把它轻轻放在充满泡沫的肥皂液上，用烧热的针刺破曲线内的薄膜，此时这条封闭曲线立即变成一个圆.17世纪各种泡沫实验在数学家中风靡一时，实验的目的是从中获取数学猜想。等周问题的发现——泡沫实验把一根柔软的细线两端连接起来，围成周长为1的图形的面积图形面积圆0.0793正方形0.0625象限角形9000.0616矩形（3：2）0.0601半圆0.0595等边扇形6000.0564矩形（2：1）0.0556等边三角形0.0481矩形（3：1）0.0464等腰直角三角形0.0427泡沫实验获得的猜想：在周长为定值的一切封闭曲线中,以圆所围成的面积为最大。笛卡尔的验证这个简短的表强烈地暗示出等周定理，因为再在表中增加几个图形，也增加不了多少启发性。周长为1的图形的面积图形面积圆0.0793正方形0.0625等周定理：周长定值的一切封闭曲线中,圆围成的面积最大。假设φ是周长为定值面积最大的封闭曲线。首先证明φ是凸图形,然后证明平分φ周长的弦必平分面积；最后证平分周长与面积的弦AB必是直径；综上所述φ为圆.等周定理：周长定值的一切封闭曲线中,圆围成的面积最大。假设等周定理的2种形式及其等价形式1：在所有等周的平面封闭图形中，以圆面积最大。形式2：在所有等面积的平面封闭图形中，以圆周长最小。

是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。设等周定理的2种形式及其等价形式1：在所有等周的平面封闭图形中设是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周长为q，则必有p<q。。作的同心圆，使其有周长q，于是由知，圆必在圆的内部，圆的面积.但另一方面，由于和P有相同的周长，依据等周定理1，应有这就产生了矛盾。故必有p<q证明：假设设是面积为A的圆，其周长为p，P是面积为A的非圆闭曲线，其周等周定理应用——纪塔娜问题传说古代非洲沿海某部落酋长答应给纪塔娜一块“由灰鼠皮能包住”的土地。纪塔娜想出了巧妙的办法，在海岸边划出了一块意想不到大的土地。问：纪塔娜如何围呢？将灰鼠皮尽量剪细，结成尽可能长的一条线。沿海岸线对称，则构成一周长为定值的封闭图形。结论：沿海岸线用这条长线围成一半圆时，“土地”面积最大。等周定理应用——纪塔娜问题传说古代非洲沿海某部落酋长答应给纪多边形等周定理在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n边形面积最大？注意：⊿ABC的边AB固定，其它两边之和一定的所有三角形中，以等腰三角形的面积为最大。法1利用三角形面积的海伦公式法2顶点C的轨迹是椭圆，故当点C在短轴的顶点时面积最大。引理1：

在周长为定值l的n(n≥3)边形中，要使其面积最大，各边必须相等。多边形等周定理在周长为定值l的n(n≥3)边形中，怎样的n边多边形等周定理引理2：在各边之长固定的所有n边形中，能内接于圆的n边形面积最大。确认一个事实：在边长给定的n边形中，一定存在一个内接于圆的n边形。多边形等周定理引理2：在各边之长固定的所有n边形中，能内接于多边形等周定理的证明多边形等周定理：在周长为定值l的一切n(n≥3)边形中，正n边形的面积最大。证明：设Φ是那个面积最大的n边形，则Φ的各边相等（等于l/n），否则，据引理1可找到比Φ的面积更大的n边形。Φ既然是边长为l/n的n边形，由引理2，Φ一定内接于圆。综上所述，Φ是正n边形。

多边形等周定理的证明多边形等周定理：证明：设Φ是那个面积最大总结：等周定理系列在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。在所有等面积的平面封闭图形中，圆周长最小。在所有等周的n(n≥3)边形中，正n边形面积最大。在所有等面积的n(n≥3)边形中，正n边形的周长最小。空间中有类似的定理。总结：等周定理系列在所有等周的平面封闭图形中，圆面积最大。应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳一出来，来买地的人就出去跑，一天内跑圈多大地方，这地就属于他，价格1千卢布，但太阳落山时须回到出发地，否则1千卢布白花。巴霍姆去买地，太阳一出来他就开始跑。巴霍姆先向前跑了10里才开始向左直拐，又跑了许多路再向左拐第二个直弯，此时正值中午，巴霍姆又跑了2里，还有15里赶近路，终于在太阳落山时回到出发地。但随即倒地不省人事，当家人告诉他圈出的地方不值1千卢布时，巴霍姆立刻口吐鲜血而亡。托尔斯泰通过小说告诫世人：人不能贪得无厌，宝贵的是生命，重要的是人的智慧。应用2：人需要很多土地吗？（俄国托尔斯泰）有人卖地，规定太阳已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的相应各端系在一起（当然绳比杆长），怎样才能围出最大的面积?等周问题的应用3——杆和绳弓形弓形结论：当绳构成一段圆弧时，由杆和绳所围成的面积最大。

已知一根杆和一条绳，把杆的各端与绳的相应各端系在一起（当然绳两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何结成一曲边四边形ABCD，才能围出最大面积？杆和绳问题推广答：当绳BC和AD是以杆AB和CD为弦的同一圆的圆弧时有最大值。类似的，n根杆与n条绳交替相连，当所有杆均为同一圆的弦，所有绳均为该圆的圆弧时，由这2n段组成的封闭曲线有最大面积。

两根杆AB和CD，两条定长的绳BC和AD，如何结成一曲边四边等周定理应用4——海角问题已知一张开小于1800的角。用一定长的线截此角，怎样才可使截下的曲边三角形面积最大？考虑特殊角，如120度，90度，45度等情形，你能获得什么结论？结论：若已知角的n倍恰为360度，则以角的顶点为圆心且圆弧为定长所围成的曲边三角形最大面积。等周定理应用4——海角问题已知一张开小于1800的角。用一定进一步猜想：用一定长的线截一小于1800的角，则以角的顶点为圆心、定长为圆弧所围成的曲边三角形面积最大。对吗？进一步猜想：对吗？1.给定一个角和分别在两边上的定点A,B，问如何由此角和连接A,B的定长曲线围出最大面积的曲边三角形？问题的解决—猜想的证明连结A,B两点，转化为“一根杆和一条绳”问题AB1.给定一个角和分别在两边上的定点A,B，问如何由此角和连接2.给定一角和其中一边上的定