2025年高考数学专项题型点拨训练之初等数论

年高考数学专项题型点拨训练初等数论【题型一】整数与整除【题型二】同余与孙子定理【题型三】素数和合数【题型四】算数基本定理【题型五】费马小定理及欧拉定理【题型六】拉格朗日定理及威尔逊定理【题型七】平方数【题型八】高斯函数在新结构试卷中，压轴题出现了初等数论的相关问题，这类问题大多属于阅读理解题，学生不需要对数论知识点进行掌握，但是需要对题干所给的信息进行理解分析，利用高中的方法解决相应问题，一般都出现在压轴题，虽然属于阅读理解题，但基本数论的思维的拓展和应用在短时间内要想完全梳理明白也并非简单的事情，所以平时还是需要多锻炼这类相关的试题。【题型一】整数与整除【例1】（2024·河北·一模）若一个两位正整数的个位数为4，则称为“好数”，若，且，为正整数，则称数对为“友好数对”，规定：，例如，称数对为“友好数对”，，则小于70的“好数”中，所有“友好数对”的的最大值为．【例2】一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“可爱数”.比如，16就是一个“可爱数”.在自然数列中从1开始数起，第2024个“可爱数”是.【变式1】（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设p为素数，对任意的非负整数n，记，，其中，如果非负整数n满足能被p整除，则称n对p“协调”．(1)分别判断194，195，196这三个数是否对3“协调”，并说明理由；(2)判断并证明在，，，…，这个数中，有多少个数对p“协调”；(3)计算前个对p“协调”的非负整数之和．【变式2】（2024·湖南衡阳·二模）莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数都可以被唯一表示为有限个质数的乘积形式：（为的质因数个数，为质数，），例如：，对应．现对任意，定义莫比乌斯函数(1)求；(2)若正整数互质，证明：；(3)若且，记的所有真因数（除了1和以外的因数）依次为，证明：．【题型二】同余与孙子定理【例1】已知正整数满足，且与有相同的个位数字，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．前三个答案都不对【例2】“”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（

）A． B．C．对任意，都有 D．存在【变式1】已知正整数满足，且与有相同的个位数字，则的最小值为（

）A．4 B．6 C．8 D．前三个答案都不对【变式2】（2024·河南·模拟预测）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．(1)若，求；(2)对，记为除以的余数（当能被整除时，）．证明：，其中；(3)已知．对，令．证明：．【题型三】素数和合数【例1】（22-23高三上·北京朝阳·期中）已知点集．设非空点集，若对中任意一点，在中存在一点（与不重合），使得线段上除了点外没有中的点，则中的元素个数最小值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例2】设整数a，m，n满足，则这样的整数组的个数为（

）A．无穷多个 B．4个 C．2个 D．前三个答案都不对【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）求最小的实数，使得对任意的正整数，可以将其表示成2024个正整数之积，即，且满足对任意的，均有是素数或者．【变式2】（2024高二·全国·竞赛）正整数称为“好数”，如果对任意不同于的正整数，均有，这里，表示实数的小数部分.证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数.【题型四】算数基本定理【例1】（高三·北京·强基计划）设是正2016边形，从这2016个顶点中选出若干个使之能作为正多边形的顶点，则不同的选法共有（

）A．2520种 B．3528种 C．4536种 D．6552种【例2】（高三上·北京·强基计划）设，集合T是S的n元子集，且其中任意两个元素互质，对任意符合要求的集合T，均至少包含一个质数，则n的最小值为（

）A．15 B．16 C．17 D．18【变式1】（高三·上海·竞赛）若a、b、c、d为整数，且，则有序数组（a，b，c，d）=.【变式2】四位数和互为反序的正整数，且，、分别有16个、12个正因数（包括1和本身），的质因数也是的质因数，但的质因数比的质因数少1个，求的所有可能值.【题型五】费马小定理及欧拉定理【例1】（2024·河北沧州·一模）设为非负整数，为正整数，若和被除得的余数相同，则称和对模同余，记为．若为质数，为不能被整除的正整数，则，这个定理是费马在1636年提出的费马小定理，它是数论中的一个重要定理．现有以下4个命题：①；②对于任意正整数；③对于任意正整数；④对于任意正整数．则所有的真命题为（

）A．①④ B．② C．①②③ D．①②④【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知素数证明：为整数，其中．【变式1】（23-24高三下·河北·开学考试）设a，b为非负整数，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．(1)求证：；(2)若p是素数，n为不能被p整除的正整数，则，这个定理称之为费马小定理．应用费马小定理解决下列问题：①证明：对于任意整数x都有；②求方程的正整数解的个数．【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足.(1)证明：是正整数数列；(2)是否存在，使得？并说明理由.【题型六】拉格朗日定理及威尔逊定理【例1】（2024高三上·全国·专题练习）已知，，(1)若在处取得极值，试求的值和的单调增区间；(2)如图所示，若函数的图象在连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在，使得，利用这条性质证明：函数图象上任意两点的连线斜率不小于．【变式1】对于正整数n，记与的最大公因子为，若，则称n是奇异的．证明：若n是奇异的，则也是奇异的．【题型七】平方数【例1】（23-24高二上·辽宁·期末）已知与均为完全平方数，且的正整数共有（）个A．1 B．12C．13 D．以上都不对【例2】（2024高三上·全国·竞赛）对于各数位均不为0的三位数，若两位数和均为完全平方数，则称具有“性质”，则具有“性质”的三位数的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式1】（2024高三上·全国·竞赛）设双曲线Γ:，，B，C在Γ上且直线经过A.设分别为Γ在B，C处的切线，点D满足，则D的轨迹方程是;若D的横纵坐标均为正整数，且二者之和大于2024，则D可以是.(写出1个即可).【变式2】（2024高三·全国·专题练习）求所有的正整数，使得为完全平方数．【题型八】高斯函数【例1】（多选）（2024·全国·模拟预测）积性函数指对于所有互质的整数和有的数论函数．则以下数论函数是积性函数的有（

）A．高斯函数表示不大于实数的最大整数B．最大公约数函数表示正整数与的最大公约数（是常数）C．幂次函数表示正整数质因数分解后含的幂次数（是常数）D．欧拉函数表示小于正整数的正整数中满足与互质的数的数目【例2】（2024高三·全国·专题练习）已知，则数列中整数项的个数为．【变式1】（23-24高一下·湖北·阶段练习）设，我们常用来表示不超过的最大整数.如：.(1)求证：；(2)解方程：；(3)已知，若对，使不等式成立，求实数的取值范围.【变式2】60支球队两两比赛，且一定有胜负，每队赢的概率均为0.5，设没有两队赢相同场数的概率为，其中p，q为互质的正整数，则使得可整除p的最大正整数n是（

）A．1768 B．1746 C．1714 D．1702【题型九】不定方程【例1】（2024高三·北京·竞赛）正整数满足：，则的可能值有（

）A．