多目标规划方法概论

第六章多目标规划方法

在地理学研究中，对于许多规划问题，常常需要考虑多个目标，如经济效益目标，生态效益目标，社会效益目标，等等。为了满足这类问题研究之需要，本章拟结合有关实例，对多目标规划方法及其在地理学研究中的应用问题作一些简单地介绍。本章主要内容：多目标规划及其求解技术简介目标规划方法

多目标规划应用实例

多目标规划及其非劣解多目标规划求解技术简介§6.1多目标规划及其非劣解

一、多目标规划及其非劣解（一）任何多目标规划问题，都由两个基本部分组成：（1）两个以上的目标函数；（2）若干个约束条件。

（二）对于多目标规划问题，可以将其数学模型一般地描写为如下形式：

（6.1.2）（6.1.1）式中：为决策变量向量。

如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩写，即：（6.1.3）

（6.1.4）式中：是k维函数向量，k是目标函数的个数；是m维函数向量；是m维常数向量；m是约束方程的个数。

对于线性多目标规划问题，（6.1.3）和（6.1.4）式可以进一步用矩阵表示：

（6.1.5）（6.1.6）式中：为n维决策变量向量；为k×n矩阵，即目标函数系数矩阵；为m×n矩阵，即约束方程系数矩阵；为m维的向量，约束向量。二、多目标规划的非劣解

对于上述多目标规划问题，求解就意味着需要做出如下的复合选择：▲每一个目标函数取什么值，原问题可以得到最满意的解决？▲每一个决策变量取什么值，原问题可以得到最满意的解决？多目标规划问题的求解不能只追求一个目标的最优化（最大或最小），而不顾其它目标。非劣解：可以用图说明。图6.1.1多目标规划的劣解与非劣解在图6.1.1中，就方方案①和②来来说，①的目目标值值比②大，但但其目标值比比②小小，因此无法法确定这两个个方案的优与与劣。在各个个方案之间，，显然：③比比②好，④比比①好，⑦比比③好，⑤比比④好。而对于方案⑤⑤、⑥、⑦之之间则无法确确定优劣，而而且又没有比比它们更好的的其他方案，，所以它们就就被称之为多多目标规划问问题的非劣解解或有效解，，其余方案都都称为劣解。。所有非劣解解构成的集合合称为非劣解解集。当目目标标函函数数处处于于冲冲突突状状态态时时，，就就不不会会存存在在使使所所有有目目标标函函数数同同时时达达到到最最大大或或最最小小值值的的最最优优解解，，于于是是我我们们只只能能寻寻求求非非劣劣解解（（又又称称非非支支配配解解或或帕帕累累托托解解））。。一、、效效用用最最优优化化模模型型二、、罚罚款款模模型型三、、约约束束模模型型四、、目目标标规规划划模模型型五、、目目标标达达到到法法§6.2多多目目标标规规划划求求解解技技术术简简介介为了了求得得多多目目标标规规划划问问题题的的非非劣劣解解，常常常常需需要要将将多多目目标标规规划划问问题题转转化化为为单单目目标标规规划划问问题题去去处处理理。。实实现现这这种种转转化化，，有有如如下下几几种种建建模模方方法法。。是与各目标函数相关的效用函数的和函数。

一、、效效用用最最优优化化模模型型建摸摸依依据据：：规划划问问题题的的各各个个目目标标函函数数可可以以通通过过一一定定的的方方式式进进行行求求和和运运算算。。这这种种方方法法将将一一系系列列的的目目标标函函数数与与效效用用函函数数建建立立相相关关关关系系，，各各目目标标之之间间通通过过效效用用函函数数协协调调，，使使多多目目标标规规划划问问题题转转化化为为传传统统的的单单目目标标规规划划问问题题：：））））在用用效效用用函函数数作作为为规规划划目目标标时时，，需需要要确确定定一一组组权权值值来来反反映映原原问问题题中中各各目目标标函函数数在在总总体体目目标标中中的的权权重重，，即即：：式中中，，诸诸应应满满足足：：若采采用用向向量量与与矩矩阵阵二、、罚罚款款模模型型规划划决决策策者者对对每每一一个个目目标标函函数数都都能能提提出出所所期期望望的的值值（（或或称称满满意意值值））；；通过过比比较较实实际际值值与期期望望值值之间间的的偏偏差差来来选选择择问问题题的的解解，，其其数数学学表表达达式式如如下下：：或写写成成矩矩阵阵形形式式：：式中中，，是是与与第第i个目目标标函函数数相相关关的的权权重重；；A是是由由组组成成的的m×m对角矩矩阵阵。。三、、约约束束模模型型理论论依依据据：若规规划划问问题题的的某某一一目目标标可可以以给给出出一一个个可可供供选选择择的的范范围围，，则则该该目目标标就就可可以以作作为为约约束束条条件件而而被被排排除除出出目目标标组组，，进进入入约约束束条条件件组组中中。。假如如，，除除第第一一个个目目标标外外，，其其余余目目标标都都可可以以提提出出一一个个可可供供选选择择的的范范围围，，则则该该多多目目标标规规划划问问题题就就可可以以转转化化为为单单目目标标规规划划问问题题：：采用矩阵可记为：四、目标规划划模型也需要预先确确定各个目标标的期望值，，同时时给每一个目目标赋予一个个优先因子和和权系数，假假定有K个目标，L个优先级，，目标规划模模型的数学形形式为：（6.2.18）（6.2.19）（6.2.20）式中：和和分别别表示与相相应的、与与相比比的目标超过值值和不足值，，即正、负偏偏差变量；表示第l个优优先级；、表示在在同一优先级级中，，不同目标的的正、负偏差变变量的权系数数。五、目标达到到法首先将多目标标规划模型化化为如下标准准形式：（6.2.21）（6.2.22）在求解之前，，先设计与目目标函数相应应的一组目标标值理想化的的期望目标,每一一个目标对应应的权重系数数为，，再设为为一松弛因因子。那么，，多目标规划））～（6.2.22）就就转化为：（6.2.25）（6.2.24）（6.2.23）用目标达到法法求解多目标标规划的计算算过程，可以以通过调用Matlab软件件系系统统优优化化工工具具箱箱中中的的fgoalattain函数数实实现现。。该该函函数数的的使使用用方方法法，，详详见见教教材材的的配配套套光光盘盘。。§6.3目目标标规规划划方方法法通过过上上节节的的介介绍绍和和讨讨论论，，我我们们知知道道，，目目标标规规划划方方法法是是解解决决多多目目标标规规划划问问题题的的重重要要技技术术之之一一。。这一方法是美国学者查恩恩斯（A.Charnes）和库伯伯（W.W.Cooper）于1961年在线线性规划的基基础上提出来来的。后来，，查斯基莱恩恩（U.Jaashelainen）和李（Sang.Lee）等人人，进一步给给出了求解目目标规划问题题的一般性方方法——单纯纯形方法。目标规划模型型求解目标规规划的单纯纯形方法本节主要内内容：一、目标规规划模型给定若干目目标以及实实现这些目目标的优先先顺序，在在有限的资资源条件下下，使总的的偏离目标标值的偏差差最小。（一）基本本思想：例1：某一个企企业利用某某种原材料料和现有设设备可生产产甲、乙两两种产品，，其中，甲甲、乙两种种产品的单单价分别为为8元和10元；生生产单位甲甲、乙两种种产品需要要消耗的原原材料分别别为2个单单位和1个个单位，需需要占用的的设备分别别为1台时时和2台时时；原材料料拥有量为为11个单单位；可利利用的设备备总台时为为10台时时。试问：：如何确定定其生产方方案？（二））目标标规划划的有有关概概念如果决决策者者所追追求的的唯一一目标标是使使总产产值达达到最最大，，则这这个企企业的的生产产方案案可以以由如如下线线性规规划模模型给给出：：求，，，，使））而且满满足：：式中：：和为为决策策变量量，为为目标标函数数值。。将上上述问问题化化为标标准后后，用用单纯纯形方方法求求解可可得最最佳决决策方方案为为（（万万元））。但是，，在实实际决决策时时，企企业领领导者者必须须考虑虑市场场等一一系列列其它它条件件，如如：①根据市市场信信息，，甲种种产品品的需需求量量有下下降的的趋势势，因因此甲甲种产产品的的产量量不应应大于于乙种种产品品的产产量。。②超过计计划供供应的的原材材料，，需用用高价价采购购，这这就会会使生生产成成本增增加。。③应尽可可能地地充分分利用用设备备的有有效台台时，，但不不希望望加班班。④应尽可可能达达到并并超过过计划划产值值指标标56元。。这样，，该企企业生生产方方案的的确定定，便便成为为一个个多目目标决决策问问题，，这一一问题题可以以运用用目标标规划划方法法进行行求解解。为了建建立目目标规规划数数学模模型，，下面面引入入有关关概念念。目标规规划模模型的的有关关概念念1.偏偏差变变量在目标标规划划模型型中，，除了了决策策变量量外，，还需需要引引入正正、负负偏差差变量量、、。。其中中，正正偏差差变量量表示示决策策值超超过目目标值值的部部分，，负偏偏差变变量表表示决决策值值未达达到目目标值值的部部分。。因为决决策值值不可可能既既超过过目标标值同同时又又未达达到目目标值值，故故有成成立立。2、绝绝对约约束和和目标标约束束绝对约约束，必须须严格格满足足的等等式约约束和和不等等式约约束，，譬如如，线线性规规划问问题的的所有有约束束条件件都是是绝对对约束束，不不能满满足这这些约约束条条件的的解称称为非非可行行解，，所以以它们们是硬硬约束束。目标约约束，目标标规划划所特特有的的，可可以将将约束束方程程右端端项看看作是是追求求的目目标值值，在在达到到此目目标值值时允允许发发生正正的或或负的的偏差差，可加加入正正负偏偏差变变量，，是软软约束束。线性规规划问问题的的目标标函数数，在在给定定目标标值和和加入入正、、负偏偏差变变量后后可以以转化化为目目标约约束，，也可可以根根据问问题的的需要要将绝绝对约约束转转化为为目标标约束束。目标规规划模模型的的有关关概念念目标规规划模模型的的有关关概念念3.优优先因因子（（优先先等级级）与与权系系数一个规规划问问题,常常常有若若干个个目标标，决决策者者对各各个目目标的的考虑虑,往往往是是有主主次或或轻重重缓急急的。。凡要要求第第一位位达到到的目目标赋赋予优优先因因子，，次位位的目目标赋赋予优优先因因子，，………，并并规定定表表示示比比有有更大大的优优先权权。这这就是是说，，首先先保证证级级目目标的的实现现，这这时可可以不不考虑虑次级级目标标；而而级目标标是在在实现现级级目目标的的基础础上考考虑的的；依依此类类推。。若要要区别别具有有相同同优先先因子子的的目目标的的差别别，就就可以以分别别赋予予它们们不同同的权权系数数。。这些些优先先因子子和权权系数数都由由决策策者按按照具具体情情况而而定。。4.目目标函函数目标规规划的的目标标函数数（准准则函函数））是按按照各各目标标约束束的正正、负负偏差差变量量和赋赋予相相应的的优先先因子子而构构造的的。当当每一一目标标确定定后，，尽可可能缩缩小与与目标标值的的偏离离。因因此，，目标标规划划的目目标函函数只只能是是：基本形形式有有三种种：目标规规划模模型的的有关关概念念））a)要要求求恰好好达到到目标标值，，就是是正、、负偏偏差变变量都都要尽尽可能能小,即））b)要要求求不超超过目目标值值，即即允许许达不不到目目标值值，就就是正正偏差差变量量要尽尽可能能小，，即））c)要要求求超过过目标标值，，也就就是超超过量量不限限，但但负偏偏差变变量要要尽可可能小小，即即））在实际际问题题中，，可以以根据据决策策者的的要求求，引引入正正、负负偏差差变量量和目目标约约束，，并给给不同同目标标赋予予相应应的优优先因因子和和权系系数，，构造造目标标函数数，建建立模模型。。例2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56元。并分别赋予这三个目标优先因子。试建立该问题的目标规划模型。解：根据据题意意，这这一决决策问问题的的目标标规划划模型型是（6.3.9）（6.3.10）（6.3.11）（6.3.12）（6.3.13）（6.3.14）假定有L个目标，K个优先级(K≤L)，n个变量。在同同一优先级中中不同目目标的正、负负偏差变量的的权系数分别别为、、，则多多目标规划问问题可以表示示为：（三）目标规规划模型的一一般形式（6.3.15）（6.3.16）（6.3.17）（6.3.18）（6.3.19）在以上各式中中，、分别为为赋予优优先因子的第第个目标标的正、负偏偏差变量的权权系数，为第个个目标标的预预期值值，为决策策变量量，、分分别别为第第个个目目标的的正、、负偏偏差变变量，，（6.3.15）式式为目目标函函数，））式为为目标标约束束，（（6.3.17）式式为绝绝对约约束，））式和））式为为非负负约束束，、、、、分分别为为目标标约束束和绝绝对约约束中中决策策变量量的系系数及及约束束值。。其中中，；；；；；。。二、求求解目目标规规则的的单纯纯形方方法目标规规划模模型仍仍可以以用单单纯形形方法法求解解，在求求解时时作以以下规规定：：①因为目目标函函数都都是求求最小小值，，所以以，最最优判判别检检验数数为：②因为非非基变变量的的检验验数中中含有有不同同等级级的优优先因因子，，所以检检验数数的正正、负负首先先决定定于的的系数数的的正、、负，，若，，则检检验数数的正正、负负就决决定于于的系数数的的正、、负，，下面面可依依此类类推。。据此，，我们们可以以总结结出求求解目目标规规划问问题的的单纯纯形方方法的的计算算步骤骤如下下：①建立初初始单单纯形形表，，在表表中将将检验验数行行按优优先因因子个个数分分别排排成L行，，置。。②检查该该行中中是否否存在在负数数，且且对应应的前前L-1行行的系系数是是零。。若有有，取取其中中最小小者对对应的的变量量为换换入变变量，，转③③。若若无负负数，，则转转⑤。。③按最小小比值值规则则（规规则））确定定换出出变量量，当当存在在两个个和两两个以以上相相同的的最小小比值值时，，选取取具有有较高高优先先级别别的变变量为为换出出变量量。④按单纯纯形法法进行行基变变换运运算，，建立立新的的计算算表，，返回回②。。⑤当l=L时时，计计算结结束，，表中中的解解即为为满意意解。。否则则置l=l+1，返返回②②。。例3：试用用单纯纯形法法求解解例2所描描述的的目标标规划划问题题解：首先将将这一一问题题化为为如下下标准准形式式：①取为为初始始基变变量，，列出出初始始单纯纯形表表。②取取，，检检查检检验数数的行行，因因该行行无负负检验验数，，故转转⑤。。⑤因因为，，置置，，返返回②②。②检检查发发现检检验数数行行中有有，，，，因因为有有，所以以为为换换入变变量，，转入入③。。③按按规规则则计算算：，，所所以为为换出出变量量，转转入④④。④进进行换换基运运算，，得到到表6.3.2。以以此类类推，，直至至得到到最终终单纯纯形表表为止止，如如表6.3.3所示示。由表6.2.3可知知，，，，，为为满意意解。。检查查检验验数行行，发发现非非基变变量的的检验验数为为0，，这表表明该该问题题存在在多重重解。。在表6.3.3中，，以非非基变变量为为换入入变量量，为换出出变量量，经经迭代代得到到表6.3.4。从表6.3.4可以以看出出，，，也也是是该问问题的的满意意解。。一、土土地利利用问问题二、生生产计计划问问题三、投投资问问题§6.4多多目目标规规划应应用实实例第5章章第1节中中，我我们运运用线线性规规划方方法讨讨论了了所所描述述的农场作作物种种植计计划的的问题题。但但是，，由于于线性性规划划只有有单一一的目目标函函数，，所以以当时时我们们建立立的作作物种种植计计划模模型属属于单单目标标规划划模型型，给给出的的种植计划方方案，要么么使总产量量最大，要要么使总产产值最大；；两个目标标无法兼得得。那么，，究竟怎样样制定作物物种植计划划，才能兼兼顾总产量量和总产值值双重目标标呢？下面面我们用多多目标规划划的思想方方法解决这这个问题。。一、土地利利用问题取决决策变量，，它表示在在第j等级的耕地地上种植第第i种作物的面面积。如果果追求总产产量最大和和总产值最最大双重目目标，那么么，目标函函数包括：：①追求总产产量最大②追求总产产值最大（）（）根据题意，，约束方程程包括：耕地面积约约束最低收获量量约束（）（）非负约束（）对上述多目目标规划问问题，我们们可以采用用如下方法法，求其非非劣解。1.用线性性加权方法法取，，重重新构造目目标函数：：这样，就将将多目标规规划转化为为单目标线线性规划。。用单纯形方方法对该问问题求解，，可以得到到一个满意意解（非劣劣解）方案案，结果见见表。此方案是：：III等等耕地全部部种植水稻稻，I等耕耕地全部种种植玉米，，II等耕耕地种植大大豆19.1176公顷、种植植玉米280.8824公顷。在此此方案下，，线性加权权目标函数数的最大取取值为6445600。线线性加权权目标下的的非劣解方方案（单位：hm2）2.目标规规划方法实际上，除除了线性加加权求和法法以外，我我们还可以以用目标规规划方法求求解上述多多目标规划划问题。如如果我们对对总产量和和总总产值，，分别别提出一个个期望目标标值（（kg），（（元），并并将两个目目标视为相相同的优先先级。如果、、分分别表示对对应第一个个目标期望望值的正、、负偏差变变量，、、分分别表示示对应于第第二个目标标期望值的的正、负偏偏差变量，，而且将每每一个目标标的正、负负偏差变量量同等看待待（即可将将它们的权权系数都赋赋为1），那么，，该目标规规划问题的的目标函数数为：对应的两个个目标约束束为：（）（）即：除了目标约约束以外，，该模型的的约束条件件，还包括括硬约束和和非负约束束的限制。。其中，硬硬约束包括括耕地面积积约束（）式和最低低收获量约约束（）式；非负负约束，不不但包括决决策变量的的非负约束束（）式，还包包括正、负负偏差变量量的非负约约束：解上述目标标规划问题题，可以得得到一个非非劣解方案案，详见表表。目目标规划划的非劣解解方案（单位：hm2）在此非劣解解方案下，，两个目标标的正、负负偏差变量量分别为，，，，，，。。二、生产计计划问题某企业拟生生产A和B两种产品品，其生产产投资费用用分别为2100元元/t和4800元元/t。A、B两种种产品的利利润分别为为3600元/t和和6500元/t。。A、B产产品每月的的最大生产产能力分别别为5t和和8t；市市场对这两两种产品总总量的需求求每月不少少于9t。。试问该企企业应该如如何安排生生产计划，，才能既能能满足市场场需求，又又节约投资资，而且使使生产利润润达到最大大?该问题是一一个线性多多目标规划划问题。如如果计划决决策变量用用和表表示，，它们分别别代表A、、B产品每每月的生产产量（单位位：t）；；表表示示生产A、、B两种产产品的总投投资费用（（单位：元元）；表表示生产A、B两种种产品获得得的总利润润（单位：：元）。那那么，该多多目标规划划问题就是是：求和和，，使：而且满足：：对于上述多多目标规划划问题，如如果决策者者提出的期期望目标是是：（1）每个月的的总投资不不超30000元；（2）每个月的的总利润达达到或超过过45000元；（3）两个目标标同等重要要。那么，，借助Matlab软件系统中中的优化计计算工具进进行求解，，可以得到到一个非劣劣解方案为为：按照此方案案进行生产产，该企业业每个月可可以获得利利润44000元，同时需需要投资29700元。三、投资问问题某企业拟用用1000万元投资于于A、B两个项目的的技术改造造。设、、分分别表示分分配给A、B项目的投资资（万元））。据估计计，投资项项目A、B的年收益分分别为投资资的60%和70%；但投资风风险损失，，与总投资资和单项投投资均有关关系：据市场调查查显示，A项目的投资资前景好于于B项目，因此此希望A项目的投资资额不小B项目。试问问应该如何何在A、B两个项目之之间分配投投资，才能能既使年利利润最大，，又使风险险损失为最最小？该问题是一一个非线性性多目标规规划问题，，将它用数数学语言描描述出来，，就是：求求、，使：：而且满足：：对于上述多多目标规划划问题，如如果决策者者提出的期期望目标是是：（1））每一年的的总收益不不小于600万元；；（2）希希望投资风风险损失不不超过800万元；；（3）两两个目标同同等重要。。那么，借借助Matlab软软件中的优优化计算工工具进行求求解，可以以得到一个个非劣解方方案为：＝646.3139万元，＝＝304.1477万元此方案的投投资风险损损失为799.3082万元元，每一年年的总收益益为600.6918万元。。9、静夜四无邻邻，荒居旧业业贫。。12月-2212月-22Friday,December23,202210、雨雨中中黄黄叶叶树树，，灯灯下下白白头头人人。。。。09:12:4309:12:4309:1212/23/20229:12:43AM11、以我我独沈沈久，，愧君君相见见频。。。12月月-2209:12:4409:12Dec-2223-Dec-2212、故人人江海海别，，几度度隔山山川。。。09:12:4409:12:4409:12Friday,December23,202213、乍见翻翻疑梦，，相悲各各问年。。。12月-2212月-2209:12:4409:12:44December23,202214、他乡乡生白白发，，旧国国见青青山。。。23十十二二月20229:12:45上上午09:12:4512月月-2215、比不了得就就不比，得不不到的就不要要。。。十二月229:12上上午12月-2209:12December23,202216、行动出成果果，工作出财财富。。2022/12/239:12:4509:12:4523December202217、做前，能能够环视四四周；做时时，你只能能或者最好好沿着以脚脚为起点的的射线向前前。。9:12:45上上午9:12上上午09:12:4512月-229、没有失败败，只有暂暂时停止成成功！。12月-2212月-22Friday,December23,202210、很多事情情努力了未未必有结果果，但是不不努力却什什么改变也也没有。。。09:12:4509:12:4509:1212/23/20229:12:45AM11、成功就是日日复一日那一一点点小小努努力的积累。。。12月-2209:12:4509:12D