2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系1.1平面4课件新人教版必修2202202262174

人教版必修2第二章

点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1平面这是我国著名的大学，设计风格新颖．设计师独特创意的背后却是缜密的几何思维，类似许许多多的建筑设计包含了线、面的位置关系的应用，相交、平行、垂直关系随处可见．现实生活中类似这样的位置关系是比较常见的，如何准确判断这些位置关系？这就是本章将要研究的点、直线、平面之间的位置关系．点、直线、平面之间的位置关系是高中数学立体几何中的基础内容，在整个几何学中占有非常重要的地位，起着承前启后的作用．1．在初中几何中学习的线可以看作是_______运动形成的轨迹．2．在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线．点知识链接3．在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种．4．几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的．画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细．基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质．大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用．1．平面描述几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体抽象出来的，是无限__________的画法通常把水平的平面画成一个____________，并且其锐角画成45°，且横边长等于其邻边长的_____倍，如图1所示；如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用_______画出来，如图2所示延展平行四边形2虚线自主预习记法(1)用一个__________α，β，γ等来表示，如上图1中的平面记为平面α(2)用两个大写的__________(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面________等(4)用四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形______)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD希腊字母英文字母BCD顶点[归纳总结]

习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面．A是点，l，m是直线，α，β是平面.A∈lA∉lA∈αA∉αl⊂α2．点、线、面的位置关系的表示l⊄αl∩m＝Al∩α＝Aα∩β＝l[名师点拨]

从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．3．公理1文字语言如果一条直线上的__________在一个平面内，那么这条直线在此平面内图形语言符号语言A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒__________作用判断点在平面内判断直线在平面内用直线检验平面两点l⊂α[名师点拨]

公理1的内容反映了直线与平面的位置关系．“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内．4．公理2不在不共线[名师点拨]

(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”．(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．5．公理3文字语言如果两个不重合的平面有一个__________，那么它们有且只有一条过该点的公共__________图形语言符号语言P∈α∩β⇒α∩β＝l且__________作用(1)判定平面相交(2)证明点共线(3)证明线共点公共点直线P∈l[名师点拨]公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”．公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线．以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面．1．下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50m，宽是20m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．其中正确命题的个数为(

)A．1 B．2C．3 D．4[答案]

A预习自测[解析]

序号正误理由(1)×因为平面是无限延展的，故(1)错(2)×平面是无厚度的，故(2)错(3)×平面是无限延展的，不可度量，故(3)错(4)√平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确[答案]

(1)∈∈∉∉(2)AB

(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄3．已知直线m⊂平面α，P∉m，Q∈m，则(

)A．P∉α，Q∈α B．P∈α，Q∉αC．P∉α，Q∉α D．Q∈α[答案]

D[解析]

∵Q∈m，m⊂α，∴Q∈α.∵P∉m，∴有可能P∈α，也可能有P∉α.4．三点可确定平面的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．1或无数个[答案]

D[解析]当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面．5．如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面(

)A．没有其他公共点 B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点 D．有无数个公共点[答案]

D例题1

用符号语言表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β交于PA，平面α与平面γ交于PB，平面β与平面γ交于PC；(2)平面ABD与平面BCD交于BD，平面ABC与平面ADC交于AC．

互动探究1.文字、图形、符号三种语言的转化[探究]

1．解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”“∉”“⊂”“⊄”“∩”的意义．2．解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即“文字语言、图形语言、符号语言”，能实现这三种语言的相互转换．文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，由符号语言作出直观图时，要注意实虚线的标注．[解析]

(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC．图形表示：如图1所示．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．图形表示：如图2所示．规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能．要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置关系只能用“∈”或“∉”，直线与平面间的位置关系只能用“⊂”或“⊄”．由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别．练习1(3)根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝MN，△ABC的三个顶点满足条件A∈MN，B∈α，B∉MN，C∈β，C∉MN.[答案]

(1)M∈a，a⊂α，M∈α(2)∈∉⊄AC(3)如图所示例题2求证：如果两两平行的三条直线都与另一条直线相交，那么这四条直线共面．[探究]

1．平面确定的条件？2．两平面重合的条件？[解析]

已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C．求证：直线a，b，c和l共面．证明：如图所示，因为a∥b，由公理2 可知直线a与b确定一个平面，设为α.2.证明多线共面问题因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，则A∈α，B∈α.又因为A∈l，B∈l，所以由公理1可知l⊂α.因为b∥c，所以由公理2可知直线b与c确定一个平面β，同理可知l⊂β.因为平面α和平面β都包含着直线b与l，且l∩b＝B，而由公理2的推理2知：经过两条相交直线，有且只有一个平面，所以平面α与平面β重合，所以直线a，b，c和l共面．规律总结：(1)证明点线共面的主要依据：公理1、公理2及其推论．(2)证明点线共面的常用方法①纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理1证明有关点线在此平面内．②辅助平面法：先证明有关的点线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两点，求证：三条直线PA，PB，l共面．[证明]

如右图所示，∵PA∩PB＝P，∴过PA，PB确定一个平面α.∴A∈α，B∈α.∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∴PA，PB，l共面．练习2例题3已知△ABC在平面α外，AB∩α＝P，AC∩α＝R，BC∩α＝Q，如图．求证：P、Q、R三点共线．[探究]

1．P、Q、R三点分别在哪几个平面上？2．在两个相交平面上的点，有什么特点？3.证明多点共线问题[证明]

方法一：∵AB∩α＝P，∴P∈AB，P∈平面α.又AB⊂平面ABC，∴P∈平面ABC．∴由公理3可知：点P在平面ABC与平面α的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面α的交线上．∴P、Q、R三点共线．方法二：∵AP∩AR＝A，∴直线AP与直线AR确定平面APR.又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，∴平面APR∩平面α＝PR.∵B∈面APR，C∈面APR，∴BC⊂面APR.又∵Q∈面APR，Q∈α，∴Q∈PR.∴P、Q、R三点共线．规律总结：证明点线共面的常用方法：(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，求证：C1，O，M三点共线．[分析]

要证若干点共线，只需证这些点同在两个相交平面内即可．练习3[证明]

由AA1∥CC1，则AA1与CC1确定一个平面A1C．∵A1C⊂平面A1C，而O∈A1C，∴O∈平面A1C．又A1C∩平面BC1D＝O，∴O∈平面BC1D．∴O点在平面BC1D与平面A1C的交线上．又AC∩BD＝M，∴M∈平面BC1D且M∈平面A1C．又C1∈平面BC1D且C1∈平面A1C，∴平面A1C∩平面BC1D＝C1M，∴O∈C1M，即C1，O，M三点共线．[点评]本题先证明C1M是平面A1C与平面BC1D的交线，通过公理3知O∈C1M，从而证明了C1，O，M共线．例题4已知：如图，空间四边形ABCD中，E，H分别为BC，AB的中点，F在CD上，G在AD上，且有DF∶FC＝DG∶GA＝1∶2，求证：直线EF，BD，HG交于一点．[探究]

先证EF，HG一定相交于一点，再证这一点在直线BD上．4.证明三线共点问题设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF.∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD，∴O∈平面ABD，O∈平面BCD．∵平面ABD∩平面BCD＝BD，∴O∈BD，即直线EF，BD，HG交于一点．规律总结：本题主要考查线线共点的问题．在解决这类问题时，首先证明两条直线相交于一点，再证这一点在另一条直线上．要证这一点在另一条直线上，可证这一点在以这条直线为交线的两个平面上．三个平面α、β、γ两两相交，交于三条直线，即α∩β＝c，β∩γ＝a，γ∩α＝b，已知直线a和b不平行．求证：a、b、c三条直线必过同一点．[分析]

证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上．练习4[证明]∵α∩γ＝b，β∩γ＝a，∴a⊂γ，b⊂γ，∵a、b不平行，∴a、b必相交，设a∩b＝P，∵P∈a，a⊂β，∴P∈β，同理P∈α，而α∩β＝c，∴P∈c.∴a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点．空间中四点，如果任意三点都不共线，那么由这四个点可以确定多少个平面？[错解]

因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面．[错因分析]

忽略了四个点在同一个平面上的可能．对于条件所给的点的位置关系考虑不全面警示误区[思路分析]

空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面．[正解]

一个或者是四个．已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？[错解]因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面．[错因分析]错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线．针对训练[正解]

(1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面α.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面α内，因为B，C，D，E共面，所以点E在平面α内，所以点A，E都在平面α内，即A，B，C，D，E五点一定共面．(2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面．规律总结：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题．对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件．1.如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为(

)A．平面MNB．平面NQPC．平面αD．平面MNPQ[答案]

A[解析]

MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.当堂检测2．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是(

)A．A∈l，l∉α B．A∈l，l⊄αC．A⊂l，l⊄α D．A⊂l，l∉α[答案]

B3．下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，α，β表示平面)：(1)∵A∈α，B∈α，∴AB∈α；(2)∵A∈α，A∈β，∴α∩β＝A；(3)∵A∉α，a⊂α，∴A∉a；(4)∵A∈a，a⊄α，∴A∉α.其中命题和叙述方法都正确的个数是(

)A．0 B．1C．2 D．3[答案]

B[解析]

(3