2023学年人教A版数学选修推理与证明 市一等奖

数学选修1-2·人教A版新课标导学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.2演绎推理1自主预习学案2互动探究学案3课时作业学案自主预习学案从前，有一个懒人得到一大瓮的米，便开始想入非非：“如果我卖掉这些米，用卖米的钱买来尽可能多的小鸡，这些小鸡长大后会下很多蛋，然后我把鸡和蛋卖了，再买来许多猪，当这些猪长大的时候，便会生许多小猪，等小猪长大后再把它们全卖了，我就有钱买一块地了，有了地便可以种甘蔗和谷物，有了收成，我就可以买更多的地，再经营几年，我就能够盖上一栋漂亮的房子，盖好房子后，我将娶一个世上最美的女人做妻子！”懒人兴奋得手舞足蹈，一脚踢翻了米瓮，米落在地上，一大群鸡把米啄食精光，小鸡、猪、土地、房子和妻子，一切的一切都成了泡影，尽管懒人的结局是可悲的，但他的演绎术却值得称道．1．演绎推理从________________出发，推出____________情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，演绎推理是由______________的推理．2．三段论“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：(1)大前提——已知的____________；(2)小前提——所研究的____________；一般性的原理某个特殊一般到特殊一般原理特殊情况(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的________.其一般推理形式为大前提：M是P.小前提：S是M.结论：__________.利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么______________________________.3．在演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么________必定是正确的．因而演绎推理是数学中严格证明的工具，而合情推理的结论__________正确．判断S是P

S中所有元素也都具有性质P

结论不一定

1．演绎推理是(

)A．部分到整体，个别到一般的推理B．特殊到特殊的推理C．一般到特殊的推理D．一般到一般的推理[解析]

演绎推理是由一般到特殊的推理．C

2．“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数．”上述推理(

)A．小前提错 B．结论错C．正确 D．大前提错[解析]

9＝3×3，所以大前提是正确的，又小前提和推理过程都正确，所以结论也正确，故上述推理正确．C

B

[解析]

求证：“a<b”写成三段论是：大前提：因为在三角形中，大角对大边，小前提：∠A＝30°，∠B＝60°，则∠A<∠B，结论：所以a<b.故证明画线部分是演绎推理的小前提，故选B．m<n

5．判断下列推理是否正确？为什么？“因为过不共线的三点有且仅有一个平面(大前提)，而A、B、C为空间三点(小前提)，所以过A、B、C三点只能确定一个平面(结论)．”[解析]

不正确，因为大前提中的“三点”不共线，而小前提中的“三点”没有不共线的限制条件．互动探究学案命题方向1

⇨把演绎推理写成三段论形式典例1『规律方法』1.分析演绎推理的构成时，要正确区分大前提、小前提、结论，省略大前提的要补出来．2．判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提，小前提得到的结论是否正确．

已知在梯形ABCD中(如图)，DC＝DA，AD∥BC.求证：AC平分∠BCD.(用三段论证明)[解析]

∵等腰三角形两底角相等， 大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角， 小前提∴∠1＝∠2. 结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等， 大前提∠1和∠3是平行线AD、BC被AC截得的内错角， 小前提∴∠1＝∠3. 结论命题方向2

⇨三段论在证明几何问题中的应用典例2∵等于同一个角的两个角相等， 大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1， 小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD. 结论『规律方法』应用演绎推理证明时，必须确切知道每一步推理的依据(大前提)，验证条件是否满足(小前提)，然后得出结论．〔跟踪练习2〕用三段论分析下题的证明过程．如图，D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求证：ED＝AF.证明过程如下：∵∠BFD＝∠A，∴FD∥AE，又∵DE∥BA，∴四边形AFDE是平行四边形，∴ED＝AF.命题方向3

⇨演绎推理在代数问题中的应用典例3『规律方法』在几何、代数证题过程中，如果每一次都按三段论写出解答过程会很繁琐，也不必要．因此实际证题中，那些公认的简单事实，已知的公理、定理等大前提条件可以省略，那些前面证得的结论也可省略，但必须要保证证题过程的严密规范．

如图，已知S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.[错因分析]

在立体几何中，线面平行、垂直等位置关系的证明基本都是演绎推理三段论的过程，而这是一个难点，也是易错点，其中主要的错误在于搞错大前提，有时甚至随意编造有关定理作为大前提，从而导致错误．三段论推理中大(小)前提错误致误典例4[点评]

演绎推理的主要形式是由大前提、小前提、结论构成的三段论，它是一种必然性推理，其前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只有演绎推理的前提是真实的，推理形式是正确的，结论才是真实的，错误的前提必定导致错误的结论．演绎推理是推理证明的主要形式，在高考题目中，证明题及逻辑推理题占有重要地位，并且分布面广，可能出现在函数、立体几何、解析几何、不等式、三角函数、数列等不同的知识点中，因此我们要深刻理解并掌握演绎推理的特征．演绎推理的综合应用

已知函数f(x)，对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－2.(1)求证f(x)是奇函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析]

(1)证明：因为x，y∈R时，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.令y＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．典例5(2)设任意的x1，x2∈R且x1<x2，f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)，因为x>0时，f(x)<0，所以f(x2－x1)<0，即f(x2)－f(x1)<0，所以f(x)为R上的减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值为f(－3)，最小值为f(3)．因为f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6，f(－3)＝－f(3)＝6，所以函数f(x)在[－3,3]上的最大值为6，最小值为－6.『规律方法』函数为抽象函数，可借助图象或具体函数辅助理解：(1)奇偶性的判定可利用定义；(2)求函数的最值可利用单调性．1．“π是无限不循环小数，所以π是无理数”，以上推理的大前提是(

)A．实数分为有理数和无理数B．π不是有理数C．无限不循环小数都是无理数D．有理数都是有限循环小数[解析]

用三段论形式推导一个结论成立，大前提应该是结论成立的依据，∵由无理数都是无限不循环小数，π是无限不循环小数，∴π是无理数，∴大前提是无理数都是无限不循环小数，故选C．C

2．下面是一段演绎推理：如果直线平行于平面，则这条直线平行于平面内的所有直线；已知直线b∥平面α，直线a⊂平面α；所以直线b∥直线a，在这个推理中(

)A．大前提正确，结论错误B．小前提与结论都是错误的C．大、小前提正确，只有结论错误D．大前提错误，结论错误[解析]

直线平行于平面，则直线可与平面内的直线平行、异面、异面垂直．故大前提错误，结论错误．故选D．D

3．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形．写一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为(

)A．②①③

B．③①②C．①②③

D．②③①[解析]