《近世代数》模拟试题2与答案

近世代数模拟试题一、单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（A0B1C－1D1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（AG只包含一个元，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群BG是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群CG是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群DG是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是（A群G是指一个集合B环R是指一个集合C群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在D环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是()。A反身性B对称性C传递性D封闭性5、下列哪个不是3的共轭类()。A（1）B（12313223）C（123132）D（1223）二、计算题(每题10分，共30分)1.求＝{（1213）}在三次对称群3的正规化子和中心化子。近世代数试题第1页共7页2.设G＝{1，－1，i，－i}，关于数的普通乘法作成一个群，求各个元素的阶。3.设R是由一切形如x,y（x，y是有理数）方阵作成的环，求出其右零因子。近世代数试题第2页共7页三、证明题(每小题15分，共45分)1、设R是由一切形如x,0y,0（x，y是有理数）方阵作成的环，证明是其零因子。2、设Z是整数集，规定·b＝＋b－3。证明：Z对此代数运算作成一个群，并指出其单位元。近世代数试题第3页共7页3Z和普通加法构成的（近世代数试题第4页共7页近世代数模拟试题答案一、单项选择题(每题5分，共25分)．A．D．C．D．B二、计算题(每题10分，共30分)．解：正规化子N（）＝{（1）}6分）中心化子C（S）＝{（）}4分）．解：群G中的单位元是2分）1的阶是，－1的阶是，i和－i的阶是×2分）．解：设其右零因子为a,b2分）所以x,ya,b＝xb＝3分）因为x任意，所以＝＝3分）因此右零因子为2分）三、证明题(每小题15分共45分)．证明：设其右零因子为a,0b,02分）近世代数试题第5页共7页所以y,0a,0＝＝05分）因为x，y任意，所以＝＝08分）同理设其右零因子为a,0b,010分）所以b,0y,0＝＝012分）因为x，y任意，所以＝＝014分）因此零因子为15分）．明：首先该代数运算封闭。3分）a·bc＝（a＋b－3c＝（a＋b－3）＋c－3＝ab＋c－3）－3）＝a·（b·c立6分）令e＝3，验证a·e＝a＋e－3＝a，有单位元7分）对任意元素，－a是其逆元，因为·（－）＝38分）因此，Z对该运算作成一个群。显然，单位元是＝310分）．证明：首先证明（，＋）是群，满足结合律，对任意的xZ，x00xx，0是运算的单位元又由于：xxxx01x所以x,从而（，＋）为群。2分）由于满足交换律，所以（，＋）是交换群4分）（，＋）的单位元为0，15分）对于1Z，由于1+（-1）=0，所以11于是对任意kZ，近世代数试题第6页共7页0；若k0，则：10k111若k0，则k18分）若k0，则k