高考数学一轮总复习名师精讲 第59讲导数的应用 文

第五十九讲导数的应用整理ppt整理ppt注意：当f′(x)在某个区间内个别点处为零，在其余点处均为正(或负)时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增(或递减)的，例如：在(－∞，＋∞)上，f(x)＝x3，当x＝0时，f′(x)＝0，当x≠0时，f′(x)＞0，而f(x)＝x3，显然在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．2．函数极值的定义设函数f(x)在点x0及其附近有定义，如果对x0附近的所有点，都有f(x)＜f(x0)，我们说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)；如果对x0附近的所有点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)．极大值与极小值统称为极值．整理ppt3．判别f(x0)是极值的方法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值．(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．4．函数的最大值与最小值在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值，但在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值，例如f(x)＝x，x∈(－1,1)．整理ppt整理ppt答案：B整理ppt2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于()A．11或18 B．11C．18 D．17或18整理ppt∴f(2)＝18.选C.答案：C整理ppt3．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在区间[0,3]上的最大值和最小值依次是()A．12，－15 B．5，－15C．5，－4 D．－4，－15解析：f′(x)＝6x2－6x－12＝0，解得x1＝－1，x2＝2，因为在区间[0,3]上，f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，所以函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值依次是5，－15.选B.答案：B整理ppt4．若函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围为()A．－1<a<2 B．－1≤a≤2C．a≤－1或a≥2 D．a<－1或a>2解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，若f(x)既有极大值又有极小值，则函数f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)必与x轴有两个不同的交点，则有Δ＝(6a)2－36(a＋2)>0，解得a<－1或a>2.选D.答案：D整理ppt5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且x>0时，f′(x)>0，g′(x)>0，则x<0时()A．f′(x)>0，g′(x)>0 B．f′(x)>0，g′(x)<0C．f′(x)<0，g′(x)>0 D．f′(x)<0，g′(x)<0解析：依题意得f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是增函数，即当x<0时，f′(x)>0；g(x)是偶函数，在(0，＋∞)上是增函数，故在(－∞，0)上是减函数，即当x<0时，g′(x)<0，故选B.答案：B

整理ppt类型一函数的单调性问题解题准备：求函数单调区间的基本步骤是：①确定函数f(x)的定义域；②求导数f′(x)；③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围．当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间上是单调递增函数；当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间上是单调递减函数．【典例1】已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由；(3)证明f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．整理ppt[解析]本题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的基本方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力．(1)由已知f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0，又a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，∴a≤0.整理ppt(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2，x∈(－1,1)恒成立．∵－1＜x＜1，∴3x2＜3，∴只需a≥3.当a＝3时，f′(x)＝3(x2－1)，在x∈(－1,1)上，f′(x)＜0，即f(x)在(－1,1)上为减函数，∴a≥3.故存在实数a≥3，使f(x)在(－1,1)上单调递减．整理ppt(3)证明：∵f(－1)＝a－2＜a，∴f(x)的图象不可能总在直线y＝a上方．[点评]利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义方便，但应注意f′(x)＞0(或f′(x)＜0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，在(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0，这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f(x0)＝0，整理ppt只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间，因此，在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立解出的参数的取值范围确定．整理ppt探究1：(全国Ⅰ高考)设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，求a的取值范围．分析：函数f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，则f′(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)内大于零．整理ppt整理ppt整理ppt点评：分类讨论是重要的数学解题思想方法．要把数学问题转化为若干个局部问题，在每一个局部问题中，原先的“不确定因素”不再影响问题的解决，当这些局部问题都解决完时，整个问题也就解决了．整理ppt类型二函数的极值问题解题准备：求可导函数f(x)极值的一般步骤：①求导数f′(x)．②求方程f′(x)＝0的根．③检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么，函数y＝f(x)在这个根处取得极小值．整理ppt【典例2】设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值并求f(x)的单调区间及极值．整理ppt列表如下.x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋0－0＋y极大值1极小值－1整理ppt由上可知函数的单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调减区间为(－1,1)．有极大值1，极小值－1.[点评]按照求极值的基本方法，首先从方程f′(x)＝0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值．整理ppt整理ppt∴二次函数f′(x)＝3ax2＋2(a－2)x＋与x轴相交于不同的两点，且位于(0,2)之间，整理ppt整理ppt点评：本题定性研究函数的极值点．极值点即导数为零时方程的根，因为三次函数的导数为二次函数，所以问题转化为二次方程根的分布问题，进而利用二次函数通过数形结合法确定结论成立的充要条件．三次函数与“三个二次”紧密联系，是高考的热点之一．整理ppt类型三函数的最值问题解题准备：函数的最大值与最小值的求法1．设y＝f(x)是定义在区间[a，b]上的函数，y＝f(x)在(a，b)内有导数，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值，可分两步进行．(1)求f(x)在开区间(a，b)内所有使f′(x)＝0的点．(2)计算函数f(x)在区间内使f′(x)＝0的所有点和端点处的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数y＝f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．整理ppt【典例3】(2011·阳泉模拟)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．

整理ppt整理ppt整理ppt探究3：已知f(x)＝ax3－6ax2＋b在[－1,2]上的最大值为3，最小值为－29，求a、b的值．分析：在闭区间上连续函数一定有最大、最小值，且最大、最小值只能在极值点或边界点取得．整理ppt整理ppt整理ppt点评：对含字母系数的函数判断单调性时，一定要对字母的取值进行讨论．整理ppt类型四利用导数解决实际问题中的最值问题解题准备：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．整理ppt【典例4】(2011·东北师大附中第一次摸底)某商品每件成本为9元，售价为30元，每星期卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品售价降低2元时，一星期多卖出24件．(1)将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函数；(2)如何定价才能使一个星期该商品的销售利润最大？整理ppt[解析](1)设商品降价x元，则每个星期多卖出的商品件数为kx2，若记商品在一个星期内的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，又由已知条件知24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)根据(1)可得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．整理ppt当x变化时，f′(x)与f(x)的变化如下表：故当x＝12时，f(x)达到极大值，又因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为18元时能使一个星期的商品销售利润最大．x[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)极小值极大值整理ppt探究4：某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R(x)＝3700x＋45x2－10x3(单位：万元)，成本函数为C(x)＝460x＋5000(单位：万元)，又在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．(1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示：利润＝产值－成本)；(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？整理ppt解析：(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝－10x3＋45x2＋3240x－5000(x∈N*，且1≤x≤20)；MP(