悬臂梁自振频率分析

悬臂梁自振频率分析b专业：防灾减灾及防护工程学号：S201003087姓名：岳松林b专业：防灾减灾及防护工程学号：S201003087姓名：岳松林图中：l=40.8cm，l=15.9cm，l=1.61cm，l=7.74cm，l=6.56cm，1234b=6.00cm，b=1.752cm，b=2.628cm整个悬臂梁的厚度均为h=0.616cm。图1一、解析解第一步，梁的基本情况梁的运动偏微分方程（1）堂［EI（x）竺宜］+m（x）竺宜=p（x（1）如如dt2这里不考虑梁的轴向剪力和粘滞阻尼力，求它的自由振动频率，因而其运动偏微分方程为:目EI（x）"卜m（x寺=0（2）由梁的几何物理参数参数（梁高h，材料密度已知）我们可以得到:EI（x）=竺［R—气）（L-x）+a12L2（3）梁的边界条件:自由端有刚性质量:a(x)=_a^.(L一x)+aL2仲（0）=0固定端：〈|W（0）=0（4）（5）EI^⑶(L)=-32巾(L)m\EI^⑵(L)=一①2巾(i)(L)j1(6)m=abhp「1小j=3mb2=-ab3hp3(7)d2Eh3-(l-x"d2V(x,t)+-(a1-a2)(l-x)+a"dx212L2dx2L2h-p第二步，梁的求解问题转化为偏微分方程的求解(8)d2v(x,t)=0dt2(9)令a(x)=~(L-x)+a(9)12pa==constEh3将公式(9)(10)代入(8),、d4v(x,t)d3V(x,t)a(x)+2a'(x)+adx4dx3(10)d2v(x,t)d2v(x,t)八"(x)Faa(x)=0dx2dt2(11)该方程目前不能解。应采用能量法，一、理论准备基本概念是最大动能等于最大势能。vG,t)=^(x)z0sin①t即Rayleigh法求解多自由度体系比较方便。V=-fLEI(x)归dx20dx2T=1fLm(x)(竺)2dx20dt2V=2Z02fLEI(x)(告)2dxT=1Z2①2max20fLm(x)(里)2dx0maxmax\LEI(x)(?)2dx~fLm(x)(^)2dx0但是要先假设振型一一形状函数。比如均质等截面简支梁的真实振型是正弦曲线的形状函数。则计算结果近似度较高。等强度梁，不同位置截面应力相同。ba(由=M(尤)=十中"所以等强度梁的振型应为抛物线。书中有另外一种表述：fLm(x)v(x)dx①2=g"0d——d_yd为重力荷载引起的挠曲线形状。0d此公式常用于任何类型体系频率的近似分析。但应考虑梁端的矩形平台及加速度传感器质量的影响。二、具体计算LJLm(x)v(x)dx采用①2=gJL.——1^—dx找出重力静载下挠度曲线。0d梁分为两段。左端0<x<L为等强度梁，特点是各个截面应力相等；右端L<x<L+b为等截面梁，特点是截面不变，抗弯刚度不变。梁重力作用下挠度曲线公式：L<x<L+bM(x)=-竺(L+b-x\2ah3EI(x)=E120<x<LM(x)=-号(L-x)2-mgb(L-b)-mgL2EI(x)=E冬=竺[1(l-x)+a]1212L2由EI⑴空哥=M⑴可以求出不同区间的&=vd(x)。

J1(x)J2(x)然后代入JLm(x)y(x)dx+JL+bmy(x)dx

fLm(x)(y(x))2dx+fL+bm(y(x))2dx0L整个积分求解过程用maple软件计算，具体过程见附件1。解得其基频为:f=20.378933858（圆频率o=128.0446453rad/s）。二、数值模拟梁的尺寸和约束不变，传感器简化为与梁等密度的质量块。用Turegrid建立有限元模型，如图2所示。单元均采用六面体单元。模型共包含50548个节点，38892个单元。vibrationofabeam图2采用LS-DYNA软件隐式求解方法进行计算求解，最后得到其基频为：f=19.858Hz。三、实验测量实验过程中在梁左端压一重物，实现相对固端约束，实验时在梁右边自由端施加一个初始位移，采用DHDAS_5927动态信号采集分析系统采集数据。得到的结构任意一点的振动曲线如图3所示。

5.0图35.57.06.06.55.0图35.57.06.06.5在Origin7中可直接读得其频率（基频）为：f=19.0624512Hz四、结论通过对给定的等强度悬臂梁的理论、数值模拟和实验测量分析，得出此悬臂梁在三中方法下的基频分别为：fi=20.378933858，f2=19.858Hz，f3=19.0624512Hz（下标表示对应的第，种方法）。可见，理论解最大，实验测得的结果最小，理论解和模拟结果的相对误差为：号△X100%=2.56%,模拟结果和实验结果的相对误差为：1f—frCCE„CCE、、，，，，，，—、，一*,一2f3X100%=4.00%。应该说，三种方法的结果都是对真实解的逼近。理论解中米用3Ritz法，形状函数只取到四阶多项式，可能是结果偏大的一个原因；数值模拟方法中为建立有限元模型的便利