![廊坊市重点中学2023年高考数学四模试卷(含答案解析)_第1页](http://file4.renrendoc.com/view/c1cb407348f52fa76285f42af47de8e3/c1cb407348f52fa76285f42af47de8e31.gif)
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文档简介
2023高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若直线经过抛物线的焦点,则()A. B. C.2 D.2.在原点附近的部分图象大概是()A. B.C. D.3.抛掷一枚质地均匀的硬币,每次正反面出现的概率相同,连续抛掷5次,至少连续出现3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.4.设,均为非零的平面向量,则“存在负数,使得”是“”的A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.在中,角所对的边分别为,已知,则()A.或 B. C. D.或6.过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点作准线的垂线,垂足为.若,则()A. B. C. D.7.已知直线是曲线的切线,则()A.或1 B.或2 C.或 D.或18.定义在上的偶函数,对,,且,有成立,已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.9.已知函数,若,,,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.10.已知复数z满足,则在复平面上对应的点在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.某学校组织学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为,若低于60分的人数是18人,则该班的学生人数是()A.45 B.50 C.55 D.6012.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是同一球面上的四个点,其中平面,是正三角形,,则该球的表面积为______.14.已知两动点在椭圆上,动点在直线上,若恒为锐角,则椭圆的离心率的取值范围为__________.15.已知,若,则________.16.在的展开式中,所有的奇数次幂项的系数和为-64,则实数的值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数()的检测数据,结果统计如下:空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510(1)从空气质量指数属于,的天数中任取3天,求这3天中空气质量至少有2天为优的概率;(2)已知某企业每天的经济损失(单位:元)与空气质量指数的关系式为,试估计该企业一个月(按30天计算)的经济损失的数学期望.18.(12分)已知椭圆的焦距是,点是椭圆上一动点,点是椭圆上关于原点对称的两点(与不同),若直线的斜率之积为.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)是抛物线上两点,且处的切线相互垂直,直线与椭圆相交于两点,求的面积的最大值.19.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若,求边上的高.20.(12分)已知圆上有一动点,点的坐标为,四边形为平行四边形,线段的垂直平分线交于点.(Ⅰ)求点的轨迹的方程;(Ⅱ)过点作直线与曲线交于两点,点的坐标为,直线与轴分别交于两点,求证:线段的中点为定点,并求出面积的最大值.21.(12分)设等差数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)求的前项和及使得最小的的值.22.(10分)如图,四棱锥中,底面是矩形,面底面,且是边长为的等边三角形,在上,且面.(1)求证:是的中点;(2)在上是否存在点,使二面角为直角?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【答案解析】
计算抛物线的交点为,代入计算得到答案.【题目详解】可化为,焦点坐标为,故.故选:.【答案点睛】本题考查了抛物线的焦点,属于简单题.2.A【答案解析】
分析函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【题目详解】令,可得,即函数的定义域为,定义域关于原点对称,,则函数为奇函数,排除C、D选项;当时,,,则,排除B选项.故选:A.【答案点睛】本题考查利用函数解析式选择函数图象,一般要分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.3.A【答案解析】
首先求出样本空间样本点为个,再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数,再求出重复数量,可得事件的样本点数,根据古典概型的概率计算公式即可求解.【题目详解】样本空间样本点为个,具体分析如下:记正面向上为1,反面向上为0,三个正面向上为连续的3个“1”,有以下3种位置1____,__1__,____1.剩下2个空位可是0或1,这三种排列的所有可能分别都是,但合并计算时会有重复,重复数量为,事件的样本点数为:个.故不同的样本点数为8个,.故选:A【答案点睛】本题考查了分类计数原理与分步计数原理,古典概型的概率计算公式,属于基础题4.B【答案解析】
根据充分条件、必要条件的定义进行分析、判断后可得结论.【题目详解】因为,均为非零的平面向量,存在负数,使得,所以向量,共线且方向相反,所以,即充分性成立;反之,当向量,的夹角为钝角时,满足,但此时,不共线且反向,所以必要性不成立.所以“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.故选B.【答案点睛】判断p是q的什么条件,需要从两方面分析:一是由条件p能否推得条件q;二是由条件q能否推得条件p,定义法是判断充分条件、必要条件的基本的方法,解题时注意选择恰当的方法判断命题是否正确.5.D【答案解析】
根据正弦定理得到,化简得到答案.【题目详解】由,得,∴,∴或,∴或.故选:【答案点睛】本题考查了正弦定理解三角形,意在考查学生的计算能力.6.C【答案解析】
需结合抛物线第一定义和图形,得为等腰三角形,设准线与轴的交点为,过点作,再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出,,结合比值与正切二倍角公式化简即可【题目详解】如图,设准线与轴的交点为,过点作.由抛物线定义知,所以,,,,所以.故选:C【答案点睛】本题考查抛物线的几何性质,三角函数的性质,数形结合思想,转化与化归思想,属于中档题7.D【答案解析】
求得直线的斜率,利用曲线的导数,求得切点坐标,代入直线方程,求得的值.【题目详解】直线的斜率为,对于,令,解得,故切点为,代入直线方程得,解得或1.故选:D【答案点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数,属于基础题.8.A【答案解析】
根据偶函数的性质和单调性即可判断.【题目详解】解:对,,且,有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为,,所以故选:A【答案点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用,基础题.9.D【答案解析】
根据题意,求出函数的导数,由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数,又由,分析可得答案.【题目详解】解:根据题意,函数,其导数函数,则有在上恒成立,则在上为增函数;又由,则;故选:.【答案点睛】本题考查函数的导数与函数单调性的关系,涉及函数单调性的性质,属于基础题.10.A【答案解析】
设,由得:,由复数相等可得的值,进而求出,即可得解.【题目详解】设,由得:,即,由复数相等可得:,解之得:,则,所以,在复平面对应的点的坐标为,在第一象限.故选:A.【答案点睛】本题考查共轭复数的求法,考查对复数相等的理解,考查复数在复平面对应的点,考查运算能力,属于常考题.11.D【答案解析】
根据频率分布直方图中频率=小矩形的高×组距计算成绩低于60分的频率,再根据样本容量求出班级人数.【题目详解】根据频率分布直方图,得:低于60分的频率是(0.005+0.010)×20=0.30,∴样本容量(即该班的学生人数)是60(人).故选:D.【答案点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率的应用问题,属于基础题12.C【答案解析】
方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【答案解析】
求得等边三角形的外接圆半径,利用勾股定理求得三棱锥外接球的半径,进而求得外接球的表面积.【题目详解】设是等边三角形的外心,则球心在其正上方处.设,由正弦定理得.所以得三棱锥外接球的半径,所以外接球的表面积为.故答案为:【答案点睛】本小题主要考查几何体外接球表面积的计算,属于基础题.14.【答案解析】
根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,恒为锐角,只需直线与圆相离,从而可得,解不等式,再利用离心率即可求解.【题目详解】根据题意可得,圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直,因此当直线与圆相离时,恒为锐角,故,解得从而离心率.故答案为:【答案点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质,考查了逻辑分析能力,属于中档题.15.1【答案解析】
由题意先求得的值,可得,再令,可得结论.【题目详解】已知,,,,令,可得,故答案为:1.【答案点睛】本题主要考查二项式定理的应用,注意根据题意,分析所给代数式的特点,通过给二项式的赋值,求展开式的系数和,可以简便的求出答案,属于基础题.16.3或-1【答案解析】
设,分别令、,两式相减即可得,即可得解.【题目详解】设,令,则①,令,则②,则①-②得,则,解得或.故答案为:3或-1.【答案点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)9060元【答案解析】
(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率;(2)任选一天,设该天的经济损失为元,分别求出,,,进而求得数学期望,据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【题目详解】解:(1)设为选取的3天中空气质量为优的天数,则.(2)任选一天,设该天的经济损失为元,则的可能取值为0,220,1480,,,,所以(元),故该企业一个月的经济损失的数学期望为(元).【答案点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望,属于基础题.18.(Ⅰ);(Ⅱ)【答案解析】
(Ⅰ)设点的坐标,表达出直线的斜率之积,再根据三点均在椭圆上,根据椭圆的方程代入斜率之积的表达式列式求解即可.(Ⅱ)设直线的方程为,根据直线的斜率之积为可得,再联立直线与椭圆的方程,表达出面积公式,再换元利用基本不等式求解即可.【题目详解】(Ⅰ)设,,则,又,,故,即,故,又,故.故椭圆的标准方程为.(Ⅱ)设直线的方程为,,由,故,又,故,因为处的切线相互垂直故.故直线的方程为.联立故.故,代入韦达定理有设,则.当且仅当时取等号.故的面积的最大值为.【答案点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点坐标满足的关系式求解椭圆基本量求方程的方法,同时也考查了抛物线的切线问题以及椭圆中面积的最值问题,需要根据导数的几何意义求切线斜率,再换元利用基本不等式求解.属于难题.19.(1);(2)【答案解析】
(1)利用正弦定理将边化成角,可得,展开并整理可得,从而可求出角;(2)由余弦定理得,进而可得,由,可求出的值,设边上的高为,可得的面积为,从而可求出.【题目详解】(1)由题意,由正弦定理得.因为,所以,所以,展开得,整理得.因为,所以,故,即.(2)由余弦定理得,则,得,故,故的面积为.设边上的高为,有,故,所以边上的高为.【答案点睛】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的应用,考查三角形的面积公式的应用,考查学生的计算求解能力,属于中档题.20.(Ⅰ);(Ⅱ)4.【答案解析】
(Ⅰ)先画出图形,结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值,,故可确定点轨迹为椭圆(),进而求解;(Ⅱ)设直线方程为,点坐标分别为,联立直线与椭圆方程得,,分别由点斜式求得直线KA的方程为,令得,同理得,由结合韦达定理即可求解,而,当重合交于点时,可求最值;【题目详解】(Ⅰ),所以点的轨迹是一个椭圆,且长轴长,半焦距,所以,轨迹的方程为.(Ⅱ)当直线的斜率为0时,与曲线无交点.当直线的斜率不为0时,设过点的直线方程为,点坐标分别为.直线与椭圆方程联立得消去,得.则,.直线KA的方程为.令得.同理可得.所以.所以的中点为.不妨设点在点的上方,则.【答案点睛】本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程,椭圆中的定点定值问题,属于中档题21.(1)(2);时,取得最小值【答案解析】
(1)设等差数列的公差为,由,结合已知,联立方程组,即可求得答案.(2)由(1)知,故可得,即可求得答案.【题目详解】(1)设等差数列的公差为,由及,得解得数列的通项公式为(2)由(1)知时,取得最小值.【答案点睛】本题解题关键是掌握等差数列通项公式和前项和公式,考查了分析能力和计算能力,
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