高中数学知识各章节归纳总结

§01.集合与简易逻 知识要本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（）、简易逻辑三部分：（一）②空集是任何集合的子集，记为AAB，同时BAAB.AB，BC，那么AC. Z={全体整数}则CsA={0}） 二、四象限的点集③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R一、三象限的点集.2x3y2x3y

②点集与数集的交集是.（例：A={(x，y)|y B={y|y 则A∩B=①n个元素的子集有2n个.②n个元素的真子集有2n－1个. 集有2n－2个.⑴①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例：①若ab5，则a2或b3应是真命题.解：逆否：a2b3a+b5，成立，所以此命题为真②x1且y xy解：逆否：x+y x=1或y=x1且y xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要条件3.例x5，x5或x2交：ABx|xA,且xB}并：ABx|xA或xB}补：CUA{xU且xA}AA,A,AU,CUAUBA, BB; BA,BA, BB; BA,BA BBA BBCU交换ABBAABB

B

B(ABCABC);(ABCABAA A A

A求补律：A∩CUA=φ CUU=φ反演律：CU(A∩B)= CU(A∪B)=card( B)card(A)card(B)card( card(

Bcard( B)card C)card BBcard( Bcard(UA)=card(U)-xx1x3mxx1x3m-3x+m-xm- x+xa0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)的解可以根据各区间的符号yax2bx（a0）ax2bxca0x1,x2(x1x2xx ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx bxx 2aRax2bxc0(a0)xxxx

f

f

f

≥0(

f

f(x)g(x)0;f(x)0f(x)g(x)

g(x)axbcaxbc(c0构成复合命题的形式：pq(记作“p∨q”pq(记作“p∧q”p作“┑q”逆命题若q逆命题若q则逆否命题┐q互互 逆为互逆否原命题若p则否命┐p 互Pq；q题．5、四种命题之间的相互关系：§02.函 知识要定

具体

性二次指数指数函对数yf(x)(xACx,yyxx=(yyCx=(y)，xA中都有唯一(yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数，记作x f1(y),习惯上改写成yf)正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为函数或偶函数的必要不充（2）f(x)f(x)f(x是定义域上的恒等式

f(x)奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也如果f(x)是偶函数，则f

f(|x|)，反若奇函数在x0时有意义，则f(0)0f(xf设（ab）为偶函数上一点，则（ab）也是图象上一点.f(xf(xf(xf(x0f(x0f(xf

ff

设（ab）为奇函数上一点，则（a,b）也是图象上一点.f(x)f(xf(xf(x)0f(x0

ff

1②y=f（x）称y③y=f（x）对称yf（f(x1)f(x

) 2(x2x2b1x2b2x2bxx2b1x集合BBA关系是 解：f(x)的值域是f(f(x))的定义域B，f(x)的值域R故B而Ax|x1，故B ①f(xy)f(x)f(y)f(xy)f(x)f(f(xy)fy)f(x)f[(xyyf(xyfy)f(x)②f(x)f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)f(证：f(x)f(xy) xf(f( y2|x|→|x|y

1

1

1 →→2 2 2▲x▲xxx▲(-xy|2x22x1|→|y|x例：y2x12x

7x

定义域{x|x3,x270x3值域{y|y2,y270x3第8yax(a0且a1（0，1loga(MN)logaMlogaNM

logaMlogaNnlogaMnnlogaMn

1logM alogaN换底公式log Nlogb logblogablogbclogcaloga1a2loga2a3...logan1anloga1（以上M0N0a0,a1b0b1c0c1,a1a2...an0且 （1，0（4）x(0,1时yx(0,1) y注⑴：当ab0时log(ab)log(alog(b)⑵：当M0时，取“+”，当n是偶数时且M0Mn0，而M0，故取“—”.logax22logax(2logaxx＞0而logax2x∈R）.yax（a0,a1）ylogax互为反函数a1ylogax的ax轴；当0a1时，则相反loga(MN)logaMlogaNMloga

logaMlogalogaMnnlogaMnn

1logM alogaN换底公式log Nlogb logbl n logaa2logaa3... a n （以上M0N0a0,a1b0b1c0c1,a1a2...an0且1⑵：当ab0log(ablog(alog(b⑵：当M0时，取“+”，当n是偶数时且M0Mn0，而M0logax22logax(2logaxx＞0而logax2yax（a0a1）ylogax互为反函数a1ylogax的ax轴；当0a1时，则相反为奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1为奇函数.高中数学第三章等差数列及其通项公式．等差数列前n项和公n项和公项§03.数 知识项等差数列的前n等比数列的前nan1anan1q(q式anan1d；anamnanan1q；anamqn式ana1(nana1qn1（a1,q0Aank2（n,kN*,nk0Gankank(ankank（n,kN*,nk0n项SSnnn(aa nan(n1) na1(qSa1qnn 1 aa 1(qamanapaq(m,n,p,qNmnpamanapaq(m,n,p,qN*,mnp{{an}为APan1and(常数{a}为GP q(常数 n通项公（n-1d=（n-kd=aaqn1a 求和公sn(a1an)nan(n1) dn2(ad (qsa(1qn aa 1 1 n (q 1 1中项公式A=a 推广：2a= G2ab。推广：a2 1m+n=p+q则amanapm+n=p+q，则amanapaq2若{kn成A.P（其中knN则{akn也为A.P若{kn成等比数列（其中knN则{akn3sns2nsns3ns2n4dana1aman(mn)n1 mnqn1an qnman (m5)anan1d(n2d为常数②2anan1an1(n2anknbnk为常数anan1q(n2q为常数,且n②a2n

(n2，

0注①：i.b ，是a、b、c成等比的双非条件，即b a、b、c等比数列b （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要baca、b、c等比数列的必要不充分b 且ac0a、b、c等比数列的充要ancqncq为非零常数④正数列an}成等比的充要条件是数列logxan}（x1）成等比数列as1a1(n ⑷数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系：

(n[注]ana1n1dnda1d（d可为零也可不为零→为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）→若d不为0，则d条件）d.②等差{a}前n项和SAn2Bn n2a →可以为零也可不为零→为等 2

12 2 kk2Sk,S2kSk,S3kS2k

S奇②若等2nnNS偶S

S ③若等差数列的项数为2n1nNS2n12n1anS奇S偶anSS n常用公式：①1+2+3…+nnn2②122232n2nn12n62nn2③132333n3

10n1；5，55，555，…

9a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1r.其中第n年产量为a(1rn1，且过n年后总产量为：aa(1r)a(1r)2...a(1r)n1

a[a(1r)n1(1 ⑵银行部门中按复利计算问题.a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1rn元.因此，第二年年初可存款：

a(1

a(1

...a(1r)

a(1r)[1(1r)12]1(1 a1

x1

x1rxa1

mx1rmr

x

ar11rman2pan1qan（p、q为二阶常数）用特证根方法求解x可设ancxnc ，若xx可设a(ccn)xn；③由初始值a,a确定c,c1 2 1 1anPan1r（P、r为常数）用①转化等差，等比数列；②逐项选代；③消去常数转化为an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求ananc1c2Pn1（公式法），c1ca1a2确定

xP(anx)

PanPxxxrP

r

r)r

(a

)Pn1

(a

1P

P Pn1a1Pn2rPrrr aPa ran

相减 r，ca r，acPn1c（a r 11 1P 1P 1⑴等差数列的前nSnd0时，有最大值.Sn取最大值时的n值，有一是求使

dn2

d)n利用二次函数的性质求2的值照等比数列前n项和的推倒导方法：错位相减求和.例如：11,31,...(2n1)

一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.验证an

(ana

(2)(3):验证

)nN

am在等差数列｛an｝中,Sn的最值问题：(1)当a1>0,d<0时，满足

amsm取最大值.(2)当a1<0,d>0时，满足

的项msm取最小值。在解含 裂项相消法:适用于a 其中

an}0的等差数列，cnn1错位相减法:适用于anbn其中{an}是等差数列，bn是各项不为0倒序相加法:类似于等差数列前n项和公式的推导方法1）:1+2+3+...+n

22）1+3+5+...+(2n-1)=n

n(n4）122232n21n(n1)(2n6 1 1(1 n(n n n(n 2 n 1 (11) (pq) qpp §04.三角函 知识要1.（0360）终边相同的角的集合（与角的终边重合）▲y3241x 23|▲y3241x 23x轴上的角的集合：|k180k③终y轴上的角|k180

,ky=x|k18045kyx|k18045k

1、2、3、4表示第一、二、三、⑦若角x轴对称，则角360k⑨若角的终边在一条直线上，则角180k⑩角的终边互相垂直，则角的关系：360k角度与弧度的互换关系：360°=2180°= 弧度与角度互换公式：1rad＝180 1°＝3、弧长公式：l||r

1lr1|| y；

a的终 sinr

xrxcosx

tany

x cot rx

cscryyPTyPT MAy+oy+o-+-y -o+y o+ 正弦、余 余弦、正 正切、余

16.几个重要结论yOx Ox(3)若o<x2,则f(x)x|xf(x)x|xf(x)x|xR且xk1kZ f(x)f(x)x|xR且xk1kZ f(x)tancot1cscsin seccos

sinsin2cos2

sec2tan21csc2cot2 的三角函数化为的三角函数，概括为2 公式组 公式组 tanx=sincos

sin(2kx)sincos(2kx)cos

sin(x)sinxcos(x)cosxsin x=cossin

1+tan2x tan(2kx)tan cot(2kx)cot 公式组 公式组 公式组sin(x)sin sin(x)sicos(x)cosxtan(x)tanxcot(x)cotx

cos2(x)cosx

tan(x)tanxcot(x)cotx公式组 公式组cos()coscossinsincos()coscossinsinsin()sincoscossin

tan22ta1tan2sin()sincoscossin

sin2

tan()

tantan1tantan

cos11cos2tan()tantan1tantan

tan1

sin

1cos公式组 公式组 公式组 sincos sinsin 2tan

cos(2)sin cossin sinsin 1tan2

coscos1coscos

)21tan2cos 1tan22

sinsin2sin

tan(1)cot1cos()122

sinsin2 sin tan()cottan coscos2 cos 1 coscos

sin sin(2)3 3 sin15cos7562,sin75

62,tan15cot75

,tan75cot1523 4ysinycosytanycotyAsinx（A、RR x|xR且xkk x|xR且xkkRRRA,当0当0,[2k,上为增函 [2k,2上为减函（kZ）[2k1；2k上为增函[2k2k1]上为减函（kZk,k 上为增函数（kZkk1上为减数（kZ 2k2 ( 2k2 ( 2k ( 2k2(A) 上为减函数（kZ▲xOysinxysinxycosxycosx的单调性也同样相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上递增（减），则yf(x)在[ab]上递减（▲xOysinxycosx的周期是ysin(xycos(x)（0）的周期T2ytanx2（T

T2，如图，翻折无效 ysin(xxk（kZ），对称中心（k,0）ycos(x2xk（kZ），对称中心（k1,0）ytan(x)2（k,02ycos2x点称ycos(2xcos⑤当tan·tan1k(kZtan·tan1,k(kZyycosx与y

y(xy(xx x y(x)sin(xk1)cos(x)2ytanxR上为增函数.（×）[只能在某个单调区间单调递增.ytanx为增函数，同样也是错误的义域关于原点对称（奇偶都要）f(xf(xf(x)f奇偶性的单调性：奇同偶反.ytanxytan(x1是非奇非偶.（3奇函数特有性质：若0xf(xf(0)0.（0x质ysinxysinx为周期函数（Tycosx是周期函数（如图）ycosx为周期函数（T

yxycos2x1的周期为（如图）2a2byf(x)5f(xk),ka2b

⑩yacosbsin１

sin(cosba2a2b

y２３y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2f1||，相位x初相| （x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0时以上公式可去绝对值符号|由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(x＋φ替换x)得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（y+(-b)替换y）y＝sinxy＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）4、反函数 的反函数叫做反正弦函数，记作y＝arcsinx，它的定义域是x， 221］，值域是—2， 2y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数y＝arccosx，它的函数 的反函数叫做反正切函数记作y＝arctanx，它的定义域x 22∞，＋∞），值域是

，22II.定要注明定义域，若x,xyysinx无反函数）sin(arcsinx)xx1,1arcsinx.22⑵反余弦函yarccosx非奇非偶，但有arccos(xarccos(x2kx)ycosxyarccosxysinxyarcsinx为奇函数yarctanx，定义域(,，值域（），yarctanx2arctan(x)arctanx，x(,)注tan(arctanx)xx(,yarccotx，定义域(,，值域（），yarccotx2偶arccot(x)arccot(x)2k，x(,)cot(arccotx)xx(,yarcsinxyarcsin(1x互为奇函数，yarctanxyarccosxyarccot非奇非偶但满足arccosxarccosx2kx[1,1]arccotxarccot(x2kxa的取值范 解 a的取值范 解①sinxa的解 ②cosxa的解a a a x|x2karcsina,k a x|x2karccosa,ka x|xk1karcsina,ktanxax|xkarctanakcotxax|xkarccotaksinsinsin33sin4sin3sin2sin2sinsin2n1cos34cos3cos2cos2 coscos2cos4...cos2 sin

a x|xkarccosa,kcoskk1

2nsinncos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)k

sin((n1)d)cos(xnd)sindnsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)k

sin((n1)d)sin(xnd)sindtan()tantantantantantan1tantantantantantan(0,sinx＜x＜tanx,x (0,2

f(xsinx在(0xABC，则x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycos

§05.平面向 知识要(1)(2)AB；字母表示：a；坐标表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ，ｙ)＝（ｘ，ｙ）

x1y ab(x1x2,y1y2abb(ab)ca(bc)ABBCACab(x1x2,y1y2abaABBA,OBOAa|a||||a|a(x,(a)()aa(ab)a=0a0a//baa0或b0ab0ab|a||b|cos(a,abx1x2y1abb(a)ba(b)(a(ab)cacb a|a|即|a|=x|ab||a||bλ2a∥ba＝λb(b≠0x1y2－x2y1＝O.a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.P分有P1P2所成的比为λP1P＝λPP2，OP＝1

＋1

OP2 xx1 y y 2 1当λ＝1时，得中点公式xx1x222

yy 2 设点P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到点P′（x′，y′则OP＝OP+a或xxyy曲线y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲线的函数解析式为asin

sin

sin

R，r. PPaPbPPPaPbP⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下图]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-cOacOacbBaECcbBaECDFIAbC F Ia 图

图 图2IS△ABC的一个旁心，S△=1/2（b+c-22

ab

⑹在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanCABC所以tanABtanC，所以tanAtan1tanAtan

tanC，⑺在△ABC中，DBCAD2AC2BDAB2BCBDDC证明：在△ABCDAD2AB2BD22ABBDcosAB2BC2AC在△ABC中，由余弦定理有cosB 2AB AC2BDAB2 图图

12b22c2abc12b22c2abcpp

2app2appapbp

，其中p为B周长

，其中p为半周长c2a2b2△ABC∠A+∠B2c2a2b2△ABC∠A+∠B＜2c2a2b2△ABC∠A+∠B＞2a2b2c2，得在钝角△ABCcosC0a2b2c20,a2ab2ab22(a2b2

OBOAAB BAOAOB OP 运算律：⑴abb ⑵(abcab ⑶(aba3共线向量 a平行于bab 当我们说向量a、b共线（ab）a、b线． 共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b0），ab a＝λb推论：如果lA且平行于已知非零向量a点P在直线l上的充要条件是存在实数ta叫做直线l

OPOA

ta已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向a平行于平面a//pxa如果两个向量ab不共线，p与向量abpxa推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,yMPxMAyMB或对空间任一点O，有OPOMxMA 如果三个向量abc不共面，那么对空间任一向量ppxapxayb推论：设OAB,CP，都存在唯一的三个有序实数x,y,z，使OPxOAyOBzOCb的夹角，记作a,b0a,bab a与bab2

，显然有a,bba；若向量的数量积：ab|a||b|cosa,bABa和轴le是l上与lA在lA，作点B在l上的射影B，则AB叫做向量AB在轴l上或在e上的正射影.AB的长度|AB||AB|cosae|ae|（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|2a．（1）(ab(aba(b．（2）abba（交换律）（3）a(bc)aba（分配律

x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a=(a1,a2,a3bb1b2b3ab(a1b1,a2b2,a3b3 a(a1,a2,a3)( aba1b1a2b2a3a∥bab,ab,ab(R)a1a2a ababababaa222a13a 1 aa222a13aa (用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaa

abab2b2bb2b2b

1

2a2aa2a2a |a||b (x2x1)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a如果a那么向量a叫做平面的法向量①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面AB到平面的距离为|ABn||n②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1n2分别是二面角l中平面的法向量，③证直线和平面平行定理：已知直线a平面ABaCDCDE三点不共线，a的充要条件是存在有序实数对ABCDCE.（ABCDCE求解若存在即证毕，若AB与平面相交▲▲CD ▲BnAC

高中数学第六章-不等§06.不等 知识要（1）不等（等）ab0abab0abab0aabba（对称性ab,bcac（传递性abacbc（加法单调性abcdacbd（同向不等式相加abcdacbd（异向不等式相减a.b,c0acabc0acbc（乘法单调性ab0cd0acbd（同向不等式相乘ab00cdab（异向不等式相除 abab011（倒数关系 ab0anbn(nZ,且n1)（平方法则nab0n

nb(nZ,且n1)（开方法则（1）若aR,则|a|0a2若a、bR则a2b22ab(或a2b22|ab|2ab（a=b 2极值定理xyRxySxyP,则1如果P是定值,x=y时，S2如果S是定值,x=y时，P的值最大若a、b、cR则abc3abc（a=b=c3若ab0,则ba2（a=b a0时|x|ax2a2xa或x |x|ax2a2ax（7）若a、bR,则||a||b|||ab||a||b

ab

a2a221 aa

a2b

a2b) )2 （当a=b时，(a)

2

ab a2b2 abc (abcRabc时取等 幂平均不等式：a2a2...a2 (aa...a )1n(n1n1n(n常用不等式的放缩法：①11n(n1n1n(n n n n nn 21nn②n1 n nn 21nn

a（a1b1a2b2a3b3anbn)(aa2a

)(bbbb当且仅当

a1

a2

a3

n时取等号 f(x1x2)f(x1)f(x2) f(x1x2)f(x1)f(x2) 特例①一元一次不等式ax>b解的讨论；f(x)0f(x)g(x) f

f(x)g(x) 0

g(x)f(x) f(x) f(x)f(x)

f(x)2f(x)g(x)g(x)

f(x) 或g(x)或

f

g(x)g(x)2

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x); af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgbf(x) f(x)

f(x)

g(x)(a1)g(x) f(x)

f(x)

g(x)(0a1)g(x)f(x) 1 23g(x)|f(x)|g(x)g(x)f(x)f(x)g(x)或f(x)|f(x|g(x)g(x)f(x)g(x)或f(x) ①x(1x)212x(1x)(1x)1(2)3 2 2x2(1x2)(1x 12 2②yx(1x)y () y 2 |x类似于ysinxcos2xsinx(1sin2x)，③|x1||x| |x

)

高中数学第七章-直线和圆的

知识要直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是0180(0)直线方程是：xy1. 注：若y2x2是一直线的方程，则这条直线的方程是3y2x2(x0)则不是这条线3

y2x2，但若3ykxb，当kb均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果kb变化时，对应的直线也会变化.①当bk变化时，它们表示过定点l1l2k1k2l1和l2是两条不重合的直线.②在l1和l2的斜率.错误（一般的结论是：对于两条直线l1,l2，它们y轴上的纵截距是b1b2，则l1l2k1k2，且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分条件，且C1C2）推论：如果两条直线l1,l2的倾斜角为1,2则l1l212两条直线垂直的条件：①设两条直线l1和l2k1和k2，则有l1l2k1k21这里的前提是l1,l2的斜率都存在l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要条件）⑴直线l1到l2的角（方向角）；直线l1到l2的角，是指直线l1与l

重合时所转动的角，它的范围是(0,，当90时tank2k11k1k⑵两条相交直线l1与l2的夹角：两条相交直线l1与l2的夹角，是指由l1与l2 个角中最小的正角，又称为l1和l2所成的角，它的取值范围是0,2，当90tank2k11k1k过两直线l1:A1xB1yC10的交点的直线系方程AxByC(AxByC)ll2

y

2

A2xB2yC20不包括在内⑴点到直线的距离公式：设点P(x0,y0)lAxByC0,PldA2BdAx0By0A2B(x2x1)2(y2y1两点P1(x(x2x1)2(y2y1x2特例：点P(x,y)O的距离：x2)

,其中1 P1(x1,y1),P2(x2,y2). xx1x2,yy11 1直线的倾斜角（0°≤＜180°）、斜率k 过两点P(x,y),P(x,y)的直线的斜率公式：ky2y1 (xx 1

x1x2y1y2（x轴垂直）时，直线的倾斜角＝90⑵两条平行线间的距离公式：设两条平行直线l1AxByC10,l2AxByC20(C1C2C1C它们之间的距离为d，则有dC1CA2B过定点（x1,y1）的直线系方程是 A(x-x1)+B(y- (A,B不全为l1、l2交点的直线系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0λ∊R）注：l2.注：①曲线、直线关于一直线（yxb）对称的解法：yx，xy.f(x⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线Cf(x,y0M(xyf(xy0的一种关系，曲线上任一点(x,y)f(x,y)0的解；反过来，满足方程f(xy)0的解所对应的点是注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)Cf(x0圆的标准方程：以点C(abr为半径的圆的标准方程是(xa)2yb)2r2注：特殊圆的方程：①与x轴相切的圆方程(xa)2(yb)2 [rb,圆心(a,b)或②与y轴相切的圆方程(xa)2(yb)2a [ra,圆心(a,b)或(a,③与x轴y轴都相切的圆方程(xa)2(ya)2a [ra,圆心圆的一般方x2y2DxEyF0D2E 当D2E24F0时，方程表示一个圆，其中圆心CD,ED2E 2 D2E24F0时，方程表示一个点D,E 2D2E24F0时，方程无图形（称虚圆xarcosAx2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是：B0且AC0D2E24AF0M(x0y0及圆Cxa)2yb)2r2M在圆C内(x0a)2y0b)2rM在圆C上（x0a)2y0b)2rM在圆C外(x0a)2y0b)2r设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0) 直线l：AxByC0(A2B20)A2B圆心C(a,A2Bdrl与Cx2y2D1xE1yF1附：若两圆相切，则x2y2D2xE2yF2

drl与CC2:x2y2D2xE2yF2有两个交点，则其公共弦方程为(D1D2xE1E2yF1F2)0drl与Cx2y2D1xE1yF1附：若两圆相离，则x2y2D2xE2yF2

相减为圆心O1O2的连线的中与线方程(xa)2(yb)2r

程，其判别式为0l与C0l与C0l与Cx2y2D1xE1yF10x2y2D2xE2yF20相减，不表示直x2y2r2的斜率为kykx1k2r过圆x2y2DxEyFP(xyxxyyDxx0Eyy0F0 .Ay1y0k(x1x0R2by1k(R2by1k(aR

，联立求出k切线方程.

CD..已知O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2(xa)2(yb)R2 4方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。

§08.圆锥曲线方 知识要1.PF1PF22aF1F2方程为椭圆PF1PF22aF1F2无轨迹PF1PF22aF1F2以F1,F2i.中心在原点，焦点在x轴上：x2y21(ab0).ii.中心在原点，焦点在y轴上：a b y x 1(ab0)a b AxBy1(A0B

.③椭圆的标准参数方程：

x ya b21xacos（一象限应是属于0yb ⑵①顶点：(a,0)(0,b或(0,a)(b,0).②轴：对称轴：xy轴；长轴长2a，短轴长2ba2a2 .⑤准线：x 焦点：(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦距：F1F 2c,c cayc

c(0e1).ax yP(x0y0a2b21(ab0)上的一点F1,F2为左、右焦点1aex0,PF2aex0x yP(x0y0)b2a21(ab0)F1,F2为上、下焦点1aey0,PF2a pF1e(x0 )aex0(x00),pF2 x0)ex0a(x0 )2b2(c,b2和(cb2a a

yb21(ab0的离心率是e

c(ca

a2b2x2ya b

t(t0的参数，ab0的离心率也是eca⑸若P ⑸若P a b21上的点.F1,F2为焦点，若F1PF2，则PF1F2b2tan（ 11.

PF

2a可得）.若是双曲线，则面积为b2cot2▲(bcos,bsin)(acos,asinPF1PFPF1PFPF1PF

2aF1F2方程为2aF1F2无轨2aF1F2以F1,F2的一个端点的一条

NN的轨迹是椭x2y

1(a,b0),y2x

1(a,b0)Ax2Cy21(AC0)

a b

a b

.a x2y2 0a b

准线方程x c

渐近线方程： a

0 c y x

ab0a2b

ybtan yasec 2a ③离心率e ⑤参数关系c2a2b2,ec x2ya2 b21（F1,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）MF1ex0 MF1ex0MF

MF1MF20

0yMxyMxy xMFM

ey0ey022双曲线x2y2x2y2x2y2a b

a b

a b 0x2y2(0)x2y2a b

▲y4325▲y43251x3

x y渐近线为

a

(0)22x2

x y4

y(0)，代入(3,)2

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；条⑺若Px2y

m= a b

，则到两准线的距d1d

PFee

=mny22y2y22y22x22x22OxOx▲Ox▲OxF(p,0)F(p,0)F(0,p2F(0,p2x2x2y2y2x0,yx0,yxR,yxR,yxyePFp PFp PFp PFp ay2bycx顶点(4acb2b y22pxp0则焦点半径PFx

x22pyp0)则焦点半径PFyPP22P2x2pty22px（x22py）的参数方程为y2

x2（或y2pt

）（t为参数当0e1时，轨迹为椭圆；当e1时，轨迹为抛物线；当e1时，轨迹为双曲线；当e0时，轨迹为圆（ec，当c0,ab时a,之比为定值e的点的轨迹迹方程x2y2 a 1( bx2y2a yb(参数为离心角yb(参数为离心角x2pt2(t为参数y2|x|原点原点 (0,b) x轴，yx轴，y轴,xF1(c,0),F1(c,0),F(p2 （c=a2b2 （c=a2b2ec(0eaec(eaax= cax= cx2y=±barar(exrx22ba2baacacP

§09.立体几 知识要一 平面8部分.（X、Y、Z三个方向二 ab是夹在两平行平面间的线段，若ab，则ab的位置关系为相交或平行或异面11 方向相 方向不相

（二面角的取值范围0,18012（直线与直线所成角0,9012（直线与平面所成角090（向量与向量所成角[0,180l1l2是异面直线，则过l1l2PP且与l1l2都平行平面有一个或没有，但与l1.三 [注]：①直线a与平面内一条直线平行，则a.（×）（平面外一条直线②直线a与平面内一条直线相交，则a与平面相交.（×）（平面外一条直线④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面（×）（可能在此平⑦直线l与平面所成角相等，则.（×）（可能相交POaAOaAPA⊥aAO，得aPO（三垂线定理），得不出PO.因为aPOPO不垂直OA..[四 .证明：如图，找OOA、OB分别垂直于l1,l2因为PM,OA,PM,OB则PMOA,PMOB

BMAm2n2d22mn图两异面直线任意两点间的距离公式：m2n2d22mn图 2θ图五 棱柱⑴①直棱柱侧面积：SCh（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为底面

底

推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为，则cos2cos2cos22④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直（两条边②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以V棱柱Sh3V棱柱.（底面周长为C，斜高为h2

Scos（侧面与底面成的二面角为alb 以知clcosab，为二面角alalb11S a l11

cosa S

Scos

则 ①，

.Abacbac简证：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令ABa,ADc,AC DEFHGDBCACABba,ADcBCADbcac，已知acb0bacDEFHGD acbc0BCAD0BAC中点O，则ooACBOACAC平面OOBACBOFGH90°EFGHEFGHEFFGEFGH为正方形. ②球的体积公式：V4R33,②圆锥体积：V1r2h（rh为高3③锥形体积：V1Sh（S为底面积，h为高 4 6a，S3a2，S3a4 62236得3a2 a 3a2R13a2RR a/43 a a62236

1

R3S3S

RS六.注：①若a与bb与c共线，则a与c共线.（×）[当b0③若ab，则存在小任一实数，使ab.（×）[与b0④若a为非零向量，则0a0.（√）[这里用到b(b0共线向量定理：对空间任意两个向量a,b(b0)，ab的充要条件是存在实数（具有唯一性），使ab.共面向量：若向量a使之平行于平面a在内，则a与的关系是平行，记作a∥①共面向量定理：如果两个向量abP与向量ab共面的充要条件是存在实数对x、yPxayb.②空间，则OPxOAyOBzOC(xyz1)PABC点共面的充要条件.（OP1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、,AGMCy、z使OPxOAyOBzOC(GMCD注：设四面体ABCDABbACcADdB1中Q是△BCD的重心，则向量 bc)用AQAMMQ即证应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a=(a1,a2,a3bb1b2b3ab(a1b1,a2b2,a3b3 a(a1,a2,a3)( aba1b1a2b2a3a∥bab,ab,ab(R)a1a2a ababababaa222a13a 1 aa222a13aa (用到常用的向量模与向量之间的转化：a2aaa

abab2b2bb2b2b

1

2 a2aa2a2a |a||b (x2x1)(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)法向量：若向量a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.AB的距离为|ABn||n②利用法向量求二面角的平面角定理：设n1n2分别是二面角l中平面的法向量，③证直线和平面平行定理：已知直线a平面ABaCDCDEa∥的充要条件是存在有序实数对ABCDCE.（ABCDCE求解若存在即证毕，若AB与平面相交▲▲CD ▲BnACII.将每条连线分为3︰1；几何的直角三角形.（V、l、S、R、r、h分别表示其体积、六条棱长ABC BCD+S2△ABDO；D b2c2a2c2a2b2O；D b2c2a2c2a2b2 ①等腰四面体的体积可表示为VA2a2a2b2c 42a2b2c2a2b2c3④h= ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法 球已知:M－AB－N中，AEM，BFN,∠EAB=1,∠ABF=2AEBF所成的角为，则coscos1cosABAD1C立平斜公式：如图，AB和平面所成的角是1，AC在平面内，BC和AB的射影BA1成2，设∠ABC=3,cos1cosABAD1C已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,因此,cos2+cos2+cos2棱数E＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；S直棱柱侧=c S棱柱全=S底+S1=3球的体积公式V4R3S4R2；掌握球面上两点A、B3求法：（1）计算线段AB的长，（2）计算球心角∠AOB的弧度数；(3)用弧长公式计算劣弧AB的长；

§10排列组合二项定理mn个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……n位上选取元素的方法都是mm个不同元素中，每次取n个元素可重复排列数m·m·mmn..例如：nm个抽屉中，不限放法，共 （解：mn种二、排列元素中取出m个元素的一个排列.n一个排列.n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号Am表示.nAmn(n1)(nm1)

(mn,n,mN注意：nn!(n 规定0!=AAmAmAmCm1Am 规定A 为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于n .n1!n2!...nk数？其排列个数n3!1三、组合m⑵组合数公式：Cm m n(n1)(nm Cm m m

C Cn个不同元素中取出m个元素后就剩下n-mnn-mnn-m个元素的分二类，一类是含红球选法有Cm1C1Cm1一类是不含红球的选法有Cm nm-1个元nnCmCm1CmCm C0C1C2n C0C2C4C1C3C5 CmCm m m kCknC Ck 1Ckk n 裂项求和法.如：123 12!3! (n (n (n 导数法 iii.数学归纳法 iv.倒序求和法递推法（即用CmCm1Cm递推）如：C3C3C3C 4 构造二项式.(C02(C1)2Cn)2C C0CnC1Cn1C2Cn2 C0(C0)2(C1)2Cn2，而右边C . m(mnAnm1Am个.Anm1是一个“ mm n个不同座位，A、BA2A n1 22 m（空法），当nm+1≥m,mn1时有意义2

mm

AAn种排列方法AAmm Cn nAk⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 nAkk44C8C（P 182C10/有多少种排法？有AnmA m/Am，当n–m+1≥m,即m≤n1时有意义. 2x1x2x3x41212x1,x2,x3,x4x1x2x3x412，故（x1,x2,x3,x4）是方程的一组解. C的方法数C

注意：若为非负数解的 个数，即用a1,a2,...an中ai等于xi1，x1x2x3...xnAa11a21an1A，进而转化为求a的正整数解的个数为CAn.C ⑨定位问题：从nkr个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有ArAk 元素中取C后A策略，排列CrCkrAk；组合CrCkrrnr r在内。先C后A策略，排列CkAk；组合Ck.nr iiink个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某r个元素中的s个元素。先C后ACsCksAkCsCks II.rnmr组元素个数相等，不rkk例：102、4、4，其分法种数为C2C4C4A21575.若分 1、1、2、2、2、2，其分法种数为C1C1C2C2C2C2A2 9 m②非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAmm例 人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为C2C3C5A3种 若从10人中选9人分成三组，人数分别为2、3、4C2C3C4A3

4A A2n考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为An

Cn-

…n-(m1m2...mk-1…10861、2、3，其分法种数为C1C2C312600109⑴二项式定理：(ab)nC0anb0C1an1bCranrbrCna0bn ①项数：共有n1②系数：依次为组合数C0,C1,C2,,C n（abn展开式中的第r1Tr1Cranrbr(0rnrZ)nnnn1项，它的二项式系数C22

2n

n1nC C0C2C4C1C3 附：一般来说(axby)n(a,b为常数时均可直接根据性质二解.当a1或b1时，一般采用解不等式组AkAk1 AkAk 或

A为

A

Ak

k

k

knr(abcn展开式中含apbqcr的系数呢？其中pqrN,pqrn把(abc)nabc]n视为二项式，先找出含有CrCr(ab)nrCr，另一方面在(abnr中含bq的项为CnqanrqbqCnqarpbq，故(abcn中含apbqcr的项为nrCrCqapbqcr.其系数为CrCqn!(nr)!n!CpCqCr n r!(nr)!q!(nr r!q! n 面部分C2a2C3a3Cnan很小，可以忽略不计。类似地，有(1a)n1na 公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求

高中数学第十一章-概§11.概 知识要1，如果某个事件Am个，那n么事件A的概率P(Amn①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生A、B中有一个发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)P(A1A2An)P(A1P(A2P(An).互对②对立事件：叫对立事件.例如：从1～52张牌中任互对件叫做相互独立事件如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副牌（52张）中任抽一张设A：“K”；B：“抽到红牌”AB互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A41P(B261P(AP(B1.AB表示“ K对抽到红牌”即“KK”有P(AB

1，因此有P(AP(BP(AB推广：若事件A1A2,An相互独立，则P(A1A2An)P(A1P(A2P(An注意：i.一般地，如果事件A与B相互独立，那么ABABAB也都相互独立ii.必然事件与任何事件都是相互独立的iii独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复n试验中这个事件恰好发生kPn(k)CkPk1P)nknP(AB)P(AP(BP(A第十二章-概率与一、随量

§12.概率与统 知识要离散型随量：如果对于随量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随随 .若ξb是常数则b一般地，若ξ是随 设离散型随量ξ可能取的值为：x1,x2,,xiξ取每一个值x1(i1,2,)的概率P(xi)pi，则表称为随量ξ的概率分布，简称ξ的x…x…Pp…p…有性p10,i1,2,；②p1p2pi1[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数n事件恰好发生kP(ξk)Ckpkqnk[其中k0,1,nq1p]nn（n·p），其中n，p为参数，并记Ckpkqnkb(k;np)n几何分布：k”kk次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为AkP(Akq，那么P(ξk)P(A1A2Ak1Ak.根据 相互独立事件的概率乘法分式：P(ξk)P(A)P(A )P(A) 到随量ξ的概率分布列

(k1,2,3,于是123…k…Pqq2…q…我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1 k⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中