2022年高考数学临考押题卷（二）（新高考卷）含答案

绝密★启用前I试题命制中心2022年高考临考押题卷(二)数学(新高考卷)(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：.本试卷分第1卷(选择题)和第H卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效..回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.TOC\o"1-5"\h\z.已知集合A={M-0},8={小，=皿2-必，则―己3=( )A.[1.2] B.(1,2) C.[1,2) D.(f,E).若复数2=义，则Iz-it( )+1A.2 B.75 C.4 D.5.设x,yeR,则且y<1"是"x+y<2"的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件.若向量涧满足W=l,1*1=2,al(a+*),则；与6的夹角为()A5 B- c— D—A-6 3 U3 56.已知点F为抛物线9=2内(p>0)的焦点，点P在抛物线上巨横坐标为8,。为坐标原点，若AOFP的面积为2应，则该抛物线的准线方程为< >A.x~~2 B.JC=_1 C.x=-2 D.x=-46.在边长为6的菱形488中，ZA=p现将AABO沿3D折起，当三极锥A-88的体积最大时,三棱锥A-8CD的外接球的农面积为（ ）A.60” B.30/r C.70n D.50几7.我们通常所说的480血型系统是由4,B,。三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在•起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中A4,AO为A型血，BB,BO为3型血，A8为A8型血，00为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能的出现A4.AB,AO,30四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为A3型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为（B.—8B.—8168.已知直线3-丁+2k=0与直线x+b」2=8.已知直线3-丁+2k=0与直线x+b」2=0相交于点P,大值为（A.2A.2—^3C.1D.73二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合施目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，帚选错的得。分..+ 的展开式中各项系数之和为2,则其中正确的是（ ）A.«=1B.展开式中含丁项的系数是-32C.展开式中含一项D.展开式中常数项为40.已知函数/（x）=2sin（3+e）+a.<y>0,则下列结论正确的是（ ）A.若对于任意的xeR,都有成立，则a,-lB.若对于任意的xeR,都有/（x+万）=f（x）成立，则。=2C.当时，若f（x）在［。图上单调递增，则0的取值范围为°制D.当。=-6时，若对于任意的。gR,函数/（x）在［o,g］上至少有两个零点，则。的取值范围为［4,物）.如图，在棱长为3的正方体中，点产是平面A8G内一个动点，且满足PD+PV2+A，则下列结论正确的是(A.B、D工PBB.点2的轨迹是•个半径为&的圆c.直线4P与平面ABG所成角为?D.三棱锥P-84G体积的最大值为3+直222 2 2 212.我们约定双曲线e：.-,=1(。＞0力＞0)与双曲线与：£-本=4(0＜%＜1)为相似双曲线，其中相似比为九则下列说法正确的是( )A.居、七的离心率相同，渐近线也相同B.以瑞、4的实轴为直径的圆的面积分别记为$、S2,则1■=%C.过目上的任一点P引巴的切线交G丁点48,则点P为线段4?的中点D.斜率为代伏＞0)的直线与骂、身的右支由上到下依次交于点A、B、C、D,则［4。＞怛。第H卷二、填空整：本题共4小题，每小题5分，共20分.己知若tan(a+?)=2,则sina=..有6x6的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，则停放的方法数为.己知/(力为R上的奇函数，H/(x)+/(2-x)=0,当Tvx＜0时,/(x)=2\则”2+1吗5)的值为.在空间直角坐标系。一xyz中.三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面.比如方程F+/+z2=l表示球面，就是•种常见的二次曲面.二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛.已知点P(x,y,z)是二次曲面4/-xy+yJz=0上的任意一点，且x>0,y>0,z>0,则当上取得最小值时，xy x\yzJ的最大值为.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步短..(本小题10分)为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用X表示样本中次品的件数.⑴求X的分布列(用式子表示)和均值；(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过0.1的概率.参考数据：设尸(X=A)=区,2=0,1.Z…,20,则%=0.06530.p6=0.l2422.p7=0.17972,p产0.20078,介=0.17483,pl0=0.11924,pu=0.06376,p12=0.02667..(本小题12分)已知数列｛q｝的前"项和为S.,满足S.=|(%-1),neN1.⑴求数列｛4｝的通项公式；(2)记G=ajsin—,求数列｛4｝的前100项的和71al..(本小题12分)在aABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,fl-=tanfl+tanA.acos5⑴求A；(2)若。为BC上一点，且BC=3BD=&AB，AD=3,求“1BC的面积..(本小题12分)如图，在三棱台A8C-A/8心中，"BC为等边三角形,A/UJ■平面ABC,将梯形AA/C/C绕A4旋转至A4-位置，二面角D-AAl。的大小为30。.(1)证明:Ai,Bi,Ci,D/四点共面,且A/D/_L平面AB8/A/：(2)若A4产A/C/=2人3=4,设G为的中点，求宜线88/与平面AB/G所成角的正弦值.DiDi.(本小题12分)在平面直角坐标系g•中，双曲线C:三-三=l(a>0,&>0)的离心率为&,实轴长为4.ab'⑴求。的方程：(2)如图，点人为双曲线的下顶点，直线/过点P(0」)且垂直于y轴(户位于原点与上顶点之间)，过户的直线交C于G,H两点,直线AG,4〃分别与/交于N两点，若O,A,N,M四点共圆，求点。的坐标..(本小题12分)已知函数/(x)=alnx-x+,(a>0).⑴当xil时，/(x)«0恒成立，求实数。的取值范圉：(2)当a=l时，= 方程8(%)=用的根为 /，且王>为,求证：Xj-Xj>i+e/n.2022年高考临考押题卷(二)数学(新高考卷)(考试时间：120分钟试卷满分：150分)注意事项：.本试卷分第I卷(选择题)和第n卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。三、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求..已知集合4=卜»=2*,万20},B={x|y=ln(2-x)},则( )A.[1,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(-oo,+oo)【答案】C【详解】由已知A={y[y=2",x2。}=[1,+8),8={x|y=ln(2-x)}={x|2-x>0}={x|x<2}=(-oo,2),Ac8=[l,2).故选：C.2.若复数z==，则Iz-i|=( )+1A.2 B.5/5 C.4 D.5【答案】B【详解】因为复数2="；~7,+1所以z-i=±-i=l-2i,1+1所以|z-i|="+(-2)2=#>,故选：B.设X,yeR,贝ij"xvl且yvl"是"x+y〈2"的（A.充分不必要条件 B,必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由x<l且y<l,可得x+y<2当x=2,y=-l时，满足x+y<2,但不满足x<l且y<l则"x<l且y<l"是"x+y<2"的充分不必要条件故选：ATOC\o"1-5"\h\z.若向量还满足忖=1,忖=2,a_L(a+4,则£与5的夹角为( )a兀 c冗 「2冗 r5乃A.- B.- C.—- D.~~~6 3 3 6【答案】C【详解】由题可知，|可=1,|5|=2,无(1+5)=同万.5=0=万石=一1,_ab-1 1c°M9〉=丽=面=一5，向量了与方的夹角为竽.故选：c..已知点尸为抛物线丁=2px(p>o)的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,。为坐标原点，若AOFP的面积为2式，则该抛物线的准线方程为( )A.x=~~ B.x=-1 C.x=-2 D.x=-42【答案】B【详解】抛物线?=2Px">0)的焦点2多0),由y2=16p,可得y=±4j],不妨令P(8,44)则5△皿=gx5x4)=八万=2板,解之得p=2则抛物线方程为V=4x,其准线方程为x=-l故选：Brr.在边长为6的菱形ABC。中，ZA=-,现将△ABO沿BO折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为( )A.60万 B.3(hr C.70兀 D.50乃【答案】A【详解】当三棱锥A-8CZ)的体积最大值时，平面ABE)_L平面8C。，如图，取3。的中点为连接A",CH,则A//_L8D设。“。2分别为△AB。，△BCD外接圆的圆心，。为三棱锥A-8C。的外接球的球心,则。1在A”上，。2在CH匕且AO|=2。|"=：4/=26,且O2H1BD,OOt1平面ABD，OO21平面BCD.••平面ABZ)_L平面BCD,平面AB£)c平面BC£>=BO,AHu平面ABD平面丽，AH//O2O,同理CH〃O0••四边形00024为平行四边形.•A"J"平面BCD,O?4u平面BCD••AH1O2H,即四边形qoo?”为矩形.;.O()2=O]H=6CO,=2x且x6=2石232•••外接球半径R="O；+CO；=J3+12=屈•1•外接球的表面积为4万齐=60万故选：A.7.我们通常所说的A80血型系统是由A,B,。三个等位基因决定的，每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成，且两个等位基因分别来自于父亲和母亲，其中AA,A0为A型血，BB,BO为B型血，48为AB型血，OO为O型血.比如：父亲和母亲的基因型分别为40,AB,则孩子的基因型等可能的出现AA,AB,AO,8。四种结果，已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型，不考虑基因突变，则小明是A型血的概率为( )TOC\o"1-5"\h\z„1 一1 clA.— B.- C•一 D.-16 8 4 2【答案】c【详解】因小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型，则小明父亲的血型可能是A4,AB,BB,它们对应的概率分别为JJ4'2'4'当小明父亲的血型是44时，因其母亲的血型为AB,则小明的血型可能是AA,AB,它们的概率均为3，此时小明是A型血的概率为=：,当小明父亲的血型是A8时，因其母亲的血型为AB,则小明的血型是A4的概率为1,此时小明是A型血4的概率为=当小明父亲的血型是88时，因其母亲的血型为则小明的血型不可能是/U,所以小明是A型血的概率为即C正确.884故选：C8.已知直线H-y+2%=0与直线x+处-2=0相交于点尸，点A(4,0),O为坐标原点，则tanNOAP的最大值为( )A.2-G B.® C.1 D.G3【答案】B【详解】直线H-y+2A=0恒过定点M(-2,0),直线X+切-2=0恒过定点N(2,0),而&」+(-1)/=0,即直线履一y+2A:=0与直线x+6-2=0垂直，当P与N不重合时，PMA.PN,PMPN=0<当P与N重合时，丽.丽=0，令点P(x,y),则丽=(-2-x,-y),PN=(2-x,-y),于是得x?+y2=4,显然点P与何不用合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆(除点M外),如图，rr观察图形知，射线"绕点A旋转NOAPe[0,5),当旋转到与圆O：V+V=4相切时，NOAP最大，tanZOAP最大，因|OA|=4,AP'为切线，点尸为切点，IOP'I=2,NOPA=90,则NOA尸=30。，所以NOAP最大值为30,(tanZOAP)^=tan30°=—.故选：B三'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得。分.(f+x2)(2x-£)的展开式中各项系数之和为2,则其中正确的是( )A.47=1B.展开式中含F项的系数是-32C.展开式中含一项D.展开式中常数项为40【答案】AC【详解】令x=l,(a+l)(2—1)5=a+l=2=>a=l,故A正确；&+x2)(2x-£]的展开式中含X7项的系数为矛=32,故B错误；仁+/加一£)5的展开式中也(2*(-夕=10/为xT项，故C正确；C+x)(2x-J的展开式中常数项为gc；Oxyc：/=80,故D错误.故选：AC.10.已知函数/(x)=2sin(azr+e)+a,<y>0,则下列结论正确的是( )A.若对于任意的xeR,都有成立，则a,-1B.若对于任意的xeR,都有/(x+")=/(x)成立，则①=2C.当夕=?时，若/(x)在卜上单调递增，则”的取值范围为jo]J Lz」 \J.D.当°=时，若对于任意的。eR,函数f(x)在0,y上至少有两个零点，则。的取值范围为[4,内)【答案】ACD【详解】对于A,对于任意的xeR,都有1成立，所以々41—2sin®x+°)恒成立，又sin(0x+e)«—1,1],1-2sin(69X4-1,3],a<-\,故A正确；对于B,由题可得乃是函数的周期，但不能推出函数的最小正周期为"，故B错误；,.rr. . 「冗、 冗乃CD717T对于C,当0=]时，当0,5时，CDX+—E +y,则竺+土，0〉。，故0<。4!，故C正确；2 32 3对于D,当a=-G时，当xw0,y时，(ox+(pe。，等+。，由/(x)=2sin(azr+9)-G在上至少有两个零点，则春+夕一夕22乃，即&N4,故D正确.故选：ACD.11.如图，在棱长为3的正方体4BCO-A8G。中，点尸是平面A/G内一个动点，且满足P£)+P4=2+而，则下列结论正确的是( )TOC\o"1-5"\h\zD\ g:A BA.B、D工PBB.点尸的轨迹是一个半径为0的圆C.直线与平面A/G所成角为。D.三棱锥尸-BBC体积的最大值为之+迈2 2【答案】ACD【详解】对于A选项，连接8Q,因为四边形ABiGR为正方形，则鸟ALAG，QOR_L平面A4GA，AGu平面481GA，则因为..AGJ■平面BQR,•••BQu平面用。£)[,同理可证•.•48门46=4，，耳。_1平面486，•••P8u平面ABC-.,.尸A对；对于B选项，设BQC平面ABJ=E,因为AB=BC|=AG=3V5,A4=BB1=4G，所以，三棱锥4-A8G为正三棱锥,RF=AB=反因为AEL平面abg，则e为正vabg的中心，贝ij ；一^一4°,2sm一3所以，B\E=《BB；-BE2=G，•.♦40=36，：.DE^B}D-BiE=2y[3,•••8QL平面ABC-PEu平面A^G，:.PE±B,D,即々EJ.PE,DEYPE,因为PD+PB,=2+如,即）理2+12+>/尸£：2+3=2+下，:PE>。,解得PE=1,所以，点P的轨迹是半径为1的圆，B错：对于C选项，•••々EL平面ABG，所以，87与平面A8G所成的角为NB/E,TOC\o"1-5"\h\z且tanNB/E=竽=百,vO<ZB,P£<^,故NBEE=g,C对：PE 2 3对于D选项，点E到直线BG的距离为1bE=^,2 2所以点尸到直线Bq的距离的最大值为9+1,2故aBPG的面积的最大•值为晨6+2"36=3（后+应）,2 2 2因为片E，平面ANC,则三棱锥线-BPC,的高为片E,所以，三棱锥尸-BBC体积的最大值为乂色自、百=也正，D对.3 2 2故选：ACD.2 2 2 212.我们约定双曲线片:5-2=l（a>0,6>0）与双曲线与邑-与=/1（0</1<1）为相似双曲线，其中相似ab- ab”比为X.则下列说法正确的是（ ）A.耳、々的离心率相同，渐近线也相同B.以居、E?的实轴为直径的圆的面积分别记为S「S2,则兴=义*C.过&上的任一点尸引耳的切线交£于点48,则点P为线段4B的中点D.斜率为上伏>。）的直线与耳、心的右支由上到下依次交于点AB、C、D,则|AC|>|B。【答案】AC【详解】2 2 L.①耳：三—%=1（。>0,方>。）的渐近线为y=±：x,离心率为2，$下等"(°"、。"宣一言=限°"<1)，则双曲线当实轴长为2〃a,虚轴长为2\/Ib,；.渐近线方程为y=±3俭x=±?x,故两个双曲线的渐近线方程相同，a•.,在双曲线跳血，离心率0=£=、1+4，...两双曲线离心率也相同，故A正确；a\a(2)St=7ta-,S?=》x(J7a)2=%〃2,5:g,故B错误；S2TtAaA,③对于C,若P为片顶点时，切线与x轴垂直，根据双曲线对称性可知，此时切线与心的交点A8关于x轴对称，即线段48的中点为P：当该切线与x轴不垂直时，设切线方程为y="+f,联立切线与四：］；；：：：；2=/从，-a2k2)x2-2a2ktx-a2t2-a2b2=0(*),••直线与耳相切,则方程(*)为二次方程，b2-a2k-^O<ILA=0,方程有两个相同的实数根即为尸点横坐标，则根据韦达定理可知工-二络线，b~-Uk~联立切线与心：［:2区2…2,得色?一储⑻:^^片依-/产—6从/**),\b-ay=Aa^b ' )设4(2%),8(%,%)，则<+4=/2。2,-a~k.,.大+七=24，•.•尸在切线y=履+r上，r.p为AB中点.综上，P为线段A8中点，故C正确：④对于D,由(*)和(**)可知，= x=+%=-/“¥尸,b--a"k b"-ark":.XA-^XD=XB+XCt即XA~XC=XB^XD^IA。］=Jl+ —xj=忸£)|=J1+4匕，故D错误；故选：AC.四、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知若tan[a+?J=2,则sina=.【答案】叵10【详解】由tanfa+[]=2,可得史竺d=2,解得tana=』，即上吧=1，即cosc=3sina,\ 4) 1-tana 3cosa3,1又由sin?a+cos。e=1,所以sirra=5，因为所以si〃a=——.I2) 10mi710故答案为：—.1014.有6x6的方格中停放三辆完全相同的红色车和三辆完全相同的黑色车，每一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，则停放的方法数为【答案】14400【详解】第一步先选车有C；种，第二步，因为每一行、每一列都只有•辆车，每辆车占一格，从中选取•辆车后，把这辆车所在的行列全划掉，依次进行，则£-C；C：C；C；C：=用有种，根据分步计数原理得：C：♦4=14400种.故答案为:1440015.己知f(x)为R上的奇函数，且〃x)+f(2-x)=0,当-l<x<0时，〃x)=2',则"2+10氐5)的值为4【答案】--##-0.8【详解】由题设，f(2-x)=-f(x)=f(-x),故/(2+x)=/(x),即f(x)的周期为2,所以/(2+log,5)=/(2x2+log,1)=/(log,1)=-/(log,1),且-1<log21<0,所以〃2+噫5)=-2*=—4故答案为：一二.16.在空间直角坐标系。一盯2中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面.比如方程W+V+z2=l表示球面，就是一种常见的二次曲面.二次曲而在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛.已知点P(右%

z)是二次曲面z)是二次曲面4/一肛+y2-z=0上的任意一点，且x>0,y>o>z>0,则当'-取得最小值时，—|j肛 zj的最大值为.【答案】I【详解】由题设，z=4x2-xy+y2,故三="+上-122,隹上-1=3,当且仅当y=2x时等号成立,xyyx\yx令，=L>o,则加)=乙一二，故ra)=i^i£2,TOC\o"1-5"\h\zx 26 2所以,当0<f<2时r⑺>0,当f>2时。⑴<0,即/⑴在(0,2)上递增,在(2,+00)上递减.2 1故f(r)4f(2)=q,且x=],y=l时等号成立，综上，一(—的最大值为;.z/ 32故答案为：j.四、解答题17.为了解某车间生产的产品质量，质检员从该车间一天生产的100件产品中，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测.假设这100件产品中有40件次品，60件正品，用X表示样本中次品的件数.⑴求X的分布列(用式子表示)和均值；(2)用样本的次品率估计总体的次品率，求误差不超过0.1的概率.参考数据：设尸(X=%)=2,2=0,1,2,…,2。，则=0.06530,p6=0.12422,P1=0.17972,ps=0.20078,p9=0.17483,%=0.11924,p„=0.06376,p,2=0.02667.【解析】(1)解：由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次试验之间的结果不相互独立,所以由题意随机变量X服从超几何分布,所以X的分布列为P(X=&所以X的分布列为P(X=&)=「k020-4C4OC8O「20Joo40次=0,1,2,…,20,X的均值为£(X)=〃p=20x77A=8；1(X)(2)x解：样本中次品率%=为是一个随机变量，所以P(|6o-O.4怪0.1)=尸(6X?1O)=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.12422+0.17972+0.20078+0.17483+0.11924=0.79879.所以误差不超过0.1的概率为0.79879.218.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足S” nwN*.⑴求数列｛4｝的通项公式；(2)记=ajsin拳，求数列｛2｝的前100项的和小).【解析】(1)2 2当nN2时,an=S„-S,.1=-(«„-1)，整理得区=-2,%2, 、又4=E=§(4-1),得％=-2则数列｛勺｝是以・2为首项，・2为公比的等比数列.则4〃二(一2)",neN*⑵当〃=4%,AeN.时，b4k=(-2)4A-sin =o,当〃=4攵一1,上cN•时，&卜］=(-2)“j-sin_2^-1,当〃=42-2,2£N•时，仇卜2=(-2)"2sin^^―^^=0»当九二4%-3,&wN*时，b4k_3=(一2)"一1sin―—=-24k~3,则too=「+a+4+,,•+loo=-(2+2,+…+297)+(2。+2』+…+2”)2-2-(24)2523-23-(24.2,0,-21-24~~5~19.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,且一=tan8+tanA.acosB⑴求A；

（2）若。为BC上一点，且BC=3BO=648,A£）=3,求aABC的面积.【解析】(1)在aABC中，因为一曲-=tanB+tanA.4cos3-V3sinCsinBcosA+cosBsinAsinA-V3sinCsinBcosA+cosBsinAsinAcosB cosBcosA因为sinC=sin（乃-C）=sin（4+B）,所以 =—,BPtanA=-x/3.sinAcosA因为Ae(O㈤，所以A=手.(2)在△ABC中，因为BC=3BD=#>AB,A=-,所以a=J5c.由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,即+bc-2c?=0,解得：b=c(b=—2c舍去).因为而=通+丽=而+；肥=通+：国—硝\通+；而.所以而2=（2丽+1而）,即3?=匕+2、2仍cos@TOC\o"1-5"\h\zU3J9 9 39因为b=c,所以32=1c2,解得：,2=27，所以aABC的面积S,„r=-Z?csinA=-x27x—= .aaul2 2 2即aABC的面积为420.如图，在三棱台A8C-A向&中，aABC为等边三角形，44/J■平面ABC,将梯形AA/C/C绕AA/旋转至44/。/。位置，二面角。/-AA/-C/的大小为30。.⑴证明：Ai,Bi,Ci,。/四点共面，且A/Q/J■平面ABB/4/；(2)若AA尸A/C/=2AB=4,设G为OD/的中点，求直线88/与平面48/G所成角的正弦值.【解析】(1)证明：因为44,_L平面A8C，所以AA_LAG，又因为e_LAA，ARcAG=A，所以AA，平面A8Q,假设A，fi,,c,,R四点不共面，因为aa，平面ABC，A4,，平面AAA，所以平面A4G〃平面abq,与平面A4Gc平面ABR=A4矛盾,故A，fi,,c，q四点共面，又因为AG^AA，Ao,1a4,.所以NGAR二面角o.-M-G的平面角，所以NGa。=30°,又zb,ac,=60°,所以又M_LAA，MnAfi.=A.所以AR_L平面(2)以A为坐标原点，丽,AD；,羽的方向为X,y,Z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系A-型;则A（0,0,4）,8（2,0,4）,C（l,73,4）,D（0,2,4）,A（0,0,0）,4（4,0,0）,C,（2,2^,0）,D,（0,4,0）,所以G（O,3,2）,则福=（4,0,T）,瓯=（2,0,Y）,AG=（0,3,-2）,设平面480的法向量为3=(x,y,z),

n-AB}=4x-4z=0n-AG=3y-2z=0令x=3,得5=(323),设84与平面mg所成角为e,则sin则sin0=cos厄x屈一HO所以8片与平面48©所成角的正弦值为M10.1102 021.在平面直角坐标系x°y中，双曲线C:《-方=l(a>0,6>0)的离心率为0,实轴长为4.⑴求C的方程；(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线/过点尸(0」)且垂直于y轴(尸位于原点与上顶点之间)，过P的直线交C于G,〃两点，直线AG,A”分别与/交于M,N两点，若。，A,N,历四点共圆，求点P的坐标.【解析】⑴因为实轴长为4,即2a=4,a=2,又£=&,所以c=20，b2=c2-a2=4,2 2故C的方程为匕-土=1.由0,A,N,M四点共圆可知，NANM+/AOM=兀,又/MOP+NAOM=兀,即Z/tW=NMOP,故tanZANM=tanZ.MOP= tanZ.OMP印一"AN=-J ,所以&AN,卜2=1,

设G（XpX）,W（x2,y2）,由题意可知A（0,-2）,则直线AG:y=2「x-2,直线AH:y=区1》-2,因为M在直线/上，所以坨=，，代入直线AG方程，可知“"+2个,故M坐标为（如芈/],所以自“=等黑，I%+2） 。+2）为, , y,+2 r（y.+2）y,+2TOC\o"1-5"\h\z又kAN=kAH=F'由则 ,整理可得出=的2）9+2）,t x{x2当宜线GH斜率