初级中学数学规律探究题

归纳猜想型问题考点一：猜想数式规律通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。般解法是先写出数式（比较不同等式间相同位置的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。（比较不同等式间相同位置.（巴中）观察下面的单项式：a,-2a2,4a3,-8a4,…根据你发现的规律，第8个式子是;第n个数据应为。1234TOC\o"1-5"\h\z.（南平）给定一列按规律排列的数：2,S'1。’17,则这列数的第6个数是（）7D.——7D.——39a.37b.2c.3135.（黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22;1+3+5=32;1+3+5+7=42;…，则1+3+5+•+2015的值是..（沈阳）有一组等式：12+22+22=32,22+32+62=72,32+42+122=132,42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为.5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：想第5.（衡阳）观察下列按顺序排列的等式：想第n个等式（n为正整数）：an=11a1=1-3,a2=2111114,a3=35,a4=4抵…，试猜6.（南宁）有这样一组数据a16.（南宁）有这样一组数据a1,a2,a3,•••an,满足以下规律:111a1=2,a2=1a1,a3=1a2,1an=1an=1an1（门》2且门为正整数）,则a2016的值为（结果用数字表示）7.（广安）已知直线y=7.（广安）已知直线y=（n1）x

n21（n为正整数）与坐标轴围成的三角形的面积为Sn,则n28.S1+S2+S3+8.S1+S2+S3+…+S2016=…“1（大庆）已知——13依据上述规律，计算1_（1°）3113111一（35231135571、1一），5571的结果为20152017.将全体正整数排成一个三角形数阵：123456;第n;第n行（n>3从左到右的第3按照以上排列的规律，第5行从左到右的第3个数为个数为.（用含n的代数式表示）.请看杨辉三角（1）,并观察下列等式（2）

11111121133114641TOC\o"1-5"\h\z(ab)ab22_2(ab)a2abb(ab)3a33a2b3ab2b3根据前面各式的规律，则（ab）6考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。.（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放,则第n个图案中共有小三角形的个数是AAAAA△△A八八八八△△

△△△△弗二3八AAAA△△根据前面各式的规律，则（ab）6考点二：猜想图形规律根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。.（牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放,则第n个图案中共有小三角形的个数是AAAAA△△A八八八八△△

△△△△弗二3八AAAA△△△△△△△△△△△.（娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒..（江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（用含n的代数式表示）..（呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴,第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需根火柴.第/个第二个第/个5.（遂宁）为庆祝六儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律,摆第（n）图，需用火柴棒的根数为»5.（遂宁）为庆祝六儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆金鱼”比赛.如图所示：按照上面的规律,摆第（n）图，需用火柴棒的根数为»)IX6.（深圳）如图，每一幅图中均含有若⑶F个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方.如图所示，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数为.如图是一组有规律的图案，图案1是由4个令组成的，图案2是由7个⑥组成的，那么图案3是由个⑥组成的，依此，第n个图案是由个，碟'组成的..（2015重庆（B）,8,3分）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…,依此规律，图11中黑色正方形的个数是（）TOC\o"1-5"\h\z图1图2图3困4A.32B.29C.28D.26.（2015重庆（A）,8,3分）下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为（）OOOOOO…OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO23A.21B.24C.27D.30.将图1的正方形作如下操作：第1次分别连接对边中点如图2,得到5个正方形；第2次将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3,得到9个正方形…，以此类推，第n次操作后，得到正方形的个数是

.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（1）个图案有4个三角形，第（2）个图案有7个三角形，第（3）个图案有10个三角形，…依此规律，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）.平移小菱形◊可以得到美丽的“中国结”图案，下面四个图案是由小菱形◊平移后得到的类似“中国结”的图案，按图中规律，第20个图案中，小菱形的个数是个.第1第1个第2个第3个第4个.将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形（如图1）后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形（如图2、图3）…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为,那么第n（n为正整数）个图中，挖去的所有三角形的面积和为（用含n的代数式表木）.考点三：几何图形计算变化规律随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换这种规律可以作为猜想的一个参考依据。.（张家界）如图，OP=1,过P作PP/OP,得OP1=J2;再过P1作P1P2,OP1且P1P2=1,得OP2=也；又过P2作P2P3,OP2且P2P3=1,得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2016=00.（黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形ABiCi,再以等边三角形ABiCi的BiCi边上白^高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2c2,再以等边三角形AB2c2的边B2c2边上白^高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边AB3c3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形ABnCn的面积为..（牡丹江）如图，边长为i的菱形ABCD中，/DAB=60°.连结对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACEF,使/FAC=60°.连结AE,再以AE为边作第三个菱形AEGH使/HAE=60°••按此规律所作的第n个菱形的边长是.（六盘水）把边长为i的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时，点O运动到了点Oi处（即点B处），点C运动到了点Ci处，点Ci处，点B运动到了点

述方法经过4次旋转后,Bi处，又将正方形纸片

顶点O经过的总路程为AOiCiBi绕Bi点，按顺时针方向旋转90°按上,经过6i次旋转后，顶点O经过的总路程为rBtoJ，'rBtoJ，''工i.如图，点Pi（xi,yi）,P2（X2,y）,…，Pn（xn,yn）均在反比例函数y—（x>0）的图象上，右△PiOAi,△P2AiA2,△P3A2A3,…，APnAniAn都是等腰直角三角形，斜边OAi,AiA2,A2A3,…，AniAn都在X轴上（n是大于或等于2的正整数），则点P3的坐标是，点Pn的坐标是.（用含n的代数式表示）6.二次函数6.二次函数yB2,B3--Bn在二次函数位于第一象限的图象上，点Ci,C2,C3-Cn在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A0BiAiCi,四边形AiB2A2c2,四边形A2B3A3c3…四边形An-iBnAnCn都是菱形，/A0BiAi=/AiB2A2=/A2B3A3-=/An-iBnAn=60°,菱形An-iBnAnCn的周长为

y*O(Aoy*O(Ao)x.（2015浙江湖州，16,4分）已知正方形ABCiDi的边长为1,延长CiDi到Ai,以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2,延长C2D2到A2,以A2c2为边向右作正方形A2c2c3D3,（如图所示）,以此类推…若AiCi=2,过点A,D2,D3,…Dio都在同一直线上，则正方形A9c9C10D10的边长是..如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若旨茅则正^ABC的边长是.AA.设△ABC的面积为1,如图1将边BC,AC分别2等分，BEi,ADi相交于点O,△AOB的面积记为Si；如图2将边BC,AC分别3等分，BEi,ADi相交于点O,△AOB的面积记为S2；……，依此类推，则&可表示为（用含n的代数式表示，其中n为正整数）.考点四：坐标系和表格中的规律.（聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点Ai（0,1）,A2（1,1）,A3（1,0）,A4（2,0）,…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）。

.（抚顺）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是（-1,-1）、（0,2）、（2,0）,点P在y轴上，且坐标为（0,-2）.点P关于点A的对称点为Pi,点Pi关于点B的对称点为P2,点P2关于点C的对称点为P3,点P3关于点A的对称点为P4,点P4关于点B的对称点为P5,点P5关于点C的对称点为P6,点P6关于点A的对称点为P7…，按此规律进行下去，则点P2016的坐标是.如图，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，其顺序按图中“一'方向排列，如（1,0）,（2,0）,（2,1）,（1,1）,（1,2）,（2,2）,…，根据这个规律，第2016个点的坐标为.yhyh3-2-1-O.（湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是第一列茎二列茎三列重四列史五品纪六列叁七列・・・拿一打13610IS21第二行2391420第三行4S1526■■■篝四行7121$25---第五行111724■■■第八仃1623■.■第七行22-X.（恩施州）把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是的顶点Mi,M2,M3,…，Mn都在直线l：y=x上；②抛物线依次经过点Ai,A2,A3,…，An.则顶点m2016的坐标为（,）.课后练习考点一：猜想数式规律1.(2015湖北黄冈中学自主招生)两列数如下：7,10,13,16,19,22,25,28,31…7,11,15,19,23,27,31,35,39-第1个相同的数是7,第10个相同的数是A.115B.127C.139()D.1512.（2015浙江宁波）一列数b0,b1,b2,…，具有下面的规律,则b2015的值是b2n+1=bn,b2n+2=bn+bn+1,右b0=1,A.1B.6C.9D.193.（20153.（2015山东德州）一组数1,1,2,x,之和”，那么这组数中y表示的数为5,y,…满足从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数（4.A.8B.9C.13图形中M与（m,)A.M=mn（2013山东日照）如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律.n的关系是MD.15根据此规律,D.M=m(n+1)13579.（2014贵州毕节）观察下列一组数:49,方王,话…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是.人民公园的侧门口有9级台阶，小聪一步只能上1级台阶或2级台阶，小聪发现当台阶数分别为1级、2级、3级、4级、5级、6级、7级…逐渐增加时，上台阶的不同方法的种数依次为1、2、3、5、8、13、21…这就是著名的斐波那契数列.那么小聪上这9级台阶共有种不同方法.].（2014江苏扬州，18,3分）设a1，a2,…，a2014是从1,0,-1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69,（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001,则a1，a2,…，a2014中为0的个数是..数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想.4=2+2;6=3+3;4=2+2;6=3+3;8=3+5;10=3+7=5+512=5+7;14=3+11=7+7;16=3+13=5+11;18=5+13=7+11;9.通过这组等式,

观察下列等式:你发现的规律是（请用文字语言表达）.第一个等式:a1312221.2，222第二个等式:a2第三个等式:9.通过这组等式,

观察下列等式:你发现的规律是（请用文字语言表达）.第一个等式:a1312221.2，222第二个等式:a2第三个等式:a353424323第四个等式:a44232364525122214241.3，323525按上述规律,回答以下问题:（1）用含n的代数式表示第n个等式:(2)式子仇(2)式子仇a2a3a2010.下面是一个按某种规律排列的数阵：1.2.32.5.610.下面是一个按某种规律排列的数阵：1.2.32.5.6,7223,.记.行-13、值,154,173,2第2行2国第3行^192而第4行根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且n>3）行从左向右数第n-2个数是考点二：猜想图形规律1.（2015广东深圳，9,4分）观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有个太阳.家祭京祭奈察奈奈奈/森森森丑袅丑总丑邕甘丑方得:&丑图1图2图3图42.观察下列图形规律：当n=2.观察下列图形规律：当n=时，图形“■的个数和△”的个数相等..希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：他们研究过图由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是1中的1,3,6,10,…,2中的1,4,9,16…这样的数16A.289.希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.例如：他们研究过图由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是1中的1,3,6,10,…,2中的1,4,9,16…这样的数16A.289B.1024C.1225.如图，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为你探究出前n行的点数和所满足的规律.若前n行点数和为930,D.13782,4,6,…，2n,…，请n=•«At••••禺

♦♦♦•・A.29B.30A.29B.305.图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（C.31D.322）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，那么图此时.（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按形一共有6棵棋子，第③个图形一共有定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（国①此时.（重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按形一共有6棵棋子，第③个图形一共有定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（国①A.51B.70C.76.（2012浙江丽水，10,3分）小明用棋子摆放图形来研究数的规律,D.81图1中棋子围成三角形，其颗数3,（2）中的小正方形有块；按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形,第七个图形中小正方体木块总数应是块.6,9,12,…称为三角形数，类似地，图2中的4,8,12,16,…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）♦••••••••••A.2010B.2012C.2014D.2016形中共有8形中共有82个三角形，第二个图8.(2014重庆，10,4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数第三个图形A.229.观察下列图形，它们是按B.24C.26定的规律排列的，依照此规律，第D.2820个图形中的表”有★★第1个图形★★

★★★第2个图形★★★★★

★★★★第3个图形★*★★★★★★★★★★第4个图形A.57个B.60个C.63个D.85个10个点，第3()C.10个点，第3()C.61A.38B.46D.64.观察下列一组图形中点的个数，其中第一个图形中共有4个点，第2个图形中共有个图形中共有19个点，…按此规律第6.如图，4ABC的三个顶点和它内部的点P1,把4ABC分成3个互不重叠的小三角形；4ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2,把△ABC分成5个互不重叠的小三角形；△ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3,把△ABC分成7个互不重叠的小三角形；…4ABC的三个顶点和它内部的点P1、P2、P3、…、Pn,把4ABC分成个互不重叠的小三角形..观察下列图形的构成规律，依照此规律，第10个图形中共有根火柴棒.（用含n的代数式表示）.如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第根火柴棒.（用含n的代数式表示）4根rt=J4根rt=J.梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花烟摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第n个图形中小梅花的个数是.考点三：几何图形计算变化规律.如图，在^AiBiCi中，已知AiBi=7,BiCi=4,AiCi=5,依次连接^AiBiCi三边中点，得^A2B2C2,再依次连接^A2B2c2的三边中点得△A3B3c3,…，则4A5B5c5的周长为A.伪印.已知RtAABC中，/C=90°,BC=i,AC=4,如图所示把边长分别为xi,X2,X3,…，xn的n个正方形依次放入4ABC中，则第n个正方形的边长Xn=（用含n的式子表示，n>i）.如图，正^ABC的边长为2,以BC边上的高ABi为边作正^ABiCi,△ABC与△ABiCi公共部分的面积记为Si；再以正△ABiCi边BiCi上的高AB2为边作正^AB2c2,△ABiCi与△AB2c2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则S=.（用含n的式子表示）.如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直线上绕其右下角的顶点B向右旋转90。至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90。至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转20i5次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是。

H万①②⑤.如图，将那BC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的Ai处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为hi；还原纸片后，再将那DE沿着过AD中点Di的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕DiEi到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D20I4E20I4到BC的距离记为h20I5,到BC的距离记为h20I5.若hi=i,贝Uh20i5的值为..如图，已知Ai,A2,A3,…，An,An+i是x轴上的点，且OAi=AiA2=A2A3=…=AnAn+i=i,分别过点Ai,A2,A3,…，An,An+i作x轴的垂线，交直线y=2x于点Bi,B2,B3,…，Bn,Bn+i,连接AiB2,BiA2,A2B3,B2A3,…，AnBn+i,BnAn+i,依次相交于点Pi,P2,P3,…，Pn.△AiBiPi,△A2B2P2,Si,S2,S3,…，Sn,则Sn为△A3B3P3,…，△AnSi,S2,S3,…，Sn,则Sn为A.ni2niB.n3ni2n2niA.ni2niB.n3ni2n2ni7.如图，已知点Ai,A2,…，An均在直线yxi上，点Bi,B2,…，Bn均在双曲线y-±,

x并且，满足：AiBi^x轴，BiA2，y轴，A2B2，x轴，B2A3，y轴，…，AnBn^x轴，BnAn+i^y轴,记点An的横坐标