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文档简介
导入新课问题引入某区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心,试问该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等?ABC学习目标1.理解并掌握线段的垂直平分线的性质.(重点)2.能够运用线段的垂直平分线的性质解决实际问题.(难点)中点
垂直
旧知复习如图,直线l垂直平分线段AB,P1,P2,P3,…是l上的点,请你量一量线段P1A,P1B,P2A,P2B,P3A,P3B的长,你能发现什么?请猜想点P1,P2,P3,…到点A
与点B
的距离之间的数量关系.ABlP1P2P3探究发现P1A____P1BP2A____P2BP3A____P3B===线段垂直平分线的性质一新课探究猜想:点P1,P2,P3,…到点A与点B的距离分别相等.结论:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.由此你能得到什么结论?你能验证这一结论吗?已知:如图,直线l⊥AB,垂足为C,AC=CB,点P
在l上.求证:PA=PB.
证明:∵l⊥AB,∴∠PCA=∠PCB.
又
AC=CB,PC=PC,∴△PCA≌△PCB(SAS).∴PA=PB.PABlC结论验证线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.PABlC知识要点线段垂直平分线的性质:几何语言:∵
点P
在AB
的垂直平分线上∴PA=PB.作用:见垂直平分线,得线段相等.例1
如图,在△ABC中,AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于D,若△DBC的周长为35cm,则BC的长为(
)A.5cmB.10cmC.15cmD.17.5cm典例精析C线段垂直平分线的性质的应用二解析:∵△DBC的周长为BC+BD+CD=35cm,又∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,故BC+AD+CD=35cm.∵AC=AD+DC=20cm,∴BC=35-20=15(cm).故选C.方法归纳:利用线段垂直平分线的性质,实现线段之间的相互转化,从而求出未知线段的长.例2
已知:如图,在ΔABC中,边AB,BC的垂直平分线交于P.求证:PA=PB=PC;BACMNM'N'PPA=PB=PCPB=PC点P在线段BC的垂直平分线上PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上解析:证明:∵点P在线段AB的垂直平分线MN上,∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.现在你能想到方法确定购物中心的位置,使得它到三个小区的距离相等吗?1.如图①所示,直线CD是线段AB的垂直平分线,点P为直线CD上的一点,且PA=5,则线段PB的长为()A.6B.5C.4D.32.如图②所示,在△ABC中,BC=8cm,边AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,
△BCE的周长等于18cm,则AC的长是
.B10cmPABCD图①ABCDE图②当堂练一练3.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,E为CD的中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE交BC的延长线于点F.求证:(1)FC=AD;(2)AB=BC+AD.解析:(1)根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF,再根据E是CD的中点可得出△ADE≌△FCE,根据全等三角形的性质即可解答.(2)先根据线段垂直平分线的性质得出出AB=BF,再结合(1)即可解答.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF.∵E是CD的中点,∴DE=EC.又∵∠AED=∠CEF,∴△ADE≌△FCE,∴FC=AD.(2)∵△ADE≌△FCE,∴AE=EF,AD=CF.∵BE⊥AE,∴BE是线段AF的垂直平分线,∴AB=BF=BC+CF.∵AD=CF,∴AB
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