电磁场课件：chapter1-矢量分析-part 3

矢量的基本运算三种常用的坐标系矢量场和标量场标量函数的梯度矢量函数的散度矢量函数的旋度亥姆霍兹定理矢量分析散度

散度代表场中任一点处，通量对体积的变化率，因此又可称为通量源密度。

矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数，体积缩小趋近于0点；内容回顾--散度与高斯定理对通量用两种方法来求解结果必然相等面积分与体积分之间的关系高斯散度定理旋度

旋度代表场中任一点处，环流面密度的最大值及取最大值时的方向

矢量的旋度是矢量，是空间坐标点的函数，面积缩小趋于0点；内容回顾—旋度是否有类似于高斯散度定理的关系存在？？流速场闭合路径的环量的求法---斯托克斯定理1.根据定义来求解2.根据旋度来求解旋度的含义：环流面密度的最大值，当方向一致时对同一个物理量用两种方法来求解结果必然相等证明：由旋度的定义对于有限大面积S，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有斯托克斯定理斯托克斯（Stockes）定理矢量对闭合回路的线积分等于该回路所包围任意表面上对该矢量旋度的面积分。在电磁场理论中，Gauss公式和Stockes公式是两个非常重要的公式。

矢量函数的线积分与面积分的互换。

该公式表明了区域S中场A与边界L上的场A之间的关系图0.4.3斯托克斯定理斯托克斯（Stockes）定理的意义线积分---面积分-----体积分例1-8：已知F=ayxy-ay2x,计算如图所示的第一象限半径为3的1/4圆盘的逆时针方向线积分，并验证斯托克斯定理．解：用直角坐标系，由于Ｆ在xOy平面上，故dz=0.1/4圆周的方程为：x2+y2=9(0<x,y<3)由于在OA路径上有y=0,dy=0，及在BO路径上有x=0,dx=0，即Fdl在这两部分积分中均为０，所以xyAB0由上可得：所以：例1-9

求矢量场A=x(z-y)ax+y(x-z)ay+z(y-x)az在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ax+6ay+3az方向的环量面密度。提示：利用旋度来求解解：矢量场A的旋度在点M(1，0，1)处的旋度n方向的单位矢量在点M(1，0，1)处沿n方向的环量面密度例1-10

在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生的电场强度为求自由空间任意点(r≠0)电场强度的旋度▽×E。解：静电场：为无旋场，旋度为0。两个零恒等式任何标量场梯度的旋度恒为零。任何矢量场的旋度的散度恒为零。重要的场论公式类比梯度类似于“纵向”的概念，旋度类似于“横向”的概念

两种类型的“源”一、亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。(1）矢量场可分解为一个无旋有散场和有旋无散场之和；（2）若矢量场在某区域内处处：和

则由其在边界上的场分布确定。注意：不存在整个空间内散度和旋度处处均为零的矢量场。说明：亥姆霍兹定理通量源漩涡源二、无旋场与无散场1、无旋场：但在某些位置或整个空间内，有则称在该区域内，场为无旋场。重要性质：

无旋场场矢量沿任何闭合路径的环流等于零（无旋涡源）。由于可引入一个矢量辅助函数表征标量场2、无散场：

重要性质：

无散场通过任何闭合曲面S的通量等于零（无通量源）。结论：若矢量场在某区域内，处处

若矢量场在某区域内，处处，但则称在该区域内，场为无散场。结论：讨论：由于，可引入一个矢量辅助函数表征矢量场即称为无散场的矢量位函数。3、就矢量场整体而言，无旋场的散度不能处处为零，而无散场的旋度不能处处为零，一般的矢量场，可能既有散度，又有旋度。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件在电磁场中电荷密度电流密度J场域边界条件（矢量A唯一地确定）亥姆霍兹定理的意义：是研究电磁场的一条主线。电荷电流电场磁场静电场变电场变的磁场静的磁场源场例：判断矢量场的性质=0=0=000=0下列哪种场存在？1.无旋有散场2.有旋无散场3.无旋无散场4.有旋有散场本章小结运算关系梯度通量散度高斯定理环量旋度斯托克斯定理例1-11：证明矢量A旋度的散度恒为零。

例1-12：证明标量A梯度的旋度恒为零。

例1-11：证明矢量A旋度的散度恒为零。

证明：利用Del算子