2020高中数学 学期综合测评（一）（含解析）1-1

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE17-学必求其心得，业必贵于专精学期综合测评(一）本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．若函数f（x）的导数为－2x2＋1，则f（x)可以等于()A．－2x3＋1 B．x＋1C．－4x D．－eq\f（2，3)x3＋x答案D解析选项A中函数的导数为f′（x）＝－6x2；选项B中函数的导数为f′(x）＝1；选项C中函数的导数为f′（x）＝－4；选项D中函数的导数为f′（x)＝－2x2＋1.故选D。2．给出下列三个命题：①“全等三角形的面积相等”的否命题；②“若lgx2＝0，则x＝－1"的逆命题;③“若x≠y或x≠－y，则|x｜≠｜y｜”的逆否命题．其中真命题的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3答案B解析对于①，否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lgx2＝0”,它是真命题；对于③,逆否命题是“若|x｜＝|y｜，则x＝y且x＝－y"，它是假命题，故选B。3．若集合P＝{1,2,3，4｝,Q＝｛x｜x≤0或x≥5，x∈R｝，则P是綈Q的（)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案A解析∵Q＝{x|x≤0或x≥5,x∈R｝,∴綈Q＝{x｜0<x<5,x∈R}，∴P⇒綈Q,但綈Qeq\o（⇒,/)P，∴P是綈Q的充分不必要条件，选A.4．已知命题p：∀x1，x2∈R,（f（x2）－f（x1))(x2－x1）≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，（f(x2）－f(x1))(x2－x1）≤0B．∀x1,x2∈R,（f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R,(f（x2）－f(x1））(x2－x1）<0D．∀x1,x2∈R，(f(x2)－f(x1))（x2－x1）<0答案C解析因为全称命题p：∀x∈M，p(x)的否定綈p是特称命题：∃x0∈M，綈p(x0），所以綈p：∃x1，x2∈R，(f（x2）－f（x1))（x2－x1）<0，故选C。5．已知命题p：∃x0∈R，x0－2〉lgx0,命题q：∀x∈R,sinx<x，则（）A．命题p∨q是假命题B．命题p∧q是真命题C．命题p∧(綈q)是真命题D．命题p∨(綈q)是假命题答案C解析对于命题p:取x＝10,则有10－2>lg10，即8〉1，故命题p为真命题；对于命题q，取x＝－eq\f(π,2),则sinx＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＝－1，此时sinx>x，故命题q为假命题，因此命题p∨q是真命题，命题p∧q是假命题,命题p∧(綈q)是真命题，命题p∨（綈q)是真命题，故选C。6．我们把离心率之差的绝对值小于eq\f(1，2）的两条双曲线称为“相近双曲线”．已知双曲线C：eq\f（x2，4）－eq\f（y2,12）＝1，则下列双曲线中与C是“相近双曲线”的为（)A．x2－y2＝1 B．x2－eq\f(y2，2)＝1C．y2－2x2＝1 D.eq\f（y2，9)－eq\f(x2,72)＝1答案B解析双曲线C的离心率为2，对于A，其离心率为eq\r(2），不符合题意；对于B，其离心率为eq\r(3)，符合题意；对于C，其离心率为eq\f（\r（6），2），不符合题意;对于D,其离心率为3，不符合题意．故选B.7．从双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1(a>0，b〉0)的左焦点F1引圆x2＋y2＝a2的切线，切点为T。延长F1T交双曲线右支于P点，若M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则｜MO|－|MT|与b－a的大小关系为()A．｜MO|－｜MT｜>b－aB．|MO|－|MT｜＝b－aC．｜MO|－|MT|〈b－aD．不确定答案B解析∵F1T是圆的切线，∴OT⊥TF1，∵|OF1|＝c，｜OT|＝a，∴｜F1T|＝eq\r（|OF1|2－｜OT｜2）＝eq\r（c2－a2)＝b。设接双曲线的右焦点为F2，连接PF2，则|OM｜＝eq\f（1，2)｜PF2｜，又∵|F1M｜＝｜MP｜，｜PF1｜－|PF2|＝2a，∴eq\f(1,2)｜PF1｜－eq\f（1,2)｜PF2｜＝a，∴｜PM|－｜OM|＝a，∴b＋｜TM｜－|OM|＝a，∴|OM|－｜TM｜＝b－a,故选B。8．函数y＝x2ex的单调递减区间是()A．(－1,2)B．(－∞，－1）与（1,＋∞)C．（－∞，－2）与（0,＋∞)D．（－2，0）答案D解析y′＝（x2ex)′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)．∵ex>0，∴xex（x＋2）<0，即－2〈x〈0，故函数y＝x2ex的单调递减区间是(－2，0）．故选D.9．设函数f(x）在R上可导，其导函数为f′(x）,且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案C解析因为f（x)在x＝－2处取得极小值，所以在x＝－2附近的左侧f′(x)<0，当x<－2时，xf′（x)>0;在x＝－2附近的右侧f′(x)〉0，当－2<x〈0时，xf′（x)<0，故选C。10．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱底面周长与高的比为(）A．1∶2 B．1∶πC．2∶1 D．2∶π答案C解析设圆柱的高为x，底面半径为r，则r＝eq\f（6－x,2π)，圆柱体积V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（6－x,2π）)）2x＝eq\f(1，4π)（x3－12x2＋36x)（0<x〈6)，V′＝eq\f（3，4π）(x－2）（x－6)．当x＝2时，V最大．此时底面周长为6－x＝4,4∶2＝2∶1,故选C.11．如图，F1、F2是椭圆eq\f(x2，a2）＋eq\f（y2，b2)＝1(a〉b〉0）的两焦点，P是椭圆上任一点，过一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线，则垂足Q的轨迹为()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线答案A解析延长垂线F1Q交F2P的延长线于点A，在等腰三角形APF1中，|PF1｜＝｜AP｜，从而|AF2|＝|AP|＋｜PF2|＝|PF1|＋｜PF2｜＝2a，所以｜OQ|＝eq\f(1,2）|AF2｜＝a。12．已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且｜AK|＝eq\r（2)|AF｜，则△AFK的面积为(）A．4 B．8C．16 D．32答案B解析∵抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2,0)，准线为x＝－2，∴K（－2，0)．设A(x0,y0），如右图所示,过点A向准线作垂线，垂足为B，则B（－2，y0）．∵｜AK|＝eq\r（2）|AF|,又|AF|＝|AB｜＝x0－（－2)＝x0＋2，∴由|BK｜2＝｜AK|2－|AB｜2，得yeq\o\al（2，0)＝(x0＋2)2，即8x0＝(x0＋2)2，解得x0＝2，y0＝±4.∴△AFK的面积为eq\f(1，2）｜KF｜·|y0|＝eq\f（1,2)×4×4＝8，故选B。第Ⅱ卷（非选择题，共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．命题“∃x∈{正实数｝，使eq\r(x)<x”的否定为________，是________(填“真”或“假”）命题．答案∀x∈{正实数}，使eq\r（x）≥x假解析原命题的否定为“∀x∈{正实数｝，使eq\r（x）≥x”，是假命题．14．如图，椭圆的中心在坐标原点，当eq\o(FB,\s\up16（→)）⊥Aeq\o（B，\s\up16（→）)时,此类椭圆称为“黄金椭圆"，可推算出“黄金椭圆”的离心率e＝________.答案eq\f（\r(5）－1,2)解析设椭圆方程为eq\f（x2,a2）＋eq\f（y2，b2）＝1（a〉b〉0）,由题意得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（|AB|2＝a2＋b2,,|BF|＝\r(b2＋c2）＝a,,｜AF｜＝a＋c,）)∵Beq\o(F,\s\up16(→））⊥Beq\o(A，\s\up16（→))，∴|AB｜2＋|BF｜2＝｜AF｜2，∴(a＋c)2＝a2＋b2＋a2，∴c2＋ac－a2＝0。∴e2＋e－1＝0,又0〈e〈1，∴e＝eq\f(\r(5）－1，2).15．已知y＝f(x)是奇函数,当x∈(0，2）时，f(x)＝lnx－axeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a〉\f(1，2））)，当x∈(－2,0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于________．答案1解析∵f(x)是奇函数，∴f（x）在（0,2）上的最大值为－1。当x∈（0，2）时，f′（x)＝eq\f（1,x）－a，令f′（x）＝0得x＝eq\f(1,a).又a〉eq\f（1,2),∴0〈eq\f(1,a)<2。当f′（x)>0时，x<eq\f(1,a），f(x）在eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,a）))上递增；当f′(x)〈0时，x>eq\f（1，a)，f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，a)，2)）上递减．∴f（x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,a)））＝lneq\f(1，a)－a·eq\f（1，a）＝－1，∴lneq\f（1，a)＝0，得a＝1。16．已知直线y＝k（x＋2）(k〉0）与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为抛物线C的焦点．若｜FA|＝2|FB｜，则k等于________．答案eq\f(2\r(2),3）解析设A（x1，y1），B（x2,y2）由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx＋2，,y2＝8x，））得k2x2＋（4k2－8)x＋4k2＝0.∴x1＋x2＝eq\f(42－k2，k2），x1x2＝4.由抛物线定义得｜AF｜＝x1＋2，｜BF|＝x2＋2,又∵|AF｜＝2|BF｜，∴x1＋2＝2x2＋4，∴x1＝2x2＋2,代入x1x2＝4，得xeq\o\al(2，2）＋x2－2＝0,∴x2＝1或－2(舍去)，∴x1＝4,∴eq\f(42－k2,k2)＝5，∴k2＝eq\f(8,9)，经检验Δ〉0，又∵k〉0，∴k＝eq\f(2\r(2）,3）.三、解答题(本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分)已知集合A＝｛x｜x2－3x＋2≤0}，集合B＝｛y｜y＝x2－2x＋a｝，集合C＝{x|x2－ax－4≤0}，命题p：A∩B＝∅，命题q:A⊆C.(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围;（2）若命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解∵y＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1≥a－1，∴B＝｛y｜y≥a－1}，A＝{x|x2－3x＋2≤0｝＝{x|1≤x≤2}，C＝｛x｜x2－ax－4≤0｝．（1）由命题p是假命题，可得A∩B≠∅，即得a－1≤2，∴a≤3.（2)∵“p∧q为假命题"，则其反面为“p∧q为真命题”,∴p，q都为真命题,即A∩B＝∅且A⊆C，∴有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a－1>2，,1－a－4≤0，，4－2a－4≤0，))解得a〉3.∴实数a的取值范围为a≤3.18．（本小题满分12分)已知命题p：∃x0∈［－1，1］,满足xeq\o\al(2，0)＋x0－a＋1＞0，命题q：∀t∈（0,1),方程x2＋eq\f(y2,t2－2a＋2t＋a2＋2a＋1)＝1都表示焦点在y轴上的椭圆，若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．解因为∃x0∈[－1，1］，满足xeq\o\al（2，0)＋x0－a＋1＞0,所以只需(xeq\o\al(2，0）＋x0－a＋1)max＞0，即3－a＞0，所以命题p真时，a＜3。因为∀t∈(0，1)，方程x2＋eq\f（y2,t2－2a＋2t＋a2＋2a＋1）＝1都表示焦点在y轴上的椭圆，所以t2－（2a＋2）t＋a2＋2a＋1＞1，t2－(2a＋2)t＋a2＋2a＞0,即（t－a)[t－（a＋2）］＞0,对t∈(0，1)恒成立,只需a＋2≤0或a≥1,得a≤－2或a≥1,所以命题q为真时,a≤－2或a≥1。因为p∨q为真命题，p∧q为假命题,所以p，q两个命题一真一假．若p真q假，则eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＜3，，－2＜a＜1，))所以－2＜a＜1。若p假q真，则eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a≥3，，a≤－2或a≥1,））所以a≥3。综上所述:a的取值范围是（－2，1）∪[3，＋∞)．19．(本小题满分12分）设函数f(x)＝x3－kx2＋x(k∈R)．（1)当k＝1时,求函数f（x）的单调区间；(2）当k〈0时,求函数f（x）在[k，－k］上的最小值m和最大值M.解f′(x)＝3x2－2kx＋1。(1)当k＝1时，f′（x)＝3x2－2x＋1＝3eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(x－\f（1,3)）)2＋eq\f（2,3)〉0，∴f(x）在R上单调递增．（2）当k〈0时，f′（x)＝3x2－2kx＋1,其开口向上，对称轴x＝eq\f(k,3），且过点(0，1）．①当Δ＝4k2－12＝4（k＋eq\r(3))(k－eq\r(3））≤0,即－eq\r（3）≤k<0时，f′（x）≥0，f（x)在[k,－k]上单调递增．∴m＝f(x）min＝f（k)＝k，M＝f（x）max＝f（－k)＝－2k3－k。②当Δ＝4k2－12>0,即k〈－eq\r(3）时,令f′(x）＝0得x1＝eq\f（k＋\r(k2－3），3）,x2＝eq\f（k－\r（k2－3)，3），且k〈x2〈x1〈0.∴m＝min{f(k），f（x1）}，M＝max{f(－k)，f(x2）｝．又f（x1)－f（k)＝xeq\o\al(3，1)－kxeq\o\al（2，1）＋x1－k＝（x1－k)(xeq\o\al（2,1)＋1）〉0，∴m＝f(k)＝k，又f（x2)－f(－k）＝xeq\o\al（3，2）－kxeq\o\al(2,2)＋x2－（－k3－k·k2－k）＝（x2＋k）［(x2－k）2＋k2＋1］〈0，∴M＝f(－k）＝－2k3－k.综上，当k<0时，f（x)的最小值m＝k,最大值M＝－2k3－k。20．（本小题满分12分)设椭圆C1与抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心及C2的顶点均为原点，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表:x3－24eq\r(2）y－2eq\r（3）0－4eq\f(\r(2)，2）（1）求曲线C1，C2的标准方程;(2)设直线l过抛物线C2的焦点F，l与椭圆交于不同的两点M，N，当eq\o(OM，\s\up16(→）)·eq\o(ON，\s\up16（→））＝0时，求直线l的方程．解(1）由题意，可知点(－2,0）是椭圆的左顶点，再根据椭圆上点的横、纵坐标的取值范围，知点eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(2），2)）)在椭圆上．设椭圆C1的标准方程为eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2，b2)＝1(a〉b>0），由此可得a＝2，eq\f(2，4）＋eq\f（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2），2)）)2,b2)＝1，∴b2＝1,∴椭圆C1的标准方程为eq\f(x2，4）＋y2＝1.由点(3，－2eq\r(3）），（4，－4)在抛物线C2上，知抛物线开口向右．设其方程为y2＝2px(p〉0）,∴12＝6p,∴p＝2，∴抛物线C2的标准方程为y2＝4x.(2）由（1），知F（1,0）．当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝1。由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，,\f(x2,4)＋y2＝1，)）得l与椭圆C1的两个交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(\r(3），2))），eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1，－\f（\r(3),2）)），∴eq\o（OM,\s\up16（→))·eq\o（ON,\s\up16（→)）＝eq\f（1,4）≠0,∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0)，M（x1，y1），N（x2，y2)．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝kx－1，,\f（x2，4)＋y2＝1，））消去y，得（1＋4k2）x2－8k2x＋4k2－4＝0,Δ＝64k4－4(1＋4k2)(4k2－4）＝48k2＋16>0，x1＋x2＝eq\f（8k2,1＋4k2），x1x2＝eq\f(4k2－4，1＋4k2).∵eq\o(OM,\s\up16(→))·eq\o(ON，\s\up16(→）)＝0,∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋k（x1－1）·k（x2－1)＝(1＋k2）·x1x2－k2(x1＋x2）＋k2＝(1＋k2)·eq\f(4k2－4,1＋4k2）－k2·eq\f（8k2，1＋4k2)＋k2＝0，解得k＝±2，∴直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0。21．（本小题满分12分)设函数f(x）＝eq\f(a，3)x3＋bx2＋cx＋d（a>0），且方程f′(x)－9x＝0的两个根分别为1,4.若f（x）在（－∞，＋∞)内无极值点,求a的取值范围．解由f(x）＝eq\f（a，3）x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x）＝ax2＋2bx＋c。因为f′(x)－9x＝0，即ax2＋2bx＋c－9x＝0的两个根分别为1，4，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＋2b＋c－9＝0，，16a＋8b＋c－36＝0.）)（＊）由于a>0，所以“f（x）＝eq\f（a,3）x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）内恒成立”．由（＊）式得2b＝9－5a，c＝4a.又Δ＝(2b）2－4ac＝9(a－1）(a－9）．由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a〉0,,Δ＝9a－1a－9≤0，)）得1≤a≤9，即a的取值范围是[1,9]．22．(本小题满分1