2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题

yy=sin2x的图像于点B，则线段AB的长度为（）2019-2020学年辽宁省沈阳二中高一下学期期末考试数学试题说明：1．测试时间：120分钟，总分：150分2．客观题涂在答题卡上，主观题答在答题纸上．第I卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数z=警卩+（a2+a-2）i（aGR）为纯虚数’则a的值为（）1．A.a丰A.a丰1C・a=0或a=-2D.a=—222.兀兀如果a的终边过点（2sm,—2cos），则sina的值等于（）663.c・-f若向量a=（1,1）,b=（2,5），c=（3,x），满足条件Ca-b）・c=24,D.则x等于（）4.5・A.6B.2C.4D.3关于直线m、①m//a,A・①②n与平面a、卩，有下列四个命题，其中真命题的序号是n//B且a//B，则m//n；n//B且a//B，则m丄n；B・③④在ABC中，（BC+BA）-AC=1AC12,则②m丄a，n丄B且a丄B，则m丄n；④m//a,n丄B且a丄B，则m//n.C・①④D・②③ABC的形状一定是（BB•等腰三角形A•等边三角形c・等腰直角三角形△D・直角三角形6・设函数y=6cosx与y=5tanx的图像在y轴右侧的第一个交点为A，过点A作y6・7.已知ABC的三个内角为A，B，C7.已知ABC的三个内角为A，B，C，m-n=1+cos(A+B)，则C=()△兀A6c.叭5D.2^5向量m=(、；3sinA,sinB)2兀CTn=(cosB^'3cosA).若D．5兀~68．《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长a=5丈，上底边长b=4丈.高h=5丈.问它的体积是多少立方丈？（）A．75305BA．75305B丁320C丁400D.丁9．已知复数z=1-i（i为虚数单位）是关于x的方程x2+Px+q=0（p，q为实数）的一个根，则p+9．的值为（）10．A．4B．10．A．4B．2C．0D．-2已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.ABC的外接圆的面积为％，且cos2Ac．-cos2B+cos2C=1+*3sinAsinC，贝yABC的最大边长为（B．3△△A.2B.3B．3△11．在四面体P-ABC中，三角形ABC为等边三角形，边长为3，PA=3，PB=4，PC=511．P-ABC外接球表面积为（）A.12nBA.12nB.25n80kC3324kDr12．12．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为75。的扇形.点A，B，C分别是半径OP，OQ及扇形弧上的三个动点（不同于O,P，Q三点），贝卩ABC周长的最小值是（）

A．B．C．A．B．C．2*6+1

~4-D．第II卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若zeC，且z—2—2z]=1，则|z+2—2i|的最小值为ABDADCABDADC2△△AC=.△16.已知：平面al,Ael,Bel,AB=4,Ce卩,CA丄l,AC=3,Dea,DB丄l,DB=3.直线AC与BD的夹角是60。，则线段CD的长为・三、解答题：（本大题共6小题,满分70分,写出必要文字说明和演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数f（x）=3n（Wx+p）（®>0,1pl<牛）的图像关于直线x=冷对称，且图像上相邻两个最高点的距离为兀.a(2)若f(y)=（1）求wa(2)若f(y)=2兀、./兀、<a<，求sm（a+y）的值.18.（本小题满分12分）如图.甲船以每小时30迈海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于Ai处时，乙船位于甲船的北偏西105。方向的B处，此时两船相距20海里•当甲船航行20min到达A处时,12乙船航行到甲船的北偏西120。方向的B处，此时两船相距10、厅海里，问乙船每小时航行多少海里？219．（本小题满分12分）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=（2,1）.（1）若|c|=2J5，且c//a，求c的坐标;(2)若1b，且(a+2b）丄（a-b），求a与b的夹角0.20.（本小题满分12分）—►—►―►—►1如图，四棱锥P-ABCD中，AP丄平面PCD,AD//BC,AB=BC=-AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.（1）求证：AP//平面BEF；（2）求证：BE丄平面PAC.（本小题满分12分）73在ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=acosC+丁csinA.（I）求A的值：△（II）若a=3，点D在边BC上.且BD=2DC，求AD的最大值.（本小题满分12分）如图所示的圆锥，顶点为O,底面半径是5cm，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为2.5cm，这个平面与母线OA交于点B线段AB的长为10cm.（提示：本题的数据有长度单位）（1）求圆台的体积和圆台的侧面积；（2）把一根绳从线段AB的中点M开始到点A，沿着侧面卷绕.使它成为最短时候，求这根绳的长度;（3）在（2）的条件下，这根绳上的点和圆台上底面上的点的距离中，最短的距离是多少？2019—2020学年度下学期期末考试高一试题数学参考答案及评分标准一、选择题：BCBDDCCBCCDB二、填空题：13.314.J315.£16.5或€43三、解答题：17•解析：（1）因为f（x）的图像上相邻两个最高点的距离为兀，所以f（x）的最小正周期T=兀，2兀从而①——z-又f（x）的图像关于直线x二才对称,所以2X殳+*=k兀+叟,keZ.32TOC\o"1-5"\h\z兀兀因为—2込，所以k=0-(2)由(1)得f()=\：'3sin(2--)='2264所以sinQ-壬)=464小兀兀得0<a——<一62（兀）L(1)=1—sin2a—一=41一一I6丿L6丿L4丿2所以cos<15(兀兀、sin=sin(a——+—13丿62丿二cosa——I6丿■4518-【解析】解法一：如图，连接A1B2,由已知，AB由已知，AB=10^2,22AA=30.-2x=10J2,1260.•・AA=AB,ZAAB=180。—120。=60。1222122乂ZAAB=180。—120。=60°.122・•・AAB是等边三角形，AB=AA=10\；2.1221212由已知，AB=20．11ZBAB=105。—60。=45。112在ABB中，由余弦定理，得：12144BB3=AB3+AB2一2AB・AB・cos45°,1212111112=20=202+(10临2-2x20x叭2吟=200•・•・BB二10.212因此乙船的速度的大小为上2因此乙船的速度的大小为上2話x60=30\/2(海里/h).答：乙船每小时航行30迈海里.解法二：如图，连结A2解法二：如图，连结A2B由已知AB=20.1220AA=307‘2x=10.2,ZBAA=105。,1260112cos105。=cos+60。)=cos45。cos60。—sin45。sin60。sin105。=sin+60°)=sin45°cos60°+sin105。=sin+60°巨(1+朽)4在A2A1B1中，由余弦定理，得AB2=AB2+AA2-2AB・AA・cos105°\；'2(1-\；'2(1-\；3)=(10*2)2+202-2x10*2x20x・・・AB=10(1+、③.21由正弦定理’得sinZAiFl由正弦定理’得sinZAiFl=AB1122120申（1+73）_迈io（i*：3）4T・・・ZAAB=45。，即ZBAB=60。—45。=15。.121122cos15。cos15。=sin105。=v2(1+.3)4在BAB中，由已知，AB=10^2,12222由余弦定理，得△BB2=AB2+AB2一2AB-AB•cos15。1221222122=102(1+间2+(10运)2一2X10(1+茸3)X10迈x®2(1+同=200.4.・・BB=1^/2,.・・BB=1^/2,12乙船速度的大小为10迈20x60=30€2海里/h.答：乙船每小时航行30迈海里.19•解：（1）由于a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=（2,1）,若Ic1=2p'5，且c//a，可设c=X•a=（2九,九）.TOC\o"1-5"\h\z则由VcI=九2~+（2X）2=2，可得X=±2，〜c=（4,2），或c=（—4,一2）.〜(2)・.・Ib1=空，且a+2b与a一b垂直，2—>■—►C+2b)•C一b)=a2+a•b一2b2=0,化简可得a•b=—5，即xZxcos8=—5,22—►—►—►・・・cos8=—1，故a与b的夹角e=兀.—►―►20.证明：（1）设ACCBE=O，连结OF，EC，

由已知可得：AE//BC,AE=AB=BC,四边形ABCE是菱形，O为AC中点，因为F为PC中点，所以OF//AP,AP//平面BEF，OF平面BEF所以AP〃平面BEF.(2)由题意知，ED//BC,ED=BC,所以四边形BCDE为平行四边形.因此BE//CD．又AP丄平面PCD.所以AP丄CD，因此AP丄BE.因为四边形ABCE为菱形.所以BE丄AC．又APnAC=A，AP，ACu平面PAC，所以BE丄平面PAC.21.(1)由已知及正弦定理得sinB=sinAcosC+sinCsinA3又sinB二sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，且sinC丰0,・•・tanA*3，0<A<"，即A-勺(2)解法一：设ABC外接圆的圆心为O，半径为R,则由正弦定理得R===，2sinA2xsin13如图所示，取BC的中点M，在RtBOM中，BMBC_3

亍_2OM_<OB2-BM2_飞：（间2-（|）2在RtDOM中，OM_在RtDOM中，OM_BD-BM_2'ODOM2+DM2-（2）2_1AD<AO+OD_R+OD_朽+1,当且仅当圆心O在AD上时取等号，所以AD的最大值是ll+1・解法二：在ABC中，由正弦定理得sinAsinB_\lsinBcosA,△_因为sinB主0，所以tanA_J3,,兀又因为0vA＜兀，所以A_—；由正弦定理得：b_2jlsinB，c_2jlsinC,厂BA2+BD2—AD2c2+4—AD2在ABD中，cosB__2BAxBD4c在aABC中,cosB_BA2+BC2—AC2

2BAxBCc2+9—b26c所以c2+4—4D2

4cc2+9—b26c21整理得AD2二—b2+—c2—2,所以AD2二3(23sinB)2+3(^：'3sinC)2—2二8sin2B+4sin2C—2=4—4cos2B—2cos2C1=4—4cos2B+2cos(—兀—2B)=4+、；3sin2B一3cos2二4+2朽sin(2B—|),当sin(2B—才)二1,