北京市朝阳区陈经伦中学2022-2023学年数学高三第一学期期末综合测试模拟试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项：2B2B12560ABCD是球OABACDBDCBC2DBC平面ABC，则球O的表面积为（）20A．3

15B．2

C．6 D．2AB|yAA．{2} B．{1,0}

B（ ）D．{1,0,1}3．i2020（ ）1iA． 2

1B．2 C．1 D．4201812个月的收入与支出数据的折线图如图所示：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）2018127月份的收益最高2018124月份的收益最低20181-620187-12月份的总收益20187-1220181-690万元5Axx2x2Bx1A

B=()A．xC．xx21 2

B．1x2x3x3＋x23在区间(a，a＋5)a的取值范围是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)在ABCabc，若2bcosAacosBc2b33cosA1，则a（）A．5B．3C．10D．4lA、B是直线l上的两点，C、D内的两点，且DAl，CBl，AD3，AB6，CB6．P是平面PD，PC与平面PBCD的余弦值的最小值是（） 5

3 C．12 2

D．1已知等差数列

an 5

7,a a10

0，则aa3 4

（ ）A．20 B．18 C．16 D．14z1

cos23isin23z2

cos37isin37zz为1 21 3i

1i

1 3i

1i2 2 2 2 2 2 2 2设全集U=R，集合M x|

xNx|2x}，则M

N（ ）UA．0,1直线

B．0,1经过椭圆

C．0,1

D．,1的左焦点，交椭圆于 两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1 a 1 x2 ,x0已知函数f(x)6 x 2 若关于x的方程f(x)f(x)0在定义域上有四个不同的解则实数alnxx,x0的取值范围是 .已知OABCDB,CDO533个点不共线的概率为 .的角B,C所对的边分别为a,b,c且c2a2b2abAsinB2 6sinAsinB若c3则ab的值为 .在四面体ABCD中，ABD与BDC都是边长为2的等边三角形，且平面ABD平面BDC ，则该四面体外球的体积为 ．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）如图，在正三棱柱ABCAB

AB

2EFABB

的中点．1 1 1 1 1 1BE//ACF；1求平面

与平面ACF所成二面角(锐角)的余弦值．118（12分）如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD 为等边三角形，且垂直于底面ABCD，ABBCABC90，ADC45 MN的中点.证明：平面CMN//PAB；EPC上且CE2CPNEPAB所成角的余弦值.319（12分）如图为某大江的一段支流，岸线l与l1 2

近似满足ll1

，宽度为7km．圆O为江中的一个半径为2km的A位于岸线l1

上，且满足岸线l1

OAOAA经小岛O至对岸l2

的水上通道ABC（图中粗线部分折线段，B在A右侧，为保护小岛，BC段设计成与圆O相切．设ABC0．2 2 ABCL表示成的函数，并指出定义域；100万元，则建造此通道最少需要多少万元？20（12分）如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 所在的平面互相垂直，BADADC90，ABAD1CD，2BEDF.若M为EA的中点，求证：AC//平面MDF ；AB2EABCD.21（12分）已知直线l的极坐标方程为sin6，圆C的参数方程为x1co

（为参数．3 y3 lC的方程化为直角坐标方程；l被圆截得的弦长．22（10分）已知抛物线W:y22px(p0)上一点Ct,2)到焦点F的距离为，求t的值与抛物线W的方程；A在点C右侧，抛物线上第四象限内的动点B，满足OABFAB的斜率范围.参考答案125601、A【解析】由题意画出图形，求出多面体外接球的半径，代入表面积公式得答案．【详解】如图，BCAG，DGAGBCDGBC，分别取ABC与DBCE，F，分别过E，FABC与平面DBCO为四面体ABCD的球心，ABACDBDCBC2OEGF的边长为

，则OG 6，3 3OG2BG2AOG2BG2

，( 6)212353( 6)212353

)2

20π．53 35A．【点睛】2、B【解析】求出集合B，利用集合的基本运算即可得到结论.【详解】由1x0x1B|xABB.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，利用函数的性质求出集合B3、A【解析】i2020利用复数的乘方和除法法则将复数 化为一般形式，结合复数的模长公式可求得结.1i【详解】

505

i2020 1

1i

11ii2020i4

1，1i 1i ii 2 2，i20201i1i20201i12122 2 22A.【点睛】4、D【解析】用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元，如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以7选项说法正确；4选项说法正确；16月总收益140万元，712月总收益240万元，所以前6个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后6个月收益比前6个月收益增长240140100元，所以D选项说法错误.故选D.【点睛】5、C【解析】先化简集合A,B，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】Ax2x11xBx所以ABxx2，故选C．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合6、C【解析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a满足的不等式组，从而得解.【详解】由题意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．1 2 23x3＋x23＝－3x＝0x＝－3，3a0则结合图象可知， 解得a∈[－3，0)，a50故选C.【点睛】7、B【解析】由正弦定理及条件可得2sinBcosAsinAcosBcsinC，2sinAB2sinCcsinC.sinC0，∴c2，由余弦定理得a2a38、B

1b2c22bccosA223222339。【解析】PBA为所求的二面角的平面角由DAP CPB得最大值对应的余弦值

PAP在PBA的PB【详解】DAl，，l，ADADBCDPAPD与平面CPBPC与平面所成的角DPA，又 DAP CPB，PA

DA1PB BC 2在平面内，以AB为x轴，以AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系则A0B0，设Pyy0x3x32y2x32y2

，整理可得：x52y

16P在内的轨迹为M0为圆心，以4PBCBCPBBCABBCPBAPBCD的平面角，3PBPBAcosPBAPM43cosPBA

PB 4 33MB 8 24 33故选B【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．9、A【解析】设等差数列an

的公差为d,再利用基本量法与题中给的条件列式求解首项与公差,进而求得a3

a即可.4【详解】设等差数列

d

7,

a4d7,得

a,解得

15,.所以5 1 1n a a 0 a9da6d0 d2aa3

2a1

10 7 1 12155(2)20.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解,属于基础题.10、C【解析】利用复数的三角形式的乘法运算法则即可得出．【详解】3zz＝（cos23°+isin23°）（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝1 i．312 2 2故答案为C．【点睛】.11、A【解析】求出集合M和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．【详解】M{x|x2}x|0xNx|2x}x|}，Nx|x0，U则M Nx|0x[]，U故选：A．【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．12、A【解析】由直线再由 ，求得

过椭圆的左焦点，得到左焦点为，代入椭圆的方程，求得

，且 ，，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线 经过椭圆的左焦点，令，解得 ，所以 ，即椭圆的左焦点为 ，且直线交轴于 ，所以，，①因为 ，所以 ，所以 ，又由点在椭圆上，得 ②由 ，可得 ，解得 ，所以 ，所以椭圆的离心率为 .故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性——离心率的求解，其中求椭圆的离心或范)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式 ；②只需要根据一个条件得到关于 的齐次式，转化为 的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．3452013、1,03 【解析】a 由题意可f(x)f(x)0在定义域上有四个不同的解等价于y1x2 a 6 x 2y1x2a1fxlnxxx0的图象有两个交点，运用参变分离和构造函数，进而借助导数分析6 x 2单调性与极值，画出函数图象，即可得到所求范围.【详解】已知定义在

,00,

1 x2上的函数f(x) 6

a1,x0x 2lnxx,x0f(xf(x0在定义域上有四个不同的解y

1x2 关于原点对称的函数y x2 与函数f(x)=lnx-x(x>0)的图象有两个交点，a 1 1 a 6 x 2 6 a 1 1 a 1 a 1 1 1联立可得lnxx x2 0有两个解，即axlnxx2 x3 x6 x 2 6 2可设gxxlnxx21x31x，则gxlnx2x1x23，6 2 2 2gxx120gx在单调递增.xg10可得0x1g(x0,g(x)单调递减；x1g(x)0,g(x)单调递增，gxx1处取得极小值且为3ygx1a0lnxx1x2a13 6 x 2

0有两个解.1,0 3 3【点睛】本题考查利用利用导数解决方程的根的问题，还考查了等价转化思想与函数对称性的应用，属于难题.414、5【解析】基本事件总数nC35

10，这3个点共线的情况有两种AOC 和BOD，由此能求出这3个点不共线的概率．【详解】解：O为矩形ABCD 的对角线的交点，ABCDO53个点，基本事件总数nC35

10，这3个点共线的情况有两种AOC和BOD ，3p14故答案为：．5【点睛】

24．10 5本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．215、32【解析】先利用余弦定理求出C，再用正弦定理求出2R并把sinAsinB2 6sinAsinB转化为与边有关的等式，结合c2a2b2ab可求ab的值.【详解】因为c2

a2b2ab，故cosC

a2b2c2

1，因为C0,，所以C.2ab 2 3332R 3 233由正弦定理可得三角形外接圆的半径R满足 ，22所以2 3sinA2 3sinB 2 3sinA2 3sinB即ab 2ab.23 223 22因为9a2b2abab2abab2 ab3 223 222ab32

ab

（舍）.2故答案为：3 .2【点睛】于中档题.2015201527【解析】先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.【详解】取BDC的外心为O1

，设O为球心，连接OO1

，则OO1

BDC，取BDMAM，OM，过O1做OGAM于点GOOMGOA，OCOARMGh.MCO，13MCMAMC3

，所以OGMO1

，CO33 13

1 12 3.RtAGORtOOC中，2 33 1332 3 2 2 5332 3GA2GO2OA2C2OO2

OC2

3h2 R2

h2

R2，所以h

，1 1

3 3 3 3R

.所以V153 球15

= R3= .201543 2720154【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。28617（）证明见详解（）19 .【解析】1ACMFM//BE，进而证明线面平行；1BC中点为O，以O.【详解】证明：取AC的中点M，连结EM ，FM，如下图所示：中，因为EAB的中点，EM//BCEM1BC，2FBCB

//BC，1 1 1 1BF//BCBF1BC，1 1 2EM//BF，且EMBF，1四边形EMFB1

1BE//FM1MFACFBEACF，BE//平面ACF，即证.1BC中点OAOOFAOBCOFABC，以O为原点，分别以OBAOOFxyz轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：A0,

B

C

1 3 E , ,0

F

B1,0,2

， ， ，2 2 123, 3,0

(1,0,2)

3,0CB(2,0,2)CE 2 2 ，CF

，CA ， 1 设平面CEB1

的一个法向量mx,y,z，mCE0

3xy0则 ，则 ，mCB01

xz0令x1．则m(1, 3,1)，ACF

1,

3 1,同理得平面则cosmn

的一个法向量为n mn 286，nm 19

3 2，故平面CEB1

ACF所成二面角（锐角）的余弦值为

286.19【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题.118（）（）.2【解析】ABCM是平行四边形，可得CM//ABCM//PAB可证得面面平行；由（1）MC,MD,MPPABNEPAB所成角的余弦值.【详解】（1）BADABC90，AD//BC,又ADC45ABBC1，AD2,MNADPD的中点，MN//PAMN//PAB,又AM//BC且AMBC，故四边形ABCM是平行四边形,CM//ABCM//面PAB,又MN，CM是面CMN内的两条相交直线, 故面CMN//面PAB.（2）由（1）可知，MC,MD,MP两两垂直，故建系如图所示,则A(0,1,0),B(1,

1 3)，1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0, 3),N(0, ,2 22 1 2 3

1 1 3AB(0),PA( 3)，CE

3CE3,0,

3 ，NE( , ，),n=x,yz

是平面

PAB

的法向量

y 3zy 3z0

3 2 63 3令z1，则n(0, 3,1)cos NE,n

2 62 11+

3,29 4 12 32直线NE与平面PAB所成角的余弦值为1 2

1.2【点睛】本题考查空间的面面平行的判定，以及线面角的空间向量的求解方法，属于中档题.19（1）

93cos

，定义域是

, （） 百万sin

02 6 2 【解析】（1）A为原点，直线l1

为x轴建立如图所示的直角坐标系，设ABa(a0)，利用直线与圆相切得到23cosa sin

，再代入LABBC这一关系中，即可得答案；（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案；【详解】A为原点，直线l1

为x轴建立如图所示的直角坐标系．设ABa(a0)，则B(a,0)，O(0,3)，l :y7．2因为ABC0，2 2 BCytan(xaxtanyatan0，|3atan因为圆OBC相切，所以1tan2

2，3cosasin即

2 ，从而得a

23cos，cos cos sin7 7cosBCy7xC

a

tana sin ，所以BC 1tan2x xB C

1 7cos 7 ，cos sin sin7 93cosLABBCasin

sina0cos

2，设锐角3

满足cos 0 0

2，则3

，220 L关于93cos，定义域是20 sin （2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即L最小．)

3sin2(93cos)cos39cossin2 sin2 0 20，得cos1，设锐角2

，满足cos

1

2，得

, ．3 1 1 3 3

1 0 2列表：,0 11,12)0L()减极小值增所以1

时，[L()]min

93cos1sin11

931232 26232 23

，所以建造此通道的最少费用至少为6

百万元．2【点睛】2本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.220、(1)见解析(2)V 42EABCD【解析】ECDFNMNMN∥ACACCDGBG，EGABGDBG⊥平面CDEB⊥DD⊥BE得出D⊥平面BEGD⊥ER△DE～R△EF，DE，代入体积公式即可计算出体积．【详解】ECDFNMN在矩形CDEFNEC中点，MEAMN//AC，又∵AC平面MDF，MN平面MDF，∴AC//平面MDF.取CD中点为GBGEG，平面CDEF平面ABCD，平面CDEFABCDCD，ADABCDADCD，∴AD平面CDEF，同理ED平面ABCD，∴ED的长即为四棱锥EABCD的高，1在梯形ABCD中AB2CDDG，AB//DG，∴四边形ABGD是平行四边形，BG//AD，BG平面CDEF，DF平面CDEFBGDFBEDFBEBGB，DFBEGDFEG.RtEFD，∴DE2DGEF8，DE2 2，1∴VE

3

ABCD

ED4 2.【点睛】求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——.或几何体的面积或体积通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，)的高，而通过直接计算得到高的数值．21（）3xy120．x2＝（）16【解析】