2020高中数学 第四章 圆与方程单元质量测评（含解析）2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE14-学必求其心得，业必贵于专精第四章单元质量测评对应学生用书P99本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是()A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1，2)）)B．（－∞，1）C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，＋∞）)D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1（－∞，\f（1,2)))答案A解析由(－1）2＋12－4m＞0，解得m＜eq\f（1,2）．2．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－3＝0,动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为()A．2eq\r（5)B．4eq\r（5）C．8eq\r（5）D．20答案B解析圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝3，即(x＋2）2＋(y－2）2＝11,圆心为（－2，2)，C2：x2＋y2－4x－12＝0，即（x－2）2＋y2＝16，圆心为（2，0），半径为4,∴|C1C2｜＝eq\r（16＋4）＝2eq\r（5)，△PC1C2面积最大时，有PC2⊥C1C2，∴△PC1C2的面积的最大值为eq\f（1，2)×2eq\r(5)×4＝4eq\r(5)，故选B．3．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案D解析圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a，－\f(3,2）b）），则a＜0，b＞0．直线x＋ay＋b＝0等价于y＝－eq\f(1,a）x－eq\f（b，a）,因为k＝－eq\f(1，a)＞0，－eq\f(b,a）＞0,所以直线不经过第四象限．4．已知A（1，2，3)，B（3，3，m)，C（0，－1,0)，D（2，－1，－1),则（)A．|AB｜>｜CD|B．|AB|〈|CD|C．|AB|≤｜CD|D．|AB|≥|CD|答案D解析｜AB｜＝eq\r(22＋12＋m－32)＝eq\r(5＋m－32），｜CD|＝eq\r（22＋02＋－12）＝eq\r（5)．因为(m－3）2≥0，所以|AB｜≥|CD｜．5．从M(0,2,1）出发的光线，经平面xOy反射后到达点N（2，0，2)，则光线所行走的路程为（）A．3B．4C．eq\r(17)D．3eq\r(2）答案C解析点M（0,2，1)关于平面xOy对称的点为M′（0，2，－1），光线所行走的路程为｜M′N｜＝eq\r（2－02＋0－22＋2＋12）＝eq\r(17）．6．直线x＋eq\r（3)y＝0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆（x－2）2＋y2＝3的位置关系是（）A．直线与圆相切B．直线与圆相交但不过圆心C．直线与圆相离D．直线过圆心答案A解析直线x＋eq\r(3)y＝0的斜率为－eq\f(\r（3),3)，倾斜角为150°，绕原点按顺时针方向旋转30°,所得直线的倾斜角为120°，斜率为－eq\r（3），所以直线方程为eq\r(3）x＋y＝0．圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2，0）到直线eq\r（3）x＋y＝0的距离d＝eq\f(2\r（3),\r(3＋1）)＝eq\r(3)＝r，所以直线与圆相切．7．已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值为（)A．8B．－4C．6D．无法确定答案C解析∵圆上存在关于直线x－y＋3＝0对称的两点，∴x－y＋3＝0过圆心eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f(m，2），0)）,即－eq\f(m，2）＋3＝0，解得m＝6．8．已知圆C1：（x＋1）2＋(y－1）2＝1,圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(）A．(x＋2）2＋（y－2）2＝1B．(x－2)2＋（y＋2）2＝1C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝1D．(x－2）2＋(y－2）2＝1答案B解析设圆C2的圆心为（a，b），则依题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（a－1，2）－\f(b＋1,2)－1＝0,，\f(b－1，a＋1）＝－1，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2，，b＝－2，))对称圆的半径长不变，所以圆C2的半径长为1，故圆C2的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝1,选B．9．以(a，1）为圆心，且与两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0同时相切的圆的标准方程为（）A．(x－1）2＋(y－1）2＝5B．（x＋1)2＋（y＋1)2＝5C．(x－1)2＋y2＝5D．x2＋(y－1）2＝5答案A解析因为两条直线2x－y＋4＝0和2x－y－6＝0的距离为d＝eq\f（|－6－4｜,\r（5）)＝2eq\r(5)，所以所求圆的半径为r＝eq\r（5）,所以圆心（a,1）到直线2x－y＋4＝0的距离为eq\f(|2a－1＋4|,\r（5))＝eq\f(|2a＋3｜，\r（5））＝eq\r(5)，即a＝1或a＝－4,又因为圆心(a，1)到直线2x－y－6＝0的距离也为eq\r（5），所以a＝1．所以所求的圆的标准方程为(x－1)2＋（y－1）2＝5,故选A．10．过直线y＝2x上一点P作圆M：（x－3）2＋(y－2）2＝eq\f(4，5)的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线l1，l2关于直线y＝2x对称时，则∠APB等于（)A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析过圆M的圆心（3，2)向直线y＝2x作垂线,设垂足为N,易知当点P与点N重合时，l1与l2关于y＝2x对称，此时,|MP｜＝eq\f（｜2×3－2|,\r（5）)＝eq\f（4,\r(5)）,又圆M的半径长为eq\f（2,\r（5)），故sin∠MPA＝eq\f(1,2),则∠MPA＝30°，故∠APB＝60°．11．已知圆C：(x－3)2＋(y－4）2＝1和两点A(－m,0)，B(m,0)（m〉0）,若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为()A．7B．6C．5D．4答案B解析根据题意,画出示意图，如图所示，则圆心C的坐标为(3,4)，半径r＝1,且|AB｜＝2m．因为∠APB＝90°，连接OP,易知|OP｜＝eq\f(1,2）|AB｜＝m．要求m的最大值,即求圆C上的点P到原点O的最大距离．因为|OC｜＝eq\r(32＋42)＝5，所以｜OP｜max＝|OC｜＋r＝6，即m的最大值为6．12．设点M(x0，1），若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°,则x0的取值范围是（）A．[－1，1]B．eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1（－\f（1，2)，\f(1，2)))C．[－eq\r（2），eq\r（2)]D．eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f（\r（2),2），\f（\r(2），2）))答案A解析解法一：过M作圆O的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，若在圆O上存在点N，使∠OMN＝45°，则∠OMB≥∠OMN＝45°，所以∠AMB≥90°，所以－1≤x0≤1，故选A．解法二：过O作OP⊥MN于P，则|OP|＝|OM｜sin45°≤1，∴|OM|≤eq\r（2），即eq\r(x\o\al(2,0）＋1）≤eq\r（2)，∴xeq\o\al(2,0)≤1，即－1≤x0≤1,故选A．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若圆心在x轴上，半径为eq\r(2)的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________．答案（x＋2)2＋y2＝2解析设圆心坐标为(a,0）(a＜0），则圆心到直线的距离等于半径，即r＝eq\f（｜a＋0｜，\r（12＋12））＝eq\r（2)，解得a＝－2．故圆的标准方程为(x＋2）2＋y2＝2．14．动圆x2＋y2－（4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圆心的轨迹方程是________________．答案x－2y－1＝0（x≠1)解析圆心坐标为（2m＋1，m)，半径长r＝｜m|(m≠0)．令x＝2m＋1，y＝m(m≠0),可得x－2y－1＝0(x≠1)，即为圆心的轨迹方程．15．若直线x＋y＋m＝0上存在点P，过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为________．答案［－2eq\r（2)，2eq\r(2)]解析若∠APB＝60°，则｜OP|＝2,直线x＋y＋m＝0上存在点P,过点P可作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PA,PB,等价于直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝4有公共点,由点到直线的距离公式可得eq\f（｜m|，\r(2)）≤2，解得m∈［－2eq\r(2)，2eq\r(2）］．16．当且仅当a<r〈b时,圆x2＋y2＝r2（r>0)上有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离是2，则以(a，b）为圆心,且和直线4x－3y＋1＝0相切的圆的方程为______________．答案(x－1）2＋(y－5）2＝4解析因为圆心(0，0）到直线3x＋4y－15＝0的距离d＝eq\f（|－15|,\r（32＋42))＝3,结合图形可知，圆x2＋y2＝r2(r〉0）上有两点到直线3x＋4y－15＝0的距离为2，等价于｜r－3|<2，即1〈r<5，所以a＝1，b＝5．又点（1，5）到直线4x－3y＋1＝0的距离为eq\f（|4×1＋5×－3＋1|，\r(42＋－32）)＝2，所以所求圆的方程为（x－1）2＋(y－5）2＝4．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．(本小题满分10分）已知圆C：x2＋y2－2y－4＝0,直线l：mx－y＋1－m＝0．(1）判断直线l与圆C的位置关系；（2）若直线l与圆C交于不同的两点A,B，且｜AB｜＝3eq\r(2),求直线l的方程．解（1)将圆C的方程化为标准方程为x2＋（y－1）2＝5，所以圆C的圆心为C(0，1)，半径r＝eq\r(5），圆心C(0，1)到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离d＝eq\f(｜0－1＋1－m｜，\r（m2＋1)）＝eq\f(|m|,\r（m2＋1）)＜1＜eq\r（5），因此直线l与圆C相交．(2）设圆心C到直线l的距离为d,则d＝eq\r（\r（5）2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3\r(2），2)）)2）＝eq\f(\r(2),2）．又d＝eq\f(|m｜，\r(m2＋1）),则eq\f（|m｜,\r(m2＋1)）＝eq\f（\r(2),2)，解得m＝±1,所以所求直线方程为x－y＝0或x＋y－2＝0．18．(本小题满分12分)在空间直角坐标系Oxyz中．(1)在z轴上求一点P，使得它到点A（4,5，6)与到点B（－7，3，11）的距离相等；（2)已知点M到坐标原点的距离等于2eq\r（3)，且它的横、纵、竖坐标相等，求该点的坐标．解（1)设点P的坐标为(0，0，c），因为｜PA｜＝｜PB|，所以eq\r（16＋25＋c－62)＝eq\r(49＋9＋c－112)，所以c＝eq\f（51，5），所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,0，\f（51,5)）)．（2）设点M的坐标为（a，a，a)，所以eq\r（a2＋a2＋a2)＝2eq\r(3)，所以a2＝4，所以a＝±2．所以点M的坐标为M(2，2,2）或M(－2,－2，－2)．19．（本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0关于直线x＋y－1＝0对称，圆心在第二象限，半径为eq\r(2)．(1)求圆C的方程;(2)已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．解（1)由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(D,2)－\f(E,2）－1＝0，,\f（\r(D2＋E2－4×3）,2）＝\r(2),))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（D＝2，,E＝－4）)或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（D＝－4，，E＝2））(舍去）．∴圆C的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．(2)圆C：（x＋1)2＋（y－2)2＝2，∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，设切线l：x＋y＝m（m≠0）,∴圆心C（－1，2)到切线的距离等于半径eq\r(2），即eq\f(|－1＋2－m|,\r（2）)＝eq\r（2)，∴m＝－1或m＝3．∴所求切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．20．（本小题满分12分)已知点P1(－2，3），P2(0,1），圆C是以P1P2的中点为圆心，eq\f（1，2)|P1P2｜为半径的圆．（1)若圆C的一条切线在x轴和y轴上截距相等，求此切线方程；（2)若P（x,y)是圆C外一点，从P向圆C引切线PM，M为切点，O为坐标原点，｜PM|＝|PO｜，求使｜PM｜最小的点P的坐标．解（1）设圆心坐标为C（a，b），半径为r，依题意得a＝eq\f（－2＋0,2)＝－1，b＝eq\f(3＋1，2)＝2，r＝eq\f（1,2）×eq\r(4＋4）＝eq\r（2)．∴圆C的方程为(x＋1）2＋（y－2)2＝2．①若截距均为0,即圆C的切线过原点，则可设该切线为y＝kx，即kx－y＝0，则有eq\f(|－k－2|，\r(k2＋1)）＝eq\r（2），解得k＝2±eq\r(6)．此时切线方程为(2＋eq\r(6）)x－y＝0或(2－eq\r(6）)x－y＝0．②若截距不为0，可设切线为x＋y＝a即x＋y－a＝0,依题意得eq\f（｜－1＋2－a｜，\r（2))＝eq\r(2），解得a＝－1或a＝3．此时切线方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．综上，所求切线方程为（2±eq\r(6)）x－y＝0或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0．（2）∵|PM|＝|PO｜，∴｜PM｜2＝｜PO｜2，即（x＋1）2＋（y－2)2－2＝x2＋y2，整理得y＝eq\f(2x＋3,4),而|PM｜＝｜PO｜＝eq\r（x2＋y2）＝eq\f(1,4)eq\r（20x2＋12x＋9)，当x＝－eq\f(12,2×20)＝－eq\f（3，10）时，|PM|取得最小值．此时点P的坐标为eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（3，10），\f(3，5)))．21．(本小题满分12分）已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0．(1）求证：对任意的m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2）若圆C与直线l相交于A,B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．解(1）证明：因为直线l：mx－y＋1＝0恒过定点N(0，1），且点N（0，1)在圆C:x2＋（y－2)2＝5的内部，所以直线l与圆C总有两个不同的交点．（2）由题知C（0,2)，设动点M(x，y)，当x＝0时,M(0，1