2020高中数学 第三章 导数应用章末检测 2-2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE10-学必求其心得，业必贵于专精章末检测时间：90分钟满分:100分第Ⅰ卷(选择题,共40分）一、选择题（本大题共10小题,每小题4分,共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．函数f（x)＝x3－x2－x＋1在闭区间［－1,1］上的最大值是()A。eq\f（32,27) B.eq\f(26,27)C．0 D．－eq\f(32,27）解析：由f′(x）＝3x2－2x－1＝0，得x＝1或x＝－eq\f（1，3），f（－1）＝0，f（1）＝0，f（－eq\f(1,3））＝eq\f(32,27）.答案：A2．若f(x)＝eq\f(lnx,x)，0<a〈b<e，则有(）A．f(a)〉f（b） B．f（a)＝f（b）C．f(a）<f(b） D．f（a）·f(b）>1解析:f′（x)＝－eq\f（1,x2）lnx＋eq\f(1,x2）＝eq\f(1，x2）(1－lnx)，在(0,e）上，f′(x)〉0。所以f（x)在(0，e）上是增函数．答案：C3．已知函数f(x）＝xlnx，若f(x)在x0处的函数值与导数值之和等于1，则x0的值等于()A．1 B．－1C．±1 D．不存在解析:f′（x)＝lnx＋1，由题意知x0lnx0＋lnx0＋1＝1，∴x0＝1或x0＝－1(舍）．答案：A4．函数f（x）＝x－2sinx在[0,eq\f（π,2)］上的极小值是（)A。eq\f(π，3）－eq\r（3) B．0C。eq\f(π，2)－2 D．1解析：因为f（x)＝x－2sinx，所以f′（x)＝1－2cosx，令f′(x)＝0,可得cosx＝eq\f(1，2)，其在[0,eq\f(π，2）］上仅有一解x＝eq\f（π，3），当x＝eq\f(π,3)时,函数f（x）＝x－2sinx取得极小值f(eq\f（π,3)）＝eq\f(π,3)－2×eq\f(\r（3）,2)＝eq\f（π，3)－eq\r(3).答案:A5．设函数f（x)＝1－xsinx在x＝x0处取得极值，则（1＋xeq\o\al（2，0)）(1＋cos2x0)－1的值为(）A．－1 B．0C．1 D．2解析：f′（x0)＝－sinx0－x0cosx0＝0,所以x0cosx0＝－sinx0，所以（1＋xeq\o\al（2,0）)(1＋cos2x0)－1＝2cos2x0＋2xeq\o\al(2，0)cos2x0－1＝2cos2x0＋2（－sinx0）2－1＝1。答案：C6．函数f（x)＝x3－3ax＋b（a>0)的极大值为6，极小值为2，则a＋b＝（)A．5 B．3C．8 D．4解析:令f′（x)＝3x2－3a＝0，得x＝±eq\r（a).经分析知f(eq\r(a))＝2，f（－eq\r(a））＝6，解得a＝1,b＝4,a＋b＝5.答案：A7．若函数f(x）＝x2＋bx＋c的图像顶点在第四象限，则其导函数f′(x）的图像可能是(）解析:f（x）＝x2＋bx＋c＝(x＋eq\f（b,2）)2＋eq\f(4c－b2,4）。由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（－\f(b,2)〉0,\f(4c－b2，4）<0））⇒eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（b〈0，,c〈\f(b2,4).）)又f′(x)＝2x＋b。由b<0，知f′(x)的图像为选项A。答案：A8．设函数f（x)＝eq\f（1,3)x－lnx（x>0），则y＝f(x）(）A．在区间(eq\f（1,e)，1），(1，e）内均有零点B．在区间（eq\f(1,e)，1)，（1，e）内均无零点C．在区间(eq\f（1，e），1）内有零点,在区间(1，e）内无零点D．在区间（eq\f(1，e），1）内无零点，在区间（1，e）内有零点解析：由题意，得f′（x）＝eq\f（1,3）－eq\f（1，x)＝eq\f(x－3，3x）.令f′(x）〉0，得x〉3；令f′（x)〈0,得0<x〈3;令f′(x)＝0，得x＝3.故知函数f（x)在区间（0,3）上为减函数，在区间（3,＋∞）上为增函数,故f（x）在点x＝3处有极小值1－ln3，且1－ln3〈0.又f(1）＝eq\f（1，3），f(e）＝eq\f(e，3）－1〈0,f(eq\f(1,e))＝eq\f（1，3e)＋1〉0.故选择D项．答案:D9．内接于半径为R的球且体积最大的圆柱体的高为（)A.eq\f(2\r（3)，3）R B。eq\f（\r(3)，3）RC.eq\f（3\r(3）,2）R D.eq\f(\r(3),2）R解析:作轴截面如图,设圆柱高为2h，则底面半径为eq\r（R2－h2）,圆柱体体积为V＝π·(R2－h2)·2h＝2πR2h－2πh3。令V′＝0，得2πR2－6πh2＝0，∴h＝eq\f（\r(3)，3)R.即当2h＝eq\f(2\r(3），3)R时，圆柱体的体积最大．答案：A10．对于在R上可导的任意函数f(x)，若满足（x－a）f′(x）≥0，则必有(）A．f(x）≥f(a) B．f（x)≤f(a)C．f（x)〉f（a) D．f(x）<f(a)解析：由(x－a)f′（x）≥0知，当x〉a时，f′（x)≥0;当x<a时，f′（x）≤0，所以当x＝a时，函数f（x）取得最小值，则f(x)≥f(a)，故选A.答案:A第Ⅱ卷（非选择题,共60分)二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上)11．函数y＝2x3－6x2＋11的单调递减区间为________．解析：y′＝6x2－12x，令6x2－12x<0,得0〈x<2.答案：（0,2)12．已知函数y＝eq\f（1，3)x3＋x2＋ax－5，若函数的单调递减区间是(－3,1)，则实数a的值是________．解析:由于y′＝x2＋2x＋a,由函数的单调递减区间是（－3,1)知{x｜f′（x）<0}＝｛x|－3〈x〈1}，所以－3,1是方程x2＋2x＋a＝0的两个实数根，由根与系数的关系知,（－3)×1＝a，所以a＝－3.答案：－313．已知函数f(x）＝x3－ax2＋3ax＋1在区间（－∞，＋∞)内既有极大值，又有极小值，则实数a的取值范围是______．解析：由题意得y′＝3x2－2ax＋3a＝0有两个不同的实根，故Δ＝（－2a)2－4×3×3a>0，解得a〈0或a>9。答案：(－∞,0)∪（9，＋∞)14．点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则P到直线y＝x－2的距离的最小值是________．解析：设P(x0,y0）,由题意，过点P的曲线的切线与直线y＝x－2平行时,P到直线y＝x－2的距离最小．由y′＝2x－eq\f(1，x),得x＝x0时2x0－eq\f（1,x0）＝1，解得x0＝－eq\f(1,2）或x0＝1.又x〉0，∴x0＝1，则y0＝1。∴P（1，1）．∴P到直线y＝x－2的距离的最小值为eq\f(|1－1－2|，\r（2))＝eq\r(2）.答案：eq\r(2）三、解答题（本大题共4小题，共44分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（10分）设定义在(0，＋∞）上的函数f(x)＝ax＋eq\f（1,ax）＋b（a〉0)．（1)求f（x）的最小值；(2）若曲线y＝f（x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝eq\f（3，2）x，求a，b的值．解析：(1)f(x）＝ax＋eq\f(1,ax）＋b≥2eq\r(ax·\f（1,ax))＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1(x＝eq\f（1,a）)时，f（x）的最小值为b＋2.（2）由题意得：f(1)＝eq\f(3,2）⇔a＋eq\f（1，a）＋b＝eq\f（3，2)，①f′（x）＝a－eq\f（1,ax2）⇒f′(1)＝a－eq\f(1,a)＝eq\f（3,2)，②由①②得：a＝2，b＝－1。16．（10分）设函数f(x）＝x－eq\f(ln（1＋x),1＋x).（1)令N(x)＝(1＋x）2－1＋ln(1＋x),判断并证明N（x)在(－1，＋∞)上的单调性，求N（0)；（2）求f（x)的定义域上的最小值．解析:（1）当x>－1时，N′(x)＝2x＋2＋eq\f(1,1＋x）〉0,所以N（x)在(－1，＋∞）上是增加的，N（0）＝0。(2)f（x）的定义域是（－1，＋∞）,f′（x)＝1－eq\f（1－ln(1＋x)，(1＋x)2）＝eq\f(N（x）,(1＋x）2）,当－1<x〈0时，N(x)<0，∴f′(x）<0；当x>0时，N（x)〉0，∴f′(x）>0。∴在（－1，0)上，f（x）是减少的,在（0，＋∞）上，f（x）是增加的．∴f（x)min＝f(0）＝0。17．(12分)求证：x〉0时，1＋2x〈e2x。证明：设f(x)＝1＋2x－e2x，则f′（x）＝2－2e2x＝2(1－e2x）．当x〉0时，e2x>1，f′（x)＝2（1－e2x）<0，所以函数f(x)＝1＋2x－e2x在(0,＋∞）上是减函数．当x〉0时，f(x）〈f（0)＝0,即当x〉0时，1＋2x－e2x〈0，即1＋2x〈e2x。18．（12分)设a为实数，函数f(x）＝ex－2x＋2a，x∈R(1)求f(x)的单调区间与极值;（2)求证：当a〉ln2－1且x〉0时,ex〉x2－2ax＋1.解析：（1）由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R知f′（x)＝ex－2，x∈R.令f′(x)＝0,得x＝ln2.于是当x变化时，f′（x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞）f′（x）－0＋f（x）2（1－ln2＋a)故f(x)的单调递减区间是（－∞，ln2），单调递增区间是(ln2，＋∞），f（x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）＝eln2－2ln2＋2a＝2（1－ln