教学设计：利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性教学目标：1、理解导数与函数的单调性的关系,并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，掌握用导数研究函数单调性的方法。2、能由导数信息作出函数的大致图象，提高学生运用导数解决函数问题的能力。3、能解决含参数函数的单调性问题；能利用导数、函数的单调性转证三次不等式。4、培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合思想、转化思想、函数思想、分类讨论的数学思想。教学重点：理解函数的单调性与其导数的关系，会利用导数研究函数的单调性。

教学难点：构造函数，证明三次不等式；探求含参数函数的单调性的问题。教学方法：启发式、探究式教学用具：多媒体教学思路与设计：我们已复习了函数，函数是中学数学中的核心问题，正确认识函数的性质是运用函数处理问题的基本要求。导数是研究函数图像和性质的重要工具，利用导数来研究函数的单调性比定义法、图像法更简便，是导数几何意义在研究曲线变化规律时地一个重要应用，对研究函数的最值问题，具有良好的承上启下的作用。学生已掌握了函数的单调性的基本概念，判断方法、导数的概念，以及导数的计算，为综合应用导数与函数单调性作好充分的准备。作为复习课首先明确考纲的要求：了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）。自从导数进入高中数学以来，函数导数是核心内容，函数的单调性是基础点，运用不等式、导数等工具研究函数是交汇点，有关函数导数问题一直是考查的热点，相对高考题所处的位置而言，不太难，我们的学生能够接受，通过认真复习，培养学生掌握一定的分析问题和解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识。相信我们的学生是能充分掌握好这一部分内容的。教学过程（一）引入1、我们已经复习了函数，学习了函数的单调性，什么是函数的单调性？2、讨论函数的单调性。﹝学生活动﹞独立思考，认真解题，通过比较分析得出：判断三次的或三次以上的或图像很难画出的函数单调性问题时，应考虑导数法。3、用导数法判断函数的单调性用函数的导数判断函数单调性的法则：设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果在区间(a，b)内，，则f(x)在此区间是增函数，(a，b)为f(x)的单调增区间；（2）如果在区间(a，b)内，，则f(x)在此区间是减函数，(a，b)为f(x)的单调减区间。（二）题型示例1、讨论函数的单调性。﹝分析与解答﹞判断三次函数的函数的单调性，适合用求导法。函数y=f(x)的导函数的解集为区间是函数的增区间；的解集为区间是函数的减区间。利用导数、一元二次不等式解决函数问题。变式：当时，求证：﹝分析与解答﹞通过上题的求解及图像的观察，自然想到运用函数的单调性来处理，借助于导数工具，确定不等式所联系着的具体函数，构造函数，用函数思想处理问题。构造函数，由上题知：该函数在区间（1，+∞）单调递增，依函数单调性定义有：当时，f(x)，而，从而得证。或构造函数。学生分组进行变式编题。2、设是函数f(x)的导函数，y=的图象如右图所示，（Ⅰ）写出函数y=f(x)的单调区间（Ⅱ）y=f(x)的图像最有可能的是()（B）(C)(D)﹝分析与解答﹞函数的单调性由该函数的导函数的正负决定：在某区间函数的导函数，则该函数在此区间单调递增；在某区间函数的导函数，则该函数在此区间单调递减。根据导函数图像知：在区间（-∞，0）和（1，+∞）内，；在区间（0，2）内，。故在区间（-∞，0）和（1，+∞）内，函数y=f(x)单调递增，在区间（0，2）内，函数y=f(x)单调递减。选择(C)。3、设函数.（Ⅰ）若曲线在点处与直线相切，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间。【分析与解答】（Ⅰ）求两个值，通常需要寻找与有关的两个等式。由题意知曲线和与直线的交点为，且切点处的斜率为0。（Ⅱ）含参数不等式，对参数的讨论是解决这类问题的难点，找准方向和切入点。本题主要考查倒数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,∵曲线在点处与直线相切，∴（Ⅱ）∵,当时：，函数在上单调递增，当时：当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（三）学生练习1、若在区间（）内有且，则在（）内有（）A．B.C.D.不能确定【分析】由函数单调性定义知在（）内有，选A。2、讨论函数的单调区间。【分析】用求导法，结合一元二次不等式求得函数在（-∞，-1）内单调递减，在（-1，3）内单调递增，在（3，+∞）内单调递减。3、讨论函数的单调减区间。【分析】用导数法求函数的单调减区间。由得，从与0的大小关系入手求的解：当时，函数的减区间为；当时，函数无减区间；当时，函数的减区间为（。（四）本节课小结：请同学们谈谈这节课的收获，从基础知识、数学思想等方面。（五）作业：1、讨论下列函数的单调区间(1)（2）2、已知导函数的下列信息：当；当：当试画出函数y=f(x)图象的大致形状。3、（2022年北京文科高考17）已知函数是奇函数.（Ⅰ）求a,c的值；（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间.4、已知函数的图像过点（0，2），且在点处的切