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文档简介
有穷无穷递增递减数列知识点+练习题有穷无穷递增递减数列知识点+练习题有穷无穷递增递减数列知识点+练习题xxx公司有穷无穷递增递减数列知识点+练习题文件编号:文件日期:修订次数:第1.0次更改批准审核制定方案设计,管理制度数列的分类按项数分:可以分为有穷数列和无穷数列,即如果项数是有限的那么就是有穷数列,如果项数是无限的那么就是无穷数列:
(2)按增减分:可以分为递增数列和递减数列,即如果数列的项是随着项数的增加而增加的就是递增数列,如果数列的项是随着项数的增加而减小的就是递减数列;
(3)按项的特点分:可以分为摇摆数列和常数列,即如果数列的项是在某个或某几个数之间来回摇摆就是摇摆数列,如果数列的每一项都相等而且都是一个常数那么就是常数列。有穷数列的定义:项数有限的数列叫做有穷数列;无穷数列的定义:项数无限的数列叫做无穷数列;递增数列的定义:一般地,一个数列{an},如果从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。递减数列的定义:如果从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。单调数列:递增数列和递减数列通称为单调数列.
数列的单调性:1.对单调数列的理解:数列是特殊的函数,特殊在于其定义域为正整数集或它的子集.有些数列不存在单调性.有些数列在正整数集上有多个单调情况,有些数列在正整数集上单调性一定;
2.单调数列的判定方法:已知数列{an}的通项公式,要讨论这个数列的单调性,即比较an与an+1的大小关系,可以作差比较;也可以作商比较,前提条件是数列各项为正。摆动数列的定义:从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列。巧用(-1)n求摆动数列的通项:在数列中,我们经常会碰到求形如:1,-1,1,-1,…,或-1,1,-1,1,…,等数列的通项,很显然,我们只要利用(-1)n进行符号的调整,就能很快求出数列的通项公式,我们在其它摇摆数列中也可以巧妙地利用(-1)n求出通项公式。例题1.有穷数列1,23,26,29,…,23n+6的项数是(
)A.3n+7
B.3n+6
C.n+3
D.n+2答案:C例题2.已知{an}是递增的数列,且对于任意n∈N*,都有an=n2+λn成立,求实数λ的取值范围解:∵{an}是递增的数列,
∴an≤an+1对任意的n∈N*恒成立,
即n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1),解得λ≥-2n-1,
∵-2n-1≤-3,
∴λ≥-3例题3.共有10项的数列{an}的通项an=,则该数列中最大项、最小项的情况是(
)A.最大项为a1,最小项为a10
B.最大项为a10,最小项为a1
C.最大项为a6,最小项为a5
D.最大项为a4,最小项为a3答案:D例题4*.在单调递增数列{an}中,a1=2,不等式(n+1)an≥na2n对任意n∈N*都成立,
(Ⅰ)求a2的取值范围;
(Ⅱ)判断数列{an}能否为等比数列说明理由;
(Ⅲ)设,求证:对任意的n∈N*,(Ⅰ)解:因为{an}是单调递增数列,所以,
令n=1,,所以。
(Ⅱ)证明:数列{an}不能为等比数列。
用反证法证明:假设数列{an}是公比为q的等比数列,,
因为{an}单调递增,所以q>1,
因为n∈N*,(n+1)an≥na2n都成立,
所以n∈N*,,①
因为q>1,所以,使得当时,,
因为(n∈N*),
所以,当时,,与①矛盾,故假设不成立。
(Ⅲ)证明:观察:,,…,
猜想:;
用数学归纳法证明:
(1)当n=1时,成立;
(2)假设当n=k时,成立;
当n=k+1时,
,
所以,
根据(1)(2)可知,对任意n∈N*,都有,即,
由已知得,
所以,
所以当n≥2时,,
因为,
所以对任意n∈N*,,
对任意n∈N*,存在m∈N*,使得,
因为数列{an}单调递增,所以,,
因为,
所以。例题5.已知下列数列:
(1)2000,2004,2008,2012;
(2)0,;
(3)1,;
(4)1,;
(5)1,0,-1,…,sin,…;
(6)3,3,3,3,3,3
其中,有穷数列是(
),无穷数列是(
),递增数列是(
),递减数列是(
),常数列是(
),摆动数列是(
),周期数列是(
)。(将合理的序号填在横线上)答案:(1)(6);(2)(3)(4)(5);(1)(2);(3);(6);(4)(5);(5)例题6.下列叙述中正确的个数为(
)
①数列{an},an=2是常数列;
②数列是摆动数列;
③数列是递增数列;
④若数列{an}是递增数列,则数列{an·an+1}也是递增数列;A.1
B.2
C.3
D.4答案:C例题7.已知Sk表示数列{ak}的前k项和,且Sk+Sk+1=ak+1(k∈N*),那么此数列是(
)A.递增数列
B.递减数列
C.常数列
D.摆动数列例题8.设Sn为数列{an}的前n项和(n=1,2,3,……)。按如下方式定义数列{an}:a1=m(m∈N*),对任意k∈N*,k>1,设ak为满足0≤ak≤k-1的整数,且k整除Sk,
(Ⅰ)当m=9时,试给出{an}的前6项;
(Ⅱ)证明:k∈N*,有;
(Ⅲ)证明:对任意的m,数列{an}必从某项起成为常数列。解:(Ⅰ)m=9时,数列为9,1,2,0,3,3,3,3,
即前六项为9,1,2,0,3,3。
(Ⅱ);
(Ⅲ)有,
由(Ⅱ)可得,
为定值且单调不增,
∴数列必将从某项起变为常数,
不妨设从l项起为常数,则,
于是,
所以,
所以{an}当n≥l+1时成为常数列。例题9*.数列{an}满足:an+1=3an-3an2,n=1,2,3,…。
(Ⅰ)若数列{an}为常数列,求a1的值;
(Ⅱ)若a1=,求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求证:数列{a2n}单调递减。(Ⅰ)解:因为数列为常数列,
所以,,
,
由n的任意性知,或。
(Ⅱ)证明:用数学归纳法证明,
①当n=1时,,符合上式;
②假设当n=k(k≥1)时,,
因为,所以,即,
从而,即,
因为,
所以,当n=k+1时,成立,
由①,②知,。
(Ⅲ)证明:因为
(n≥2),
所以只要证明,
由(Ⅱ)知,,
所以只要证明,
即证明,
令,
,
所以函数f(x)在R上单调递增;
因为,
所以,,即成立,
故,所以数列单调递减。例题10*.已知An(an,bn)(n∈N*)是曲线y=ex上的点,a1=a,Sn是数列{an}的前n项和,且满足:
,n=2,3,4,…
(Ⅰ)证明数列是常数数列;
(Ⅱ)确定a的取值集合M,使a∈M时,数列{an}是单调递增数列;
(Ⅲ)证明当a∈M时,弦AnAn+1(n∈N*)的斜率随n单调递增。解:(Ⅰ)当n≥2时,由已知得,
因为,…………①
于是,…………②
由②-①得,…………③
于是,…………④
由④-③得,…………⑤
所以(n≥2)是常数列。
(Ⅱ)由①有,
由③有,
而⑤表明:数列分别是以a2、a
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