高中数学教学课件《 均值不等式》

均值不等式第1课时均值不等式均值不等式服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法!王大妈:我买这包糖.服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法!王称得a(kg)称得a(kg)称得b(kg)称得b(kg)

服务员:把两次称得的质量平均一下肯定是您所买的糖的质量,绝对不会错的!即:=糖果真正质量m嗯,我真聪明,这样的难题都难不倒我!称得b(kg)称得a(kg)服务员:把两次称得的质量平均一下肯定是您王大妈:对不对,我会不会吃亏?让我好好想一想!真后悔高中的时候没读好书啊……哦,这也难不倒我老人家,凡事多问是我几十年的经验!现在高中的同学们正在学习不等式比较大小,就麻烦他们吧！同学们,赶快帮我想一想,告诉我结果!王大妈:对不对,我会不会吃亏?让我好好想一想!真后悔高中结论：物体的真实质量为：，而a,b的平均值为

思考：这两者之间的关系如何？本节课我们来学习此内容结论：物体的真实质量为：，而a,b的平均值为思考1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系.2.理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式.（重点）3.能利用均值不等式证明简单不等式.（难点）1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系.定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：探究点：均值不等式定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab证明：探究点：均1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：均值定理：如果a,b∈R+，那么（当且仅当a=b时，等号成立）1．指出定理适用范围：注意：1.均值不等式(1)均值不等式成立的条件:____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.a>0,b>0a=b注意：a>0,b>0a=b2.算术平均值与几何平均值设a>0,b>0，则a,b的算术平均值为_________,几何平均值为______，均值定理可表述为：________________________________________________.

两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式.2.算术平均值与几何平均值两个正实数的算术平均值大于或等于它3.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).2ab23.几个重要的不等式2ab2从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢?引申：把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那几何直观解释：令正实数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和的两条线段，然后比较这两条线段的长.具体作图如下：（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b；（2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C；几何直观解释：令正实数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法（4）连接AC，BC，OC,则当a≠b时，OC>CD，即当a=b时，OC=CD，即aba+b2baODCBA注：“均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”.所以当且仅当a=b时，不等式中的等号成立.（4）连接AC，BC，OC,则当a≠b时，OC>CD，即当a例．已知ab>0，求证：，并推导出式中等号成立的条件.例．已知ab>0，求证：，并推导出式中等证明：因为ab>0，所以，根据均值不等式得即当且仅当，即a2=b2时式中等号成立，因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.证明：因为ab>0，所以，即当且仅变式练习（1）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:证明:（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.当且仅当a=b=c=d时，式中等号成立

原不等式得证.变式练习（1）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.（2）因为a>0,b>0,a+b=1，

当且仅当即a2=b2时式中等号成立.因为a＞0,b＞0,所以式中等号成立的条件是所以原不等式成立.（2）因为a>0,b>0,a+b=1，1.下列结论中不正确的是（）A.B.C.a2+b2≥2abD.B1.下列结论中不正确的是（）B2.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是()C2.若a＞b＞0,则下列不等式中总成立的是()C3.已知x>0,y>0,z>0.求证：3.已知x>0,y>0,z>0.证明：因为x>0,y>0,z>0,当且仅当x=y=z时等号成立.证明：因为x>0,y>0,z>0,应用均值不等式需注意以下三点：（1）各项或各因式为正.（2）和或积为定值.（3）各项或各因式能取得相等的值，必要时做适当变形，以满足上述前提，即“一正二定三相等”.应用均值不等式需注意以下三点：预备十二分的力量，才能希望有十分的成功.——张太雷预备十二分的力量，才能希望有十分的成功.均值不等式第1课时均值不等式均值不等式服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法!王大妈:我买这包糖.服务员:电子秤坏了,但有一架臂长不等的天平.我有个好办法!王称得a(kg)称得a(kg)称得b(kg)称得b(kg)

服务员:把两次称得的质量平均一下肯定是您所买的糖的质量,绝对不会错的!即:=糖果真正质量m嗯,我真聪明,这样的难题都难不倒我!称得b(kg)称得a(kg)服务员:把两次称得的质量平均一下肯定是您王大妈:对不对,我会不会吃亏?让我好好想一想!真后悔高中的时候没读好书啊……哦,这也难不倒我老人家,凡事多问是我几十年的经验!现在高中的同学们正在学习不等式比较大小,就麻烦他们吧！同学们,赶快帮我想一想,告诉我结果!王大妈:对不对,我会不会吃亏?让我好好想一想!真后悔高中结论：物体的真实质量为：，而a,b的平均值为

思考：这两者之间的关系如何？本节课我们来学习此内容结论：物体的真实质量为：，而a,b的平均值为思考1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系.2.理解均值不等式的证明过程，会用多种方法证明均值不等式.（重点）3.能利用均值不等式证明简单不等式.（难点）1.了解算术平均值与几何平均值的定义及它们的关系.定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab（当且仅当a=b时取“=”）证明：探究点：均值不等式定理：如果a，b∈R，那么a2+b2≥2ab证明：探究点：均1．指出定理适用范围：2．强调取“=”的条件：均值定理：如果a,b∈R+，那么（当且仅当a=b时，等号成立）1．指出定理适用范围：注意：1.均值不等式(1)均值不等式成立的条件:____________.(2)等号成立的条件:当且仅当______时取等号.a>0,b>0a=b注意：a>0,b>0a=b2.算术平均值与几何平均值设a>0,b>0，则a,b的算术平均值为_________,几何平均值为______，均值定理可表述为：________________________________________________.

两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值这个不等式，在证明不等式、求函数的最大值、最小值时有着广泛的应用，因此我们也称它为基本不等式.2.算术平均值与几何平均值两个正实数的算术平均值大于或等于它3.几个重要的不等式

(1)a2+b2≥_______(a,b∈R).(2)≥____(a,b同号).(3)(a,b∈R).(4)(a,b∈R).2ab23.几个重要的不等式2ab2从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；从数的角度来看，基本不等式揭示了“和”与“积”这两种结构间的不等关系.从形的角度来看，基本不等式具有特定的几何意义；把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那么上面不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

还有没有其他的证明方法证明上面的基本不等式呢?引申：把看做两个正数a，b的等差中项，看做正数a，b的等比中项，那几何直观解释：令正实数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为和的两条线段，然后比较这两条线段的长.具体作图如下：（1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b；（2）以AB为直径作半圆O；（3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C；几何直观解释：令正实数a，b为两条线段的长，用几何作图的方法（4）连接AC，BC，OC,则当a≠b时，OC>CD，即当a=b时，OC=CD，即aba+b2baODCBA注：“均值不等式的几何解释，我们通常将其说成“半径不小于半弦”.所以当且仅当a=b时，不等式中的等号成立.（4）连接AC，BC，OC,则当a≠b时，OC>CD，即当a例．已知ab>0，求证：，并推导出式中等号成立的条件.例．已知ab>0，求证：，并推导出式中等证明：因为ab>0，所以，根据均值不等式得即当且仅当，即a2=b2时式中等号成立，因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成立的条件是a=b.证明：因为ab>0，所以，即当且仅变式练习（1）证明：a4+b4+c4+d4≥4abcd.(2)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:证明:（1）a4+b4+c4+d4≥2a2b2+2c2d2=2(a2b2+c2d2)≥2·2abcd=4abcd.当且仅当a=b=c=d时，式中等号成立

原不等式得证.变式练