《数学建模方法及其应用》幻灯片

数学建模方法及其应用韩中庚编著数学建模教学片第十六章随机性决策分析方法设计制作：主要内容

第十六章随机性决策分析方法32022年11月21日随机性决策问题的根本概念；

效用函数的概念；

效用与风险的关系；

随机优势与效用函数的关系；案例分析：彩票中的数学问题。

一、问题的引入－彩票与数学42022年11月21日

彩票中的数学知多少？你们了解彩票吗？你们买过彩票吗？你们了解彩票的规章吗？No,Idon’tknow!请问几个问题：〔1〕博彩有规律可寻吗？〔2〕现行的各种彩票方案中奖的可能性有多大？〔3〕现行的彩票方案合理吗？哪种方案“好”？〔4〕我们应当如何对待彩票？中国的彩票业还有多大的进展空间？我想应当有规律吧！啊！有这么悬乎吗？52022年11月21日

一、问题的引入－彩票与数学

“彩票中的数学”问题〔CUMCM2023-B〕近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人参加到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。“传统型”承受“10选6+1”方案：中奖等级10选6+1（6+1/10）基本号码特别号码说明一等奖abcdefg选7中（6+1）二等奖abcdef

选7中（6）三等奖abcdeXXbcdef

选7中（5）四等奖abcdXXXbcdeXXXcdef选7中（4）五等奖abcXXXXbcdXXXXcdeXXXXdef选7中（3）六等奖abXXXXXbcXXXXXcdXXXXXdeXXXXXef选7中（2）62022年11月21日

一、问题的引入－彩票与数学

“彩票中的数学”问题〔CUMCM2023-B〕“乐透型”有多种不同的形式，比方“33选7”的方案和“36选6+1”的方案，中奖等级33选7（7/33）36选6+1（6+1/36）基本号码特别号码说明基本号码特别号码说明一等奖●●●●●●●选7中（7）●●●●●●★选7中（6+1）二等奖●●●●●●○

★选7中（6+1）●●●●●●

选7中（6）三等奖●●●●●●○选7中（6）●●●●●○★选7中（5+1）四等奖●●●●●○○★选7中（5+1）●●●●●○选7中（5）五等奖●●●●●○○选7中（5）●●●●○○★选7中（4+1）六等奖●●●●○○○★选7中（4+1）●●●●○○选7中（4）七等奖●●●●○○○选7中（4）●●●○○○★选7中（3+1）72022年11月21日

一、问题的引入－彩票与数学“彩票中的数学”问题〔CUMCM2023-B〕要解决的问题：〔1〕依据这些方案的具体状况，综合分析各种奖项消失的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。〔2〕设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票治理部门提出建议。〔3〕给报纸写一篇短文，供彩民参考。82022年11月21日二.随机性决策的根本概念随机性决策问题包含两个方面：决策人所实行的行动方案(决策);问题的自然状态(状态)；根本特点：后果的不确定性和后果的效用。后果的不确定性：由问题的随机性，使问题会消失什么状态的不确定性，决策人做出决策后会消失后果的不确定性。后果的效用：后果价值的量化。由后果的不确定性，对于不同决策后果的效用是不同的。92022年11月21日

1、主观概率二.随机性决策的根本概念随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不确定性引起的，状态的不确定性不能通过在一样条件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只能由决策人主观地做出估量，称其为主观概率。主观概率遵循客观概率应当遵循的假设、公理、性质等，客观概率的全部规律推理方法均适用于主观概率。

设定主观概率的方法：主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等。102022年11月21日

2、随机性决策的效用函数二.随机性决策的根本概念112022年11月21日

2、随机性决策的效用函数122022年11月21日效用函数的定义：

2、随机性决策的效用函数132022年11月21日

2、随机性决策的效用函数142022年11月21日

2、随机性决策的效用函数152022年11月21日

实际中的决策问题对决策人的决策往往是效益和风险并存。不同的决策人对待风险的态度可分为厌恶型、中立型和喜好型。

3、效用与风险的关系二.随机性决策的根本概念问题：决策人对待这一风险的态度是什么呢？162022年11月21日

3、效用与风险的关系厌恶型:

决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利。喜好型:

对待风险的态度与厌恶型相反的。中立型：介于二者之间的，即决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利a元等价。这三种不同的态度可以反映在效用函数上就是凹函数，线性函数和凸函数。172022年11月21日

3、效用与风险的关系182022年11月21日

实际中，有的效用函数曲线呈S型，即在后果的范围内，决策人会从厌恶风险变为喜好风险。

3、效用与风险的关系(1)反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从喜好到厌恶的转变。(2)反映了决策人的财产从损失到盈利的增加，对待风险的态度从喜好到厌恶的变化。192022年11月21日

4、损失函数与风险函数的关系二.随机性决策的根本概念202022年11月21日4、损失函数与风险函数的关系212022年11月21日

5、随机优势与效用函数

二.随机性决策的根本概念随机优势法:在有价证券问题的争论中常用的一种在肯定风险的状况下确定决策的方法。随机优势法常用的效用函数有三种：222022年11月21日

5、随机优势与效用函数

〔１〕递增的效用函数232022年11月21日

5、随机优势与效用函数

〔１〕递增的效用函数这种类型的效用函数仅能反映出财宝与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的态度。242022年11月21日

5、随机优势与效用函数

〔２〕递增的凹效用函数252022年11月21日

5、随机优势与效用函数

〔２〕递增的凹效用函数事实上，可以证明：〔3〕递减的厌恶风险的效用函数262022年11月21日

5、随机优势与效用函数

272022年11月21日〔3〕递减的厌恶风险的效用函数

5、随机优势与效用函数

282022年11月21日1、问题的提出三、案例分析：彩票中的数学问题要解决的问题：〔1〕依据所给方案的具体状况，综合分析各种奖项消失的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。〔2〕设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给彩票治理部门提出建议。〔3〕给报纸写一篇短文，供彩民参考。292022年11月21日

２、问题的分析三、案例分析：彩票中的数学问题评价一个方案的优劣，或合理性如何，主要取决于彩票公司和彩民两方面的利益。事实上，公司和彩民各得销售总额的50%是确定的，双方的利益主要就取决于销售总额的大小，即双方的利益都与销售额成正比。问题是怎样才能有利于销售额的增加？即公司承受什么样的方案才能吸引宽阔的彩民乐观踊跃购置彩票？302022年11月21日问题涉及到一个方案的设置使彩民获奖的可能性有多大、奖金额有多少、中奖面怎样、各奖项的设置是否合理等因素，这些都对彩民的购置彩票的吸引力有产生肯定的影响，在这里可用彩民的心理曲线来描述一个方案对彩民的吸引力。另外，一个方案对彩民的影响程度可能与区域有关，即与彩民所在地区的经济状况以及收入和消费水平有关。为此，要考察一个方案的合理性问题，需要综合考虑以上这些因素的影响，这是建立模型的关键所在。

2、问题的分析312022年11月21日

３、模型的建立与求解三、案例分析：彩票中的数学问题问题〔一〕：依据所给方案的具体状况，综合分析各种奖项消失的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。〔1〕彩民获各项奖的概率322022年11月21日

3、模型的建立与求解〔2〕综合评价各种方案的合理性332022年11月21日

3、模型的建立与求解342022年11月21日综合〔1)和〔2〕式，利用Matlab编程计算出29种方案的合理性指标值及高项奖的期望值，排在前三位的如下表：指标方案

排序97/304.009×10-71.086×1062067914101117