11-2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)课件

对坐标的曲线积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲线积分的概1一、对坐标的曲线积分的概念1.引例:变力沿曲线所作的功一、对坐标的曲线积分的概念1.引例:变力沿曲线所作的功2变力沿曲线做功要利用微元法分析.分割变力沿曲线做功要利用微元法分析.分割3求和取极限求和取极限42.定义2.定义5类似地定义组合形式为类似地定义组合形式为63.推广3.推广74.向量表示形式4.向量表示形式8二、对坐标的曲线积分的性质性质1性质2二、对坐标的曲线积分的性质性质1性质29性质3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.证当每小段曲线弧的方向改变时,其在坐标轴上的投影的绝对值不变但符号改变,故结论成立.性质3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.证当每小段曲线弧的10三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理11证根据定义由于先证证根据定义由于先证12因为L为光滑弧,同理可证因为L为光滑弧,同理可证13特殊情形特殊情形1411-2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)课件15例1解例1解16解二解二17例2解例2解18注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同.注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,19例3解例3解20注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是积分结果相同.注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是21例4解直线段AB的方程是化为参数方程得所以例4解直线段AB的方程是化为参数方程得所以22例5解例5解2311-2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)课件24解于是例6解于是例625利用椭圆的参数方程:利用椭圆的参数方程:26四、两类曲线积分之间的联系其中四、两类曲线积分之间的联系其中27可用向量表示有向曲线元；可用向量表示有向曲线元；28证例9证例92911-2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)课件30对坐标的曲线积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的性质三、对坐标的曲线积分的计算四、两类曲线积分之间的联系对坐标的曲线积分的概念、计算与应用一、对坐标的曲线积分的概31一、对坐标的曲线积分的概念1.引例:变力沿曲线所作的功一、对坐标的曲线积分的概念1.引例:变力沿曲线所作的功32变力沿曲线做功要利用微元法分析.分割变力沿曲线做功要利用微元法分析.分割33求和取极限求和取极限342.定义2.定义35类似地定义组合形式为类似地定义组合形式为363.推广3.推广374.向量表示形式4.向量表示形式38二、对坐标的曲线积分的性质性质1性质2二、对坐标的曲线积分的性质性质1性质239性质3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.证当每小段曲线弧的方向改变时,其在坐标轴上的投影的绝对值不变但符号改变,故结论成立.性质3即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.证当每小段曲线弧的40三、对坐标的曲线积分的计算定理三、对坐标的曲线积分的计算定理41证根据定义由于先证证根据定义由于先证42因为L为光滑弧,同理可证因为L为光滑弧,同理可证43特殊情形特殊情形4411-2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)课件45例1解例1解46解二解二47例2解例2解48注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,导致积分结果不同.注意被积函数相同,起点和终点也相同,但是由于积分路径不同,49例3解例3解50注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是积分结果相同.注意被积函数相同,起点和终点也相同,虽然积分路径不同,但是51例4解直线段AB的方程是化为参数方程得所以例4解直线段AB的方程是化为参数方程得所以52例5解例5解5311-2第二类曲线积分(对坐标的曲线积分)课件54解于是例6解于是例655利用椭圆的参数方程:利用椭圆的参数方程:56四、两类