线性代数4分块矩阵

1.4

分块矩阵一、矩阵的分块二、分块矩阵的运算法则三、小节、思考题一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵A，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为A的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.3

B

B2

,B

1

0

1

1

b

1

A

10

0

a

00

b

a

1

0

0例0ab0A

01

0a

0

1

1

0

1

1

b

1B20

BB3即A

1

a

1

0

034C

C2

,1

C

0

a

0

0

C1

0

b

0

1

1

b

a0

A

0

1C1

C21

0a

0 0

0

b

3

4

0

1

1

b

1

C

C

即又例如

A O

,4321b

1

10

AA

0

a

1

0

0a

0

0

b

0

1

11

0

b

0

1

1

b

1A

0

a

1

0

0

a

0

00100

1ba01ab0

010

其中BAOI

I

B

1b01

a102413A

A A

,其中A

a0

01b

1设矩阵A与B

的行数相同,列数相同,采用相同的分块法,有其中Aij与Bij的行数相同,列数相同,那么sr

s1

A

A11

B11A

B

srs1A1r

B1r

.

B

A

B二、分块矩阵的运算规则sr

sr

B

AA

A1r

A

B

B11

B1r

s1

s1

A11,B

sr

A1r

s1

A

A112设

A

A

,为数,那末sr

s1

A11

A1r

.

A

AA

3设A为m

l矩阵,B为l

n矩阵,分块成

t

1

s

1

B

A

A11A

B

,A1t

B11

B1

r

,

B

Ast

tr

其中Ai1,Ai2

,,Ait的列数分别等于B1j

,B2

j

,,Btj的行数,那末sr

CAB

C

C

Cs11r

11i

1,

,

s;

j

1,

,

r

.其中Cijt

Aik

Bkjk

1的行数,那末常见的应用一般出现在A,B为4

4阶方阵中。由于要求Ai1

,Ai2

,,Ait的列数分别等于B1

j

,B2

j

,,Bij例：2

1

10,0

0

1

0

0

0

1

0

1

3

4

A

00

0

50

6

18

0

1,

0

0

0

0

0 0

B

7计算：AB5设A为n阶矩阵,若A的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块,其

块都为零矩阵,且非零子块是都方阵.即,A2O1As

A

AO

sr

A

A1r

As1

A114设

A

AATT

ssrrATT

ss11

.1r1r1111ATT

,

则

ATT

AAT

T,2As

A

A1AOO其中Ai

i

1,2,s

都是方阵,那末称A为分块对角矩阵.若每个子块Ai

i

1,2,,s都可逆,则A、B均可逆,并有,A2As

6设

A

A1oo21;As

1A

o

A1o1

A1A1

A2

OB

O

AsO

sA1A

OB

A21111

0

0

0

As

0

07

0B2

Bs

2A

0

0

A1

0

0

B1

0

0

000.0s s

2

2

A1B1

0

0

AB

AB10 1

00

0

0

1

0

00

A

1

2

1

1把A,B分块成1例

设0A

0

1

0

0

01

0

0,

1

2

1

1

1

0

1求AB.1

1B

1

1

0

1

02

0

1,0

4

1

1

2

0解

A1

I

IO

,10

4

1

1

2

0

1

1

0

1

0

1

2

0B

1

B11I

B

B

21

22则AB

.A1

B22

A1B11

B21

I O

B11

I

A1

I

B21

B22

B11

I.B11A1

B22

A1B11

B21AB

I又A1B11

B21

1

10

1

0

1

1

1

2

1

2

1

0

2

3

4

10

2

4,

11

1

2

4

1 1

2221A

B1

30

3

1

1

3,1

A1

B22

A1B11

B21于是

AB

B11I3

1

1

3 1

1

0

1

0

1

2

0 1

.

2

4

3例

设1

0

5

0

0A

0

3

1

,

求A

21.1

0

5

0

0解

A

0

3212

,

A1

OA

O1A

5,

1

5

A11

;22A

31,

A1

2

1

2

3

;

1

1

;2A1

2

3

1

1

1

21

O

A1A

1

AO

;1

5

11

A1.3

0

5

0

1

0

0

1

2例

设0

0

20

4A

00,求A1

.解

显然将A看成分块矩阵可简化计算.,21

A O

A取A

O1

1

40

1

2

01则A25

0,0

31,

A于是O

A

1

O

A

1

A21

OA1

A

O112

03

0

00

0

0

5

00

0

1

4

01

2

0

0A12A例

设n阶方阵

A的逆矩阵为B,即满足AB

I

,可以将B和I都按列分成1

n的分块矩阵，可得：A[b1,b2

,bn

]

[e1

,e2

,,en

]即：

Abi

ei

(i

1,2,,

n)其中ei是n阶单位矩阵的第i列，即ei

[0，，1，，0]T例

试证明：设A是m

n矩阵，则对任一n维列向量x,Ax

0的充分必要条件是A

0.证明：充分性（条件

结论）：A

0

Ax

0

显然满足；必要性：（结论

条件）T由n维列向量的任意性，可取x

ei(i

1,2,,

n),

[0,,1,,0]0

则由Ax

0得Aei

[1,,i

,n

]1

i

0,

0即矩阵A的第i列为零向量。由i的任意性，可知矩阵A的每一列都是零向量，即A

0将矩阵A分块成A

[1,,i

,n

],例

设

n阶方阵A有分块形式：A

,

,

,

及A

1

2

n

T

n

T

T21

又有对角矩阵

diag[1,

2

,

,

n

]，试求矩阵乘积

A；A

.解：依题意，为使

A有意义，必需取矩阵A的行分块形式，即有

A

12

Tn

n

T

T

2

1

Tn n

T

T2 2

1

1同理，有n

1A

1,

2

,

,

n

2

11,

22

,

,

nn

三、小结同维矩阵,采用相同的分块法数k乘矩阵A,需k乘A的每个子块加法数乘乘法在矩阵理论的研究中,矩阵的分块是一种最基本,最重要的计算技巧与方法.分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似若A与B相乘,需A的列的划分与B的行划分相一致.(4)

转置A

A

A

11A1r

As1

sr