第八章 无限脉冲响应数字滤波器的设计(数字信号处理)课件

第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计1

8.1数字滤波器的基本概念

例：有信号要求用数字方法滤去50Hz的成分解：用T=0.004秒对信号x(t)进行采样（fs=250Hz）则

8.1数字滤波器的基本概念

例：有信号2

输出为五个信号采样值的平均值。输出为五个信号采样值的平均值。3

讨论：（1）可以用数字方法实现滤波（2）在数字滤波中，可以实现“非因果”的处理（3）若本例中改为50Hz和500Hz组成的信号，采样频率为2500Hz，数字滤波的结果是一样的。因此数字滤波时，滤波参数和信号采样频率的相对值有关。非因果系统因果系统讨论：非因果系统因果系统4

8.1数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：(8.1.1)(8.1.2)

8.1数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器的分52数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：图8.1.2低通滤波器的技术要求2数字滤波器的技术要求图8.1.26通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：(8.1.3)(8.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(8.1.3)和(8.1.4)式则表示成：(8.1.5)(8.1.6)通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数73.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。3.数字滤波器设计方法概述88.3用脉冲响应不变法设计IIR

数字低通滤波器为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。8.3用脉冲响应不变法设计IIR

数字低通滤波器9图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系10设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(8.3.1)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(8.3.2)设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),11式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：(8.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(8.3.4)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(12对进行拉氏变换，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(8.3.5)对进行拉氏变换，得到:13上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：(8.3.6)上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序14将s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得到:(8.3.7)(8.3.8)(8.3.9)将s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得15上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(8.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(8.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(8.3.6)式，得到:因此得到:(8.3.10)上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变16那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数那么为任意整数17图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系18图8.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象图8.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象19假设没有频率混叠现象，即满足按照(8.3.9)式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令假设20一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(8.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为(8.3.11)可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为(8.3.12)一般Ha(s)的极点si是一个复数，21如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为(8.3.13)(8.3.14)如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为(8.22优点：频率坐标的转换是线性的缺点：1）非一一对应的映射，（2）内为一一对应2）存在混叠现象。由于相应的模拟滤波器不是一个带限系统，根据系统一定存在混叠适用（1）衰减特性好的低通带通滤波器（2）系统函数可用极点部分分式表示时优点：频率坐标的转换是线性的23在实际应用中，通常采用修正措施：因为了减少混叠效应，一般选用较高采样频率，取T很小，这样会造成增益过高，故采取措施

在实际应用中，通常采用修正措施：24例8.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为例8.3.1已知模拟滤波器的传输25按照(8.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则转换时，也可以直接按照(8.3.13),(8.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(8.3.13)式的形式，如极点s1,2=σ1±jΩ1,则按照(8.3.4)式，并经过整理，得到转换时26再按照(8.3.14)式，H(z)为再按照(8.3.14)式，H(z)为27图8.3.3例8.3.1的幅度特性图8.3.3例8.3.1的幅度特性28

8.4用双线性变换法设计IIR数字

低通滤波器

为了克服脉冲响应不变法的频率混叠，建立S平面与Z平面之间的一一对应关系，可以采取以下措施：1）将整个S平面压缩到S1平面的一个横向条带内2）将S1平面的一个横向条带变换到整个Z平面S平面1S1平面Z平面

8.4用双线性变换法设计IIR数字

低通滤波器

29

正切变换实现频率压缩：(8.4.1)式中T仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有(8.4.2)

正切变换实现频率压缩：(8.4.1)30再通过转换到z平面上，得到：(8.4.3)(8.4.4)再通过转换到31下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。图8.4.1双线性变换法的映射关系下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。图8.32令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)式中，有(8.4.5)图8.4.2双线性变换法的频率变换关系令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)33图8.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射图8.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射34设设35表8.4.1系数关系表表8.4.1系数关系表36第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计(数字信号处理)课件37例8.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图8.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图8.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为例8.4.1试分别用脉冲响应不变法38利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图8.4.5(a),(b)所示。图8.4.5例8.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z)利用双线性变换法转换，数字滤波器39下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数40图8.4.6例8.4.1图——数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性图8.4.6例8.4.1图——数字滤波器H1(z)和H41(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例8.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设42解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB解43③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N44取N=6。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入(8.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表8.2.1，得到归一化传输函数为为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),取N=6。为求3dB截止频率Ωc,45④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(8.3.11)式、(8.3.12)式，或者(8.3.13)式和(8.3.14)式，得到：④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z46图8.4.7例8.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性图8.4.7例8.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字47(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为(2)用双线性变换法设计数字低通滤波48③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。为求Ωc,将Ωs和αs代入(8.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下49根据N=6，查表8.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：根据N=6，查表8.2.1得到的归50图8.4.8例8.4.2图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性图8.4.8例8.4.2图——用双线性变换法设计的数字低51

8.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计

例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为

8.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计

52(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章8.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。(3)将所需类型模拟滤波器技术指标53例8.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解(1)数字高通的技术指标为ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB例8.5.1设计一个数字高通滤波54(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：(2)模拟高通的技术指标计算如下：55将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，56查表8.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为为去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：查表8.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为57(6)用双线性变换法将模拟高通H

(s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即(6)用双线性变换法将模拟高通H58例8.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率ωu=0.4πrad通带下截止频率ωl=0.3πrad例8.5.2设计一个数字带通滤波器59阻带上截止频率ωs2=0.5πrad阻带下截止频率ωs1=0.2πrad通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。阻带上截止频率60(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有(通带中心频率)(带宽)(2)模拟带通滤波器技术指标如下：(通带61将以上边界频率对带宽B归一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率归一化通带截止频率λp=1αp=3dB,αs=18dB将以上边界频率对带宽B归一化，得到归一化通带截62(4)设计模拟低通滤波器：查表8.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),(4)设计模拟低通滤波器：查表8.2.163(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：(5)将归一化模拟低通转换成模拟带64将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p等式代入G(p)中，得将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p65例8.5.3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π,阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最小衰减αs=13dB，ωl和ωu处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)数字带阻滤波器技术指标：ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB例8.5.3设计一个数字带阻滤波66(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有阻带中心频率平方为Ω20=ΩlΩu=0.421阻带带宽为

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s(2)模拟带阻滤波器的技术指标：阻带67将以上边界频率对B归一化：ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(8.2.48)式，有λp=1,αp=3dB将以上边界频率对B归一化：68(4)设计模拟低通滤波器：(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：(4)设计模拟低通滤波器：(5)69(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。(6)将Ha(s)通过双线性变换708.6IIR数字滤波器的直接设计法1.零极点累试法称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。8.6IIR数字滤波器的直接设计法71图8.8.1例8.8.1图(a)零极点分布；(b)幅度特性图8.8.1例8.8.1图722.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，(8.8.1)式中，A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数；Hd(ejω)是希望设计的滤波器频响。如果在(0，π)区间取N点数字频率ωi,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，写出两者的幅度平方误差E为(8.8.2)2.在频域利用幅度平方误差最小法直接73而在(8.8.1)式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下面我们研究采用(8.8.1)式网络结构，如何求出(4K+1)系数。按照(8.8.2)式，E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：上式θ表示4K个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令(8.8.3)而在(8.8.1)式中共有(4K+174为选择A使E最小，令(8.8.4)设θk是θ的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，(8.8.5)因为,式中H*i表示对Hi函数共轭。(8.8.6)为选择A使E最小，令(8.8.4)设75将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：(8.8.7)式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。同理求得(8.8.8)(8.8.9)(8.8.10)将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，76由于系统函数是一个有理函数，极、零点均以共轭成对的形式存在，对于极点z1,一定有下面关系：(8.8.11)由于系统函数是一个有理函数，极、零点77图8.8.2例8.8.2图(a)要求的幅度特性；(b)k=1，2时的幅度特性例8.8.2设计低通数字滤波器，其幅度特性如图8.8.2(a)所示。截止频率ωs=0.1πrad。图8.8.2例878解考虑到通带和过渡带的重要，在0~0.2π区间，每隔0.01π取一点ωi值，在0.2π~π区间每隔0.1π取一点ωi值，并增加一点过渡带，在ω=0.1π处|Hd(ejω)|=0.5。1.0,ω=0,0.01π,0.02π,:,0.09π0.5,ω=0.1π0.0,ω=0.11π,0.12π,:,0.19π0.0,ω=0.2π,0.3π,:,πN=29，取k=1，系统函数为解考虑到通带和过渡带的重要，在079待求的参数是A，a1,b1,c1,d1。设初始值θ=(0000.25)T经过90次迭代，求得E=1.2611，系统函数零、极点位置为零点0.67834430±j0.73474418;极点0.75677793±j1.3213916为使滤波器因果稳定，将极点按其倒数搬入单位圆内，再进行62次优化迭代，求得结果为

零点0.82191163±j0.56961501;极点0.89176390±j0.19181084;Ag=0.11733978,E=0.56731待求的参数是A，a1,b1,c1,d80误差函数用下式表示：(8.8.12)3.在时域直接设计IIR数字滤波器设我们希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，要求设计一个单位脉冲响应h(n)充分逼近hd(n)。下面我们介绍这种设计方法。设滤波器是因果性的，系统函数为(8.8.13)误差函数用下式表示：(8.8.12)81式中a0=1，未知系数ai和bi共有N+M+1个，取h(n)的一段，0≤n≤p-1，使其充分逼近hd(n)，用此原则求解M+N+1个系数。将(8.8.13)式改写为令p=M+N+1,则(8.8.14)式中a0=1，未知系数ai和bi共有82令上面等式两边z的同幂次项的系数相等，可得到N+M+1个方程：h(0)=b0

h(0)a1+h(1)=b1

h(0)a2+h(1)a1+h(2)=b2

上式表明h(n)是系数ai,bi的非线性函数，考虑到i>M时，bi=0，一般表达式为：(8.8.15)(8.8.16)令上面等式两边z的同幂次项的系83设x(n)为给定的输入信号，yd(n)是相应的希望的输出信号，x(n)和yd(n)长度分别为M和N，实际滤波器的输出用y(n)表示，下面我们按照y(n)和yd(n)的最小均方误差求解滤波器的最佳解，设均方误差用E表示：(8.8.17)(8.8.18)上式中x(n),0≤n≤M1；yd(n)，0≤n≤N-1为选择h(n)使E最小，令设x(n)为给定的输入信号，yd(n84由(8.8.18)式得到(8.8.20)由(8.8.18)式得到(8.8.20)85例8.8.2设计数字滤波器，要求在给定输入x(n)=3,1的情况下，输出yd(n)=1,0.25,0.1,0.01,0。解设h(n)长度为p=4，按照(8.8.20)式，得列出方程：10h(0)+3h(1)=3.253h(0)+10h(1)+3h(2)=0.853h(1)+10h(2)+3h(3)=0.313h(2)+9h(3)=0.03例8.8.2设计数字滤波器，要求在86解联立方程，得h(n)=0.3333,0.0278,0.0426,0.0109

将h(n)以及M=1,N=2代入(8.8.15),(8.8.16)式中，得a1=0.1824,a2=0.1126b0=0.3333,b1=0.0330滤波器的系统函数为解联立方程，得87相应的差分方程为y(n)=0.3333x(n)+0.0330x(n1)0.1824y(n1)+0.1126y(n2)

当x(n)=3,1时，输出y(n)为y(n)=0.9999,0.2499,0.1,0.0099,0.0095,0.0006,0.0012:

将y(n)与给定yd(n)比较，y(n)的前五项与yd(n)的前五项很相近，y(n)在五项以后幅度值很小。相应的差分方程为88第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计89

8.1数字滤波器的基本概念

例：有信号要求用数字方法滤去50Hz的成分解：用T=0.004秒对信号x(t)进行采样（fs=250Hz）则

8.1数字滤波器的基本概念

例：有信号90

输出为五个信号采样值的平均值。输出为五个信号采样值的平均值。91

讨论：（1）可以用数字方法实现滤波（2）在数字滤波中，可以实现“非因果”的处理（3）若本例中改为50Hz和500Hz组成的信号，采样频率为2500Hz，数字滤波的结果是一样的。因此数字滤波时，滤波参数和信号采样频率的相对值有关。非因果系统因果系统讨论：非因果系统因果系统92

8.1数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器的分类数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：(8.1.1)(8.1.2)

8.1数字滤波器的基本概念

1.数字滤波器的分932数字滤波器的技术要求我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数H(ejω)用下式表示：图8.1.2低通滤波器的技术要求2数字滤波器的技术要求图8.1.294通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带内允许的最大衰减用αp表示，阻带内允许的最小衰减用αs表示，αp和αs分别定义为：(8.1.3)(8.1.4)如将|H(ej0)|归一化为1，(8.1.3)和(8.1.4)式则表示成：(8.1.5)(8.1.6)通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数953.数字滤波器设计方法概述IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法是很不相同的。IIR滤波器设计方法有两类，经常用的一类设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。其设计步骤是：先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。3.数字滤波器设计方法概述968.3用脉冲响应不变法设计IIR

数字低通滤波器为了保证转换后的H(z)稳定且满足技术要求，对转换关系提出两点要求：(1)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。8.3用脉冲响应不变法设计IIR

数字低通滤波器97图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系98设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是ha(t)设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：(8.3.1)式中si为Ha(s)的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到ha(t)：(8.3.2)设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),99式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到：(8.3.3)对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)：(8.3.4)设ha(t)的采样信号用ha(t)表示，式中u(t)是单位阶跃函数。对ha(100对进行拉氏变换，得到:式中ha(nT)是ha(t)在采样点t=nT时的幅度值，它与序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到:(8.3.5)对进行拉氏变换，得到:101上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间的映射关系可用下式表示：我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换Ha(jΩ)和其采样信号的傅里叶变换之间的关系满足(1.5.5)式，重写如下：(8.3.6)上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序102将s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得到:(8.3.7)(8.3.8)(8.3.9)将s=jΩ代入上式，得由(8.3.5)式和(8.3.8)式得103上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变换在s平面上沿虚轴按照周期Ωs=2π/T延拓后，再按照(8.3.6)式映射关系，映射到z平面上，就得到H(z)。(8.3.6)式可称为标准映射关系。下面进一步分析这种映射关系。设按照(8.3.6)式，得到:因此得到:(8.3.10)上式表明将模拟信号ha(t)的拉氏变104那么σ=0,r=1σ<0,r<1σ>0,r>1另外，注意到z=esT是一个周期函数，可写成为任意整数那么为任意整数105图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系图8.3.1z=esT,s平面与z平面之间的映射关系106图8.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象图8.3.2脉冲响应不变法的频率混叠现象107假设没有频率混叠现象，即满足按照(8.3.9)式，并将关系式s=jΩ代入，ω=ΩT，代入得到：令假设108一般Ha(s)的极点si是一个复数，且以共轭成对的形式出现，在(8.3.1)式中将一对复数共轭极点放在一起，形成一个二阶基本节。如果模拟滤波器的二阶基本节的形式为极点为(8.3.11)可以推导出相应的数字滤波器二阶基本节(只有实数乘法)的形式为(8.3.12)一般Ha(s)的极点si是一个复数，109如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为(8.3.13)(8.3.14)如果模拟滤波器二阶基本节的形式为极点为(8.110优点：频率坐标的转换是线性的缺点：1）非一一对应的映射，（2）内为一一对应2）存在混叠现象。由于相应的模拟滤波器不是一个带限系统，根据系统一定存在混叠适用（1）衰减特性好的低通带通滤波器（2）系统函数可用极点部分分式表示时优点：频率坐标的转换是线性的111在实际应用中，通常采用修正措施：因为了减少混叠效应，一般选用较高采样频率，取T很小，这样会造成增益过高，故采取措施

在实际应用中，通常采用修正措施：112例8.3.1已知模拟滤波器的传输函数Ha(s)为用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成数字滤波器的系统函数H(z)。解首先将Ha(s)写成部分分式：极点为那么H(z)的极点为例8.3.1已知模拟滤波器的传输113按照(8.3.4)式，并经过整理，得到设T=1s时用H1(z)表示，T=0.1s时用H2(z)表示，则转换时，也可以直接按照(8.3.13),(8.3.14)式进行转换。首先将Ha(s)写成(8.3.13)式的形式，如极点s1,2=σ1±jΩ1,则按照(8.3.4)式，并经过整理，得到转换时114再按照(8.3.14)式，H(z)为再按照(8.3.14)式，H(z)为115图8.3.3例8.3.1的幅度特性图8.3.3例8.3.1的幅度特性116

8.4用双线性变换法设计IIR数字

低通滤波器

为了克服脉冲响应不变法的频率混叠，建立S平面与Z平面之间的一一对应关系，可以采取以下措施：1）将整个S平面压缩到S1平面的一个横向条带内2）将S1平面的一个横向条带变换到整个Z平面S平面1S1平面Z平面

8.4用双线性变换法设计IIR数字

低通滤波器

117

正切变换实现频率压缩：(8.4.1)式中T仍是采样间隔，当Ω1从π/T经过0变化到π/T时，Ω则由∞经过0变化到+∞，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的±π/T之间的转换。这样便有(8.4.2)

正切变换实现频率压缩：(8.4.1)118再通过转换到z平面上，得到：(8.4.3)(8.4.4)再通过转换到119下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。图8.4.1双线性变换法的映射关系下面分析模拟频率Ω和数字频率ω之间的关系。图8.120令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)式中，有(8.4.5)图8.4.2双线性变换法的频率变换关系令s=jΩ,z=ejω，并代入(8.4.3)121图8.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射图8.4.3双线性变换法幅度和相位特性的非线性映射122设设123表8.4.1系数关系表表8.4.1系数关系表124第八章无限脉冲响应数字滤波器的设计(数字信号处理)课件125例8.4.1试分别用脉冲响应不变法和双线性不变法将图8.4.4所示的RC低通滤波器转换成数字滤波器。解首先按照图8.4.4写出该滤波器的传输函数Ha(s)为利用脉冲响应不变法转换，数字滤波器的系统函数H1(z)为例8.4.1试分别用脉冲响应不变法126利用双线性变换法转换，数字滤波器的系统函数H2(z)为H1(z)和H2(z)的网络结构分别如图8.4.5(a),(b)所示。图8.4.5例8.4.1图——H1(z)和H2(z)的网络结构(a)H1(z);(b)H2(z)利用双线性变换法转换，数字滤波器127下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤。(1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。(2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标。

如果采用双线性变换法，边界频率的转换关系为下面我们总结利用模拟滤波器设计IIR数128图8.4.6例8.4.1图——数字滤波器H1(z)和H2(z)的幅频特性图8.4.6例8.4.1图——数字滤波器H1(z)和H129(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。(4)将模拟滤波器Ha(s)，从s平面转换到z平面，得到数字低通滤波器系统函数H(z)。例8.4.2设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2πrad时，容许幅度误差在1dB以内；在频率0.3π到π之间的阻带衰减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。(3)按照模拟低通滤波器的技术指标设130解(1)用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。①数字低通的技术指标为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为T=1s,Ωp=0.2πrad/s,αp=1dB;Ωs=0.3πrad/s,αs=15dB解131③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及3dB截止频率Ωc。③设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N132取N=6。为求3dB截止频率Ωc,将Ωp和αp代入(8.2.17)式，得到Ωc=0.7032rad/s，显然此值满足通带技术要求，同时给阻带衰减留一定余量，这对防止频率混叠有一定好处。根据阶数N=6，查表8.2.1，得到归一化传输函数为为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)中，得到实际的传输函数Ha(s),取N=6。为求3dB截止频率Ωc,133④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z)。首先将Ha(s)进行部分分式，并按照(8.3.11)式、(8.3.12)式，或者(8.3.13)式和(8.3.14)式，得到：④用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成H(z134图8.4.7例8.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的幅度特性图8.4.7例8.4.2图——用脉冲响应不变法设计的数字135(2)用双线性变换法设计数字低通滤波器。①数字低通技术指标仍为ωp=0.2πrad,αp=1dB;ωs=0.3πrad,αs=15dB②模拟低通的技术指标为(2)用双线性变换法设计数字低通滤波136③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：取N=6。为求Ωc,将Ωs和αs代入(8.2.18)式中，得到Ωc=0.7662rad/s。这样阻带技术指标满足要求，通带指标已经超过。③设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下137根据N=6，查表8.2.1得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/Ωc代入Ha(p)，得实际的Ha(s)，④用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z)：根据N=6，查表8.2.1得到的归138图8.4.8例8.4.2图——用双线性变换法设计的数字低通滤波器的幅度特性图8.4.8例8.4.2图——用双线性变换法设计的数字低139

8.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计

例如高通数字滤波器等。具体设计步骤如下：(1)确定所需类型数字滤波器的技术指标。(2)将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，转换公式为

8.5数字高通、带通和带阻滤波器的设计

140(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标(具体转换公式参考本章8.2节)。(4)设计模拟低通滤波器。(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。(6)采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。(3)将所需类型模拟滤波器技术指标141例8.5.1设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率ωs=0.44πrad,阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特沃斯型滤波器。解(1)数字高通的技术指标为ωp=0.8πrad,αp=3dB;ωs=0.44πrad,αs=15dB例8.5.1设计一个数字高通滤波142(2)模拟高通的技术指标计算如下：令T=1，则有(3)模拟低通滤波器的技术指标计算如下：(2)模拟高通的技术指标计算如下：143将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp,(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤波器的阶数N计算如下：将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，144查表8.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为为去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到：(5)将模拟低通转换成模拟高通。将上式中G(s)的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：查表8.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为145(6)用双线性变换法将模拟高通H

(s)转换成数字高通H(z)：实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即(6)用双线性变换法将模拟高通H146例8.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad到0.4πrad，通带内最大衰减为3dB，0.2πrad以下和0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴特沃斯型模拟低通滤波器。解(1)数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率ωu=0.4πrad通带下截止频率ωl=0.3πrad例8.5.2设计一个数字带通滤波器147阻带上截止频率ωs2=0.5πrad阻带下截止频率ωs1=0.2πrad通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。阻带上截止频率148(2)模拟带通滤波器技术指标如下：设T=1，则有(通带中心频率)(带宽)(2)模拟带通滤波器技术指标如下：(通带149将以上边界频率对带宽B归一化，得到ηu=3.348,ηl=2.348;ηs2=4.608,ηs1=1.498;η0=2.804(3)模拟归一化低通滤波器技术指标：归一化阻带截止频率归一化通带截止频率λp=1αp=3dB,αs=18dB将以上边界频率对带宽B归一化，得到归一化通带截150(4)设计模拟低通滤波器：查表8.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),(4)设计模拟低通滤波器：查表8.2.1151(5)将归一化模拟低通转换成模拟带通：(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：(5)将归一化模拟低通转换成模拟带152将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p等式代入G(p)中，得将上式代入(5)中的转换公式，得将上面的p153例8.5.3设计一个数字带阻滤波器，通带下限频率ωl=0.19π,阻带下截止频率ωs1=0.198π，阻带上截止频率ωs2=0.202π，通带上限频率ωu=0.21π，阻带最小衰减αs=13dB，ωl和ωu处衰减αp=3dB。采用巴特沃斯型。解(1)数字带阻滤波器技术指标：ωl=0.19πrad,ωu=0.21πrad,αp=3dB;ωs1=0.198πrad,ωs2=0.202πrad,αs=13dB例8.5.3设计一个数字带阻滤波154(2)模拟带阻滤波器的技术指标：设T=1，则有阻带中心频率平方为Ω20=ΩlΩu=0.421阻带带宽为

B=Ωu-Ωl=0.07rad/s(2)模拟带阻滤波器的技术指标：阻带155将以上边界频率对B归一化：ηl=8.786,ηu=9.786,ηs1=9.186,ηs2=9.386;η20=ηlηu=85.98(3)模拟归一化低通滤波器的技术指标：按照(8.2.48)式，有λp=1,αp=3dB将以上边界频率对B归一化：156(4)设计模拟低通滤波器：(5)将G(p)转换成模拟阻带滤波器Ha(s)：(4)设计模拟低通滤波器：(5)157(6)将Ha(s)通过双线性变换，得到数字阻带滤波器H(z)。(6)将Ha(s)通过双线性变换1588.6IIR数字滤波器的直接设计法1.零极点累试法称为零极点累试法。在确定零极点位置时要注意：(1)极点必须位于z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定；(2)复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。8.6IIR数字滤波器的直接设计法159图8.8.1例8.8.1图(a)零极点分布；(b)幅度特性图8.8.1例8.8.1图1602.在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成，系统函数用H(z)表示，(8.8.1)式中，A是常数；ai,bi,ci,di是待求的系数；Hd(ejω)是希望设计的滤波器频响。如果在(0，π)区间取N点数字频率ωi,i=1,2,:,N，在这N点频率上，比较|Hd(ejω)|和|H(ejω)|，写出两者的幅度平方误差E为(8.8.2)2.在频域利用幅度平方误差最小法直接161而在(8.8.1)式中共有(4K+1)个待定的系数，求它们的原则是使E最小。下面我们研究采用(8.8.1)式网络结构，如何求出(4K+1)系数。按照(8.8.2)式，E是(4K+1)个未知数的函数，用下式表示：上式θ表示4K个系数组成的系数向量。为推导公式方便，令(8.8.3)而在(8.8.1)式中共有(4K+1162为选择A使E最小，令(8.8.4)设θk是θ的第k个分量(ak或bk或ck或dk)，(8.8.5)因为,式中H*i表示对Hi函数共轭。(8.8.6)为选择A使E最小，令(8.8.4)设163将上式具体写成对ak,bk,ck,dk的偏导，得到：(8.8.7)式中，k=1,2,3,:,K；i=1,2,3,:,N。