高考总总结复习椭圆标准方程

高中高考总总结复习椭圆的标准方程高中高考总总结复习椭圆的标准方程高中高考总总结复习椭圆的标准方程高考总复习椭圆的标准方程一、本小节主要介绍以下几种题型题型一：已知a，c，求椭圆方程题型二：已知a，b，求椭圆方程题型三：已知椭圆过两点，求椭圆方程题型四：已知椭圆过一点和c，求椭圆方程题型五：弦中点问题，求椭圆方程题型六：平面图形的几何意义求椭圆方程题型七：与准线相关的椭圆方程题型八：与离心率相关的椭圆方程题型九：与正余弦定理相关的椭圆方程题型十：已知弦长求椭圆题型十一：已知三角形面积最值求椭圆方程二、典型例题题型一：已知a，c，求椭圆方程1、已知椭圆的焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1＋PF2＝2F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1＋PF2＝2F1F2＝2×2＝4，得2a＝4.又c＝1，因此b2＝3.y2x2因此椭圆的标准方程是4＋3＝1.练习题：1、已知椭圆的两个焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，且2a＝10，求椭圆的标准方程．解：由椭圆定义知c＝1，∴b＝52－1＝24.x2y2∴椭圆的标准方程为25＋24＝1.2、已知A(uuuruuur3,0),B(3,0)，动点P满足PAPB4.求动点P的轨迹C的方程；解：动点P的轨迹C的方程为x2y21；4题型二：已知a，b，求椭圆方程例2、椭圆的一个极点为A2，0，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．解：（1）当A2，0为长轴端点时，a2，b1，椭圆的标准方程为：x2y21；41（2）当A2，0为短轴端点时，b2，a4，椭圆的标准方程为：x2y21；416练习题：1、已知椭圆的中心在原点，且经过点P3，0，a3b，求椭圆的标准方程．解：椭圆的方程为x2y21也许y2x21．9819题型三：已知椭圆过两点，求椭圆方程例3、焦点在坐标轴上，且经过点A(3，－2)和B(－23，1)22解：设所求椭圆方程为mx＋ny＝1，(m＞0，n＞0且m≠n)．由A(3，－2)和B(－23，1)两点在椭圆上可得m(3)2n(2)21m(23)2n1213m4n1m1x2y2即，解得15故所求的椭圆方程为12mn1115＝1．n55题型四：已知椭圆过一点和c，求椭圆方程x2y2例4、求过点(－3,2)且与椭圆9＋4＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为

2c＝9－4＝5，因此设所求椭圆的标准方程为

x2y2a2＋a2－5＝1.942由点(－3,2)在椭圆上知a2＋a2－5＝1，因此a＝15.因此所求椭圆的x2y2标准方程为15＋10＝1.练习题：1、（2009辽宁卷文、理）已知,椭圆C经过点A(1,),两个焦点为(－1,0),(1,0).求椭圆C的方程;解:由题意,c＝1,可设椭圆方程为,因为A在椭圆上,因此,解得b2＝3,(舍去).因此椭圆方程为.题型五：弦中点问题，求椭圆方程例5、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线xy10交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为x2y21，a2xy102由2，得1ax222x0，xy21aa2∴xMx1x21a2a2，yM1xM112，2akOMyM11，∴a24，∴x2y21为所求．xMa244练习题：1、已知中心在原点，一焦点为F(0,50)的椭圆被直线l:y3x2截得的弦的中点的横坐标为1，求椭圆的方程。2解：设椭圆的方程为y2x21，则a2b250┅┅①a2b2设弦端点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，弦PQ的中点M(x0,y0)，则x01，y03x021x1x22x01，y1y22y0122又y2x21，y22x22111a2b2a2b2两式相减得b2(y1y2)(y1y2)a2(x1x2)(x1x2)0即b2(y1y2)a2(x1x2)0y1y2a2a23┅┅②x1x2b2b2联立①②解得a275，b225所求椭圆的方程是y2x2175252、已知椭圆x2y21ab0的一条准线方程是x1，有一条倾斜a2b2角为的直线交椭圆于A、B两点，若AB的中点为C1,1，求椭圆424方程.解设Ax1,y1、Bx2,y2，则x1x21,y1y21，2且x12y121，（1）x22y221，（2）a2b2a2b212得：x12x22y12y22，y1y2b2x1x2b21，a2b2x1x2a2y1y2a2121kABy1y22b2，a22，（3）x1x2a22b又a21，a2c，（4）而a2b2c2，（5）c由（3），（4），（5）可得a21,b21，所求椭圆方程为x2y21241124题型六：平面图形的几何意义求椭圆方程例6、已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为45和25，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一33个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F1、F2，且PF145，PF225．从椭圆定义知332aPF1PF225．即a5．从PF1PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，因此在RtPF2F1中，PF21，sinPF1F22PF1可求出PF1F2，2cPF1cos25，从而b2a2c210．6633∴所求椭圆方程为x23y213x2y21510或105例7、已知定点A（－2，0），动点B是圆F:(x2)2y264（F为圆心）上一点，线段AB的垂直均分线交BF于P.求动点P的轨迹方程；解：（1）由题意：∵|PA|=|PB|且|PB|＋|PF|=r=8|PA|＋|PF|=8＞|AF|P点轨迹为以A、F为焦点的椭圆设方程为x2y21(ab0)a2b22a8,a4,a2b2c2224b212P点轨迹方程为x2y21161222例8、已知椭圆E：x2y21(ab0)的右焦点F，过原点和x轴不ab重合的直线与椭圆E订交于A，B两点，且AFBF22，AB最小值为2。求椭圆E的方程；解：设Ax0,y0（x0,y0）（c,0）c2a2b2则BFAFBF2a22a2x022AB2x0222b22b2c2x02a22y02x01a2a20x0ABmin2b2b1因此有椭圆E的方程为x2y212例9、已知椭圆的中点在原点O，焦点在x轴上，点A(23,0)是其左极点，点C在椭圆上且ACCO0,|AC||CO|.求椭圆的方程；解：设椭圆的标准方程为x2y21(ab0),a2b2左极点A(23,0),ACCO,|AC||CO|.a212,点C(3,3),又∵C在椭圆上，331,b24,∴椭圆的标准方程为x2y21.12b2124练习题：1、已知点A、B、C是椭圆E：x2y21(ab0)上的三点，其中点a2b2A(23,0)是椭圆的右极点，直线uuuruuur0，BC过椭圆的中心O，且ACgBCuuuruuurBC2AC，如图。求点C的坐标及椭圆E的方程；解：(I)uuuruuur，且BC过椭圆的中心QBC2ACuuuruuuruuuruuur0ACOOOCACQACgBC2又QA(23,0)点C的坐标为(3,3)。QA(23,0)是椭圆的右极点，a23，则椭圆方程为：x2y21将点C(3,3)代入方程，得b24，12b2椭圆E的方程为x2y21124题型七：与准线相关的椭圆方程例10、已知椭圆x2y21(ab0)的左右焦点分别为F1,F2，离心率a2b2，右准线方程为x2．求椭圆的标准方程；2c2{a22解：有条件有a2，解得a2，c=1．cba2c21．因此，所求椭圆的方程为x2y212练习题：1、椭圆的中心是原点O，它的短轴长为22，相应于焦点F（c,0）（c>0）的准线（准线方程x＝

a2c

其中a为长半轴，c为半焦距）与x轴交于点A，OF2FA，求椭圆方程；解：由已知得b2,c2(a2c)，解得：c24,a26c所求椭圆方程为x2y21622、已知椭圆C的中心为坐标原点，F1、F2分别为它的左、右焦点，直线x=4为它的一条准线，又知椭圆C上存在点M使2MF1MF2|MF1||MF2|,|MF1||MF2|.求椭圆C的方程；解：（1）据题意，设椭圆C的方程为x2y21(ab0),ca2b2，a2b2∵直线x=4为椭圆C的准线，∴a24c又|MF1||MF2|，∴M为椭圆C短轴上的极点，∵|MF1||MF2|2MF1MF2,cosF1MF2MF1MF21，|MF1||MF2|2F1MF260，△F1MF2为等边三角形∴a|MF1||MF1|2，故a242,2,c1ccaa且b2a2c22213，∴椭圆C的方程为x2y214133、（山东06文）已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，两准线间的距离为4。求椭圆的方程；解：设椭圆方程为x2y21(ab0).a2b2bca22由已知得2a24b21cc21a2b2c2所求椭圆方程为x2y21.2题型八：与离心率相关的椭圆方程例11、（07西理）已知x2y21(ab0)的离心率6，a2b2323，求的方程；解：（1）的半焦距c，c6,解得c2依意a3a3由a2b2c2,得b1.所求方程x2y21.3：1、已知的离心率，且点．求C的方程；解：依照意有：解得：∴C的方程=12、已知的左焦点F（，0），离心率e=，M、N是上的点．求准方程；解：由可知：，∴a=2，c=⋯2分∴b2=a2c2=2⋯3分∴的准方程：⋯4分3、已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个极点恰好是抛物线y1x2的焦点，离心率为25．求椭圆C的标准方程；45解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b=1.∴椭圆C的方程为题型九：与正余弦定理相关的椭圆方程例12、已知点A(－1，0)、B(1，0)和动点M满足：AMB2，且|AM||BM|cos23，动点M的轨迹为曲线C，过点B的直线交C于P、Q两点．求曲线C的方程；解：设M(x，y)，在△MAB中，|AB|=2，AMB2∴|AM|2|BM|22|AM||BM|cos24即(|AM||BM|)22|AM||BM|(1cos2)4|AM||BM|4因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，a=2，c=1∴曲线C的方程为x2y21．43题型十：已知弦长求椭圆例13、已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆订交于点P和点Q，且OP⊥OQ，|PQ|=10，求椭圆方程.222解：设椭圆方程为mx+ny=1（m>0，n>0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），解方程组=x+1，mx2+ny2=1.消去y，整理得（m+n）x2+2nx+n－1=0.=4n2－4（m+n）（n－1）>0，即m+n－mn>0，OP⊥OQx1x2+y1y2=0，x1x2（+x1+1（）x2+1）=0，2x1x2（+x1+x2）+1=0，∴2(n1)－2n+1=0.mnmnm+n=2.①由弦长公式得2·4(mnmn)=（10），将m+n=2代入，得m·n=3.2(mn)224②m=1，m=3，2或2解①②得n=1.n=322∴椭圆方程为x2+3y2=1或3x2+y2=1..2222题型十一：已知三角形面积最值求椭圆方程例14、已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的离心率为2，F1,F22为其焦点，素来线过点F1与椭圆订交于A,B两点，且F2AB的最大面积为2，求椭圆的方程。解：由e＝2得a:b:c2:1:1，因此椭圆方程设为x22y22