高中数学抛物线高考经典例题教案

高中数学抛物线高考经典例题教学设计高中数学抛物线高考经典例题教学设计20/20高中数学抛物线高考经典例题教学设计优选文档1抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．抛物线的图形和性质：①极点是焦点向准线所作垂线段中点。②焦准距：FKp③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p。④极点均分焦点到准线的垂线段：OFOKp。M22⑤焦半径为半径的圆：以P为圆心、FP为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F、C准线是公切线。NKo⑥焦半径为直径的圆：以焦半径FP为直径的圆必与过极点垂直于轴的直线相切。所有这样FM1的圆过定点F、过极点垂直于轴的直线是公切线。Q⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦PQ为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。3抛物线标准方程的四种形式：

Py22px，y22px，22py，x22py。x4抛物线y22px的图像和性质：①焦点坐标是：p，，20②准线方程是：xp。2③焦半径公式：若点P(x0,y0)是抛物线y22px上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为焦半径）是：PFx0p，2pp④焦点弦长公式：过焦点弦长PQx2x1x1x2p22⑤抛物线y22px上的动点可设为P(y2,y)或P(2pt2,2pt)或P(x,y)其中y22px2p一般情况归纳：方程图象焦点准线定义特点y2=kxk>0时张口向右到焦点(k/4,0)的距离等于(k/4,0)x=─4k/到准线x=─4k/的距离k<0时张口向左x2=kyk>0时张口向上(0,k/4)y=─4k/到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y=─4k/的距离k<0时张口向下

y2Ko1

PxQ.优选文档抛物线的定义：例1：点M与点F(－4，0)的距离比它到直线l：x－6=0的距离4.2，求点M的轨迹方程．解析：点到点F的距离与到直线=4的距离恰好相等，吻合抛物线定义．Mx答案：y2=－16x例2：斜率为1的直线l经过抛物线2=4x的焦点，与抛物线订交于点、，求线段、B的yABA长．解析：这是灵便运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转变为求A、B两点到准线距离的和．解：如图8－3－1，y2=4x的焦点为F(1，0)，则l的方程为y=x－1．由y24x消去2y得x－6x+1=0．x1设A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1+x2=6．又A、B两点到准线的距离为A，B，则AABBx11x21x1x22628谈论：抛物线的定义自己也是抛物线最实质的性质，在解题中起到至关重要的作用。例3:(1)已知抛物线的标准方程是2y=10x，求它的焦点坐标和准线方程；已知抛物线的焦点是F(0，3)求它的标准方程；2(3)已知抛物线方程为y=－mx(m>0)求它的焦点坐标和准线方程；(4)求经过P(－4，－2)点的抛物线的标准方程；解析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时第一分清属哪一种标准型，再录求P值(注意p>0)．特别是(3)题，要先化为标准形式：x21y，则2p1mm

．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下张口的两条，因此有两解．答案：(1)F5，0，x5．(2)x2=12y(3)F0，1，y1；(4)y2=－x或x2=－8y．224m4m例4求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：（1）过点（－3，2）；（2）焦点在直线x－2y－4=0上解析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实质解析，一般需确定p和确定张口方向两个条件，否则，应张开相应的谈论解：（1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0），∵过点（－3，2），4=－2p（－3）或9=2p·2p=2或p=934∴所求的抛物线方程为y2=－4x或x2=9y，前者的准线方程是x=1，后者的准线方程是y=－932382）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2）当焦点为（4，0）时，p=4，2∴p=8，此时抛物线方程y2=16x；.x=－4，y=2优选文档焦点为（0，－2）时，p=2，2∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是常用结论①过抛物线y2＝2px的焦点F的弦AB长的最小值为2p②设A(x1，y)，1B(x2，y2)是抛物线y2＝2px上的两点，则AB过F的充要条件是y1y2＝－p2③设A，B是抛物线y2＝2px上的两点，O为原点，则OA⊥OB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)例2的极点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x，y2ypxpBxyyyp112212解析：由OA⊥OB，获取OA、OB斜率之积等于－1，从而获取x1、x2，y1、y2之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x1，y1)、(x2，y2)满足抛物线方程．从这几个关系式可以获取y1、y2的值．证：由OA⊥OB，得KKy1y21，即y1y2=－x1x2，又xy12y22y12y22，即OAOB，x，因此：x1x2x212p22p4p2x1y12y22．而y1y2≠0．因此y1y22．y1y24p2=－4p弦的问题例1A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，满足OAOB(O为坐标原点)求证：(1)A,B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值；(2)直线AB经过一个定点(3)作OMAB于M，求点M的轨迹方程解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2,∵OAOB,∴x1x2+y1y2=0,由此即可解得：22x1x2=4p,y1y2=─4p(定值)y2y1=y2y1=2p,(2)直线AB的斜率k=x122x21y2y2y1y2p2p∴直线AB的方程为y─y12py12y2y12p2p即y(y1+y2)─y12=2px,由(1)可得y=(x─2p),y1y2直线AB过定点C(2p,0)2p(3)解法1:设M(x,y),由(2)知y=(x─2p)(i),y1y2又ABOM,故两直线的斜率之积为─1,即2p·y=─1(ii)y1y2x.优选文档22(x0)由(i),(ii)得x─2px+y=0解法2:由OMAB知点M的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点)马上可求出例2定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上搬动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=x1x2,y=y1y2,22又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x1+11,|BF|=|BB/|=x2+,44∴x=11211115222224等号在直线AB过焦点时建立，此时直线AB的方程为1y=k(x─)4y1k(x)由4y2x

2222得16kx─8(k+2)x+k=0依题意|AB|=1k2|x1─x2|=1k2×=1k22k2=3,16k∴k2=1/2,此时x=18(k22)5(x1+x2)=2=2216k4∴y=±2即M(5,2),N(5,─2)24242例3设一动直线过定点A(2,0)且与抛物线yx22订交于B、C两点,点B、C在x轴上的射影分别为B1,C1,P是线段BC上的点,且适合BPBB1,求POA的重心Q的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形PCCC1解析:设B(x1,y1),C(x2,y2),P(x0,y0),Q(x,y)BPBB1y1y1y1y22y1y2,y0y2PCCC1y2y1y1y21y2由yx22得y2(k24)y6k20yk(x2)ky026k212k①k24kk4.优选文档y0k代入①式得y04x04②又x02xx023x03x2由y0得3y代入②式得:12x3y40yy03由0得k426或k426,又由①式知y0关于k是减函数且y0121246y01246,446463y4且y43因此Q点轨迹为一线段(抠去一点):12x3y40(446y446且y4)33例4已知抛物线y22px,(p0),焦点为F,素来线l与抛物线交于A、B两点,且AFBF8,且AB的垂直均分线恒过定点S(6,0)①求抛物线方程;②求ABS面积的最大值解:①设(,),(,),AB中点Ax1y1Bx2y2M(x0,y0)由AFBF8得x1x2y122px1y22又得y12y222px2因此M(4p,p)依题意2k

p8,x04p22p(x1x2),y0pkpkk1,p4p642抛物线方程为y28x②由M(2,y0)及kl4,lAB:yy04(x2)y0y0令y0得xK21y024又由y28x和lAB:yy04(x2)得:y22y0y2y02160y0SABS1KSy2y11(41y02)4y024(2y0216)224.优选文档SABS1(16y02)(322y02)2(64)364642839例5定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上搬动，AB的中点为M，求点M到y轴的最短距离，并求此时点M的坐标解：如图，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y),则x=x12x2,y=y1y2,2又设点A，B，M在准线l:x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/,MM/与y轴的交点为N，则|AF|=|AA/|=x11|=x1+,|BF|=|BB/2+,441111(|AB|15∴x=(x1+x2)=(|AF|+|BF|─)2─)=22224等号在直线AB过焦点时建立，此时直线AB的方程为1y=k(x─)4yk(x1)由4y2x

2222得16kx─8(k+2)x+k=0依题意|AB|=1k2121k2×1k2=3,2k216k∴k2=1/2,此时x=18(k22)52(x1+x2)=16k2=24∴y=±2即M(5,2),N(5,─2)24242综合类(几何)例1过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，经过点P和抛物线极点的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，若是相等，则MQ//x轴，为此，将方程y22px,yk(xp)联立，2解出P(p(k211)2,p(1k21)),Q(p(k211)2,p(1k21))2k2k2k2k直线OP的方程为y2k(1k21)x,即y2(1kk21)x.(k211)2令xp，得M点纵坐标yMp(1k21)yQ得证．2k.优选文档因此可知，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“若是过抛物线y22px的焦点的一条直线和这条抛物线订交，两上交点的纵坐标为y1、y2，那么y1y2p2”来证．设P(x1,y1)、Q(x2,y2)、M(x3,y3)，并从y22px及yk(xp)中消去x，获取ky22pykp20，则有结论2y1y2p2，即y2p2．y1又直线OP的方程为yy1x，xp，得y3py1．x122x1由于P(x1,y1)在抛物线上，因此2x1y12．ppy1(py1)pp2y2．从而y32y12x1y1这一证法运算较小．2思路三：直线MQ的方程为yyo的充要条件是M(p,y0),Q(y0,y0)．22p将直线MO的方程y2y0和直线QF的方程y2py0(xp)联立，它的解（x,y）就是点P的坐标，消去yo的yo2p2p2充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思想，运算量也较小．说明：此题中过抛物线焦点的直线与x轴垂直时（即斜率不存在），简单证明建立．例2已知过抛物线y22px(p0)的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，点R是含抛物线极点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积．解析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为1的弦长为定值，故可以AB为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设AB所在的直线方程为yp．x2将其代入抛物线方程y22px，消去x得y22pyp20AB2y1y22(y1y2)24y1y24p当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值．设直线l方程为yxb．代入抛物线方程得y22py2pb0由4p28pb0,得bp，这时R(p,p)．它到AB的距离为h2p222.优选文档∴△RAB的最大面积为1ABh2p2．2例3直线l1过点M(1,0)，与抛物线y24x交于P1、P2两点，P是线段P1P2的中点，直线l2过P和抛物线的焦点F，设直线l1的斜率为k．（1）将直线l2的斜率与直线l1的斜率之比表示为k的函数f(k)；（2）求出f(k)的定义域及单调区间．解析：l2过点P及F，利用两点的斜率公式，可将l2的斜率用k表示出来，从而写出f(k)，由函数f(k)的特点求得其定义域及单调区间．解：（1）设l1的方程为：yk(x1)，将它代入方程y24x，得k2x2(2k24)xk20设P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、(,)x1x242k22k2Pxy，则k2,xk2将x2k2代入yk(x1)得：y2，即P点坐标为(2k22)．k2kk2,k2k由y24x，知焦点F(1,0)，∴直线l2的斜率k2k2k21k21k2∴函数f(k)1．1k2（2）∵l2与抛物线有两上交点，∴k0且(2k24)24k40解得1k0或0k1∴函数f(k)的定义域为k1k0或0k1当k(1,0)时，f(k)为增函数．例4以下列图：直线l过抛物线y22px的焦点，并且与这抛物线订交于、AB两点，求证：关于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直均分线．解析：此题所要证的命题结论可否定形式，一方面可依照垂直且平摆列方程得矛盾结论；别一方面也可以依照l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论．证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，由于直线l与抛物线交于A、B两点，因此直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为0．.优选文档设C、D的坐标分别为(2pt12,2pt1)与(2pt22,2pt2)．则kCD1t1t2∴l的方程为y(t1t2)(xp)∵直线l均分弦CD2∴CD的中点((22),(t1t2))在直线l上，pt1t2p即p(t1t2)(t1t2)[p(t12t22)p]，化简得：p(t1t2)(t12t221)0122由p(t1t2)0知t12t220获取矛盾，因此直线l不可以能是抛物线的弦CD的垂直均分线．2证法二：假设直线l是弦CD的垂直均分线∵焦点F在直线l上，∴CFDF由抛物线定义，C(x1,y1),D(x2,y2)到抛物线的准线xp的距离相等．2∵x1x2,y1y2，∴CD的垂直均分线l：y0与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略．例5设过抛物线y22px(p0)的极点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线极点O在AB上射影N的轨迹方程．解析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看作定点(x0,y0)；待求得x0、y0的关系后再用动点坐标(x，y)来表示，也可结合几何知识，经过巧妙代替，简化运算．解法一：设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),则：y122px1,y222px2，x1x2y12y224p2OAOB，kOAkOB1即x1x2y1y20y12y22y1y204p2y1y20，y1y24p2①把N点看作定点，则AB所在的直线方程为：yy0x0(xx0),显然x00y0xy0y(xy02)代入y22px,化简整理得：x0y22py0y2p(x02y02)0x0.优选文档x002p(x02y02)，y1y2x0②由①、②得：4p22p(x02y02)，化简得x02y022px00(x00)x0用x、y分别表示x0、y0得：x2y22px0(x0)解法二：点N在以OAOB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设2,2pt)，则以OA为直径的圆方程为：、A(2pt(xpt2)2(ypt)2p2(t4t2)x2y22pt22pty0①设B(22,2pt1)，OA⊥OB，则t1t11pt1t1t在求以OB为直径的圆方程时以1代t1，可得tt2(x2y2)2px2pty0②由①＋②得：(1t2)(x2y22px)0x2y22px0(x0)例6以下列图，直线l1和l2订交于点M，l1⊥l2，点Nl1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，AM7，AN3，且BN6，建立适合的坐标系，求曲线段C的方程．解析：由于曲线段C上的任一点是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，因此此题重点是建立适合坐标系，确定C所满足的抛物线方程．解：以l1为x轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系．由题意，曲线段C是N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段的两端点．∴设曲线段C满足的抛物线方程为：2其中、B的横坐标y2px(p0)(xAxxB,y0),xA、xB为A令MNp,则M(p,0),N(p,0)，AM17,AN322.优选文档(xAp)22pxA17∴由两点间的距离公式，得方程组：2p)2(xA2pxA92p4p2解得1或2xAxA∵△AMN为锐角三角形，∴pxA，则p4，xA12又B在曲线段C上，xBBNp2462则曲线段C的方程为y28x(1x4,y0).例7以下列图，设抛物线y22px(0p1)与圆(x5)2y29在x轴上方的交点为A、B，与圆(x6)2y227在x由上方的交点为C、D，P为ABQCDPQ．（2）求△ABQ中点，为的中点．（1）求面积的最大值．解析：由于P、Q均为弦AB、CD的中点，故可用韦达定理表示出P、Q两点坐标，由两点距离公式即可求出PQ．解：（1）设A(xA,yA),B(xB,yB),C(xC,yC),D(xD,yD),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x5)2y292(5p)x160，由2px得：x2y2xAxB5Px12yAyB2pxAxB)y1(222pxB2xAxBxA22p2(5p)829pp2.优选文档由(x6)2y227得x22(6p)x90，y22pxxCxD6px22yCyD2pxD)y2(xC22同y1近似，y29pp2则x1x21,y1y20，PQ1（2）SABQSAPQSBPQ1PQyAyB2PxAxB222P102p8p(1p)20p1，∴当p1时，SABQ取最大值1．22例8已知直线l过原点，抛物线C的极点在原点，焦点在x轴的正半轴上，且点A(1,0)和点B(0,8)关于直线l的对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．解析：设出直线l和抛物线C的方程，由点A、B关于直线l对称，求出对称点的坐标，分别代入抛物线方程．或设B'Ox，利用对称的几何性质和三角函数知识求解．解法一：设抛物线C的方程为y22px(p0)，直线l的方程为ykx(k0)，则有点A(1,0)，点B(0,8)关于直线l的对称点为A'(x1,y1)、B'(x2,y2)，y1x11x1k212k2,k2,则有解得1y1k1,y12kx11k2;1y28kx2,16k,22x22解得k1y288(k21)1,x2ky2k2.1.优选文档如图，A'、B'在抛物线上4k22pk21,(k21)2k21∴16k.64(k21)22p(k21)2k21两式相除，消去p，整理，得k2k10，故k15，2由p0，k0，得k15．把k15252代入，得p5．2∴直线l的方程为y15x，抛物线C的方程为y245x．25解法二：设点A、B关于l的对称点为A'(x1,y1)、B'(x2,y2)，又设B'Ox，依题意，有OA'OA1，OB'OB8．故x28cos，y28sin．由BOA90，知B'OA'90．∴x1cos(90)sin，y1sin(90)cos．又x10，x20，故为第一象限的角．∴A'(sin,cos)、B'(8cos,8sin)．将A'、B'的坐标代入抛物线方程，得cos22psin,64sin216pcos.∴8sin3cos3，即tan1从而sin5，cos25，255∴p25，得抛物线C的方程为y245x．55.优选文档又直线l均分B'OB，得l的倾斜角为9045．22∴ktan(45)sin(90)cos151cos(90)1sin．22∴直线l的方程为y15x．2说明：(1)此题属于点关于直线的对称问题．解法一是解对称点问题的基本方法，它的思路明确，但运算量大，若不仔细、沉着，难于解得正确结果．解法二是利用对称图形的性质来解，它的技巧性较强，一时难于想到．(2)此题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程．在已知曲线的种类求曲线方程时，这种方法是最老例方法，需要重点掌握．例9如图，正方形ABCD的边AB在直线l：yx4上，C、D两点在抛物线y2x上，求正方形ABCD的面积．解析：此题观察抛物线的看法及其地址关系，方程和方程组的解法和数形结合的思想方法，以及解析问题、解决问题的能力．解：∵直线AB：yx4，AB//CD，∴设CD的方程为yxb，且C(x1,y1)、D(x2,y2)．由方程组y2x，消去x，得y2yb0，于是yxby1y21，y1y2b，∴CD11y1y2(其中k1)k2∴2()242(14)．CDy1y2y1y2b由已知，ABCD为正方形，CDAD，∴CD可视为平行直线AB与CD间的距离，则有CD4b，于是得2(14b)4b．22两边平方后，整理得，b28b120，∴b6或b2．当b6时，正方形ABCD的面积S22(124)50CD．.优选文档当b2时，正方形ABCD的面积SCD22(18)18．∴正方形ABCD的面积为18或50．说明：运用方程（组）的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿向来的方法，此题应充分考虑正方形这一条件．例10设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于抛物线轨道的焦点处，当此彗星离地球为d104km时，经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为30，求这彗星与地球的最短距离．解析：利用抛物线有关性质求解．解：如图，设彗星轨道方程为y22px，p0，焦点为F(p,0)，2彗星位于点P(x0,y0)处．直线PF的方程为y3(xp)．32y22px,(743)p解方程组得x3(xp),2，y32故x0(743)p2．PF23|x0p|23|(743)pp|(423)p．32322故(423)pd，得p23d．2由于极点为抛物线上到焦点距离近来的点，因此极点是抛物线上到焦点距离近来的点．焦点到抛物线极点的距离为p23d，因此彗星与地球的最短距离为23d104km或23d104km，（P点在F点的左边与右边时，所2444求距离取不同样的值）．说明：(1)此题结论有两个，不要漏解；(2)此题用到抛物线一个重要结论：极点为抛物线上的点到焦点距离近来的点，其证明以下：设P(x0,y0)为抛物线y22px上一点，焦点为F(p,0)，准线方程为xp，依抛物线定义，有PFpx0p(x00)，当x00时，2222.优选文档PF最小，故抛物线上到焦点距离近来的点是抛物线的极点．例11如图，抛物线极点在原点，圆x2y24x的圆心是抛物线的焦点，直线l过抛物线的焦点，且斜率为2，直线l交抛物线与圆依次为A、B、C、D四点，求ABCD的值．解析：此题观察抛物线的定义，圆的看法和性质，以及解析问题与解决问题的能力，此题的重点是把ABCD转变为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题．解：由圆的方程x2y24x，即(x2)2y24可知，圆心为F(2,0)，半径为2，又由抛物线焦点为已知圆的圆心，获取抛物线焦点为F(2,0)，设抛物线方程为y28x，ABCDADBC∵BC为已知圆的直径，∴BC4，则ABCDAD4．设(,y1)、D(x2,y2)，∵ADAFFD，而A、D在抛物线上，Ax1由已知可知，直线l方程为y2(x2)，于是，由方程组y28,消去y，得x26x40，∴x1x26．y2(x2).∴AD6410，因此，ABCD1046．说明：此题若是分别求AB与CD则很麻烦，因此把ABCD转变为ADBCAD4是重点所在，在求AD时，又巧妙地运用了抛物线的定义，从而防备了一些繁琐的运算．11.已知抛物线y2=2px(p>0)，过焦点F的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线订交于A、B两点.2p;（1）求证：|AB|=2sin求|AB|的最小值.（1）证明：如右图，焦点F的坐标为F（p,0）.2.优选文档设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y=tanθ·（x-p）,与抛物线方程联立，消去y并整理，得2tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+p2?tan2=0.4此方程的两根应为交点A、B的横坐标，依照韦达定理，有2pptan2.x1+x2=tan2设A、B到抛物线的准线x=-p的距离分别为|AQ|和|BN|，依照抛物线的定义，有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p=2p.2sin2（2）解析：因|AB|=2p的定义域是0<θ<π，又sin2θ≤1，sin2因此，当θ=时，|AB|有最小值2p.212.已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB被焦点F分成m、n两部分，求证：11为定值，此题若实行到椭圆、双曲mn线，你能获取什么结论？解析：（1）当AB⊥x轴时，m=n=p，∴11=2.mnp（2）当AB不垂直于x轴时，设AB:y=k(x-p),2A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,m=p+x1,n=p+x2.2将AB方程代入抛物线方程，得k2x2-(k2p+2p)x+k2p2=0,4x1x2k2p2p,∴k2p2.x1?x24∴11=mnmnmn.优选文档=x1x2p22.x1x2p(x1x2)pp24此