线性代数第四章向量组的线性相关性2课件

孙志人南京师范大学计算机学院

二Ο一二年十一月廿八日

线性代数定理２三、向量组秩的重要结论思考证一注意向量组的秩的有关性质、向量组的等价的证明（定义、表示加秩相等、同一个向量组的最大无关组等）向量组的秩、最大线性无关组、将不在最大无关组的向量用最大无关组表示第四节线性方程组的解的结构通解S的最大无关组？１．解向量的概念设有齐次线性方程组若记（1）一、齐次线性方程组解的性质

称为方程组(1)的解向量，它也就是向量方程(2)的解．２．齐次线性方程组解的性质（1）若为的解，则

也是的解.证明（2）若为的解，为实数，则也是的解．证明

由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组的解空间．证毕.其中为任意常数。２．齐次线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为，并不妨设的前个列向量线性无关．于是可化为现对取下列组数：依次得从而求得原方程组的个解：下面证明是齐次线性方程组解空间的一个基．由于个维向量线性无关，所以个维向量亦线性无关.由于是的解故也是的解.

所以是齐次线性方程组解空间的一个基.说明１．解空间的基不是唯一的．２．解空间的基又称为方程组的基础解系．３．若是的基础解系，则其通解为

定理1例1

求齐次线性方程组的基础解系与通解.解对系数矩阵作初等行变换，变为行最简矩阵，有例2

解线性方程组解对系数矩阵施行初等行变换即方程组有无穷多解，

其基础解系中有三个线性无关的解向量.所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为例3证见P100例14，15，13证明１．非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质证明证毕．其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.２．非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组Ax=b的通解为３．与方程组有解等价的命题线性方程组有解４．线性方程组的解法（1）应用克莱姆法则（2）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题．特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法．例4

求解方程组解解例5

求下述方程组的解所以方程组有无穷多解.且原方程组等价于方程组求基础解系

令依次得求特解所以方程组的通解为故得基础解系另一种解法则原方程组等价于方程组所以方程组的通解为例题设线性方程组试就讨论方程组的解的情况，有解时并求出解。增广矩阵初等行变换至行阶梯形一般解：例题证明：若x0是Ax=b的一个特解，x1，x2，…，xp是Ax=0的基础解系，则x0

，x0+x1，x0+

x2，…,x0+xp线性无关，且Ax=b的任一解可表示为其中k0+k1+k2+…+kp=1.１．齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵进行初等变换，将其化为最简形由于令（2）得出，同时也可知方程组的一个基础解系含有个线性无关的解向量．故为齐次线性方程组的一个基础解系.()()nBRAR==()()nBRAR<=２．线性方程组解的情况线性方程组解的结构非齐次线性方程组齐次线性方程组思考题思考题解答第5节向量空间说明2．维向量的集合是一个向量空间,记作.一、向量空间的概念定义1设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指例2

判别下列集合是否为向量空间.解例3

判别下列集合是否为向量空间.解试判断集合是否为向量空间.一般地，为定义2

设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间．实例二、子空间设是由维向量所组成的向量空间，那末，向量组就称为向量的一个基，称为向量空间的维数，并称为

维向量空间．三、向量空间的基与维数定义3

设是向量空间，如果个向量，且满足

（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基．说明

（3）若向量组是向量空间的一个基，则可表示为

（2）若把向量空间看作向量组，那末的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.定义如果在向量空间V中取定一个基那么V中任一向量x可以惟一地表示为数组称为向量x在基

中的坐标。习题38（P110）例题25（P106）１．向量空间的概念：向量的集合对加法及数乘两种运算封闭；

由向量组生成的向量空间．２．子空间的概念．３．向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法．四、小结思考题思考题解答END第四章向量组的线性相关性向量组及其线性组合向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组的解的结构向量空间第一节向量组及其线性组合n维向量向量的表示向量空间向量组定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量二、维向量的表示方法

维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用等表示，如：

维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：注意

１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；

２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；

３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.向量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象：可随意平行移动的有向线段代数形象：向量的坐标表示式坐标系三、向量空间空间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象：向量空间中的平面几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面一一对应叫做维向量空间．

时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间中的维超平面．

确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量

维向量的实际意义

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如四、向量、向量组与矩阵向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．

反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.线性方程组的向量表示方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．定义１线性组合

向量能由向量组线性表示．定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．从而定理2向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,…,am,

b1,b2,…,bl)的秩，即R(A)=R(A,B).(利用P77定理6)推论向量组A:a1,a2,…,am

与向量组B:b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B).其中A,B是向量组A,B所构成的矩阵.

例1

设证明向量b能由向量组线性表示，并求出表达式.例2

设证明向量组能由向量组等价.

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．矩阵A可以对应一个行向量组，也可以对应一个列向量组。线性方程组的向量表示。向量组内部、向量与向量组、向量组与向量组之间的联系定理1定义２向量组能由向量组线性表示向量组等价．定理2向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩阵(A,B)=(a1,a2,…,am,

b1,b2,…,bl)的秩，即R(A)=R(A,B).(利用P77定理6)推论向量组A:a1,a2,…,am

与向量组B:b1,b2,…,bl等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B).其中A,B是向量组A,B所构成的矩阵.

定理3向量组B:b1,b2,…,bl

能由向量组A:a1,a2,…,am线性表示，则R(B)R(A).其中A,B是向量组A,B所构成的矩阵.

第二节向量组的线性相关性注意定义３一、线性相关性的概念则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向量可由其余个向量线性表示．证明充分性

设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.即有二、线性相关性的判定故因这个数不全为0，故线性相关.必要性设线性相关，则有不全为0的数使因中至少有一个不为0，不妨设则有即能由其余向量线性表示.证毕.线性相关性在线性方程组中的应用结论定理2下面举例说明定理的应用.证明向量组线性相关充要条件Ax=0有非零解，即R(A