《复变函数》笔记 - 知识点汇总2

引言复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是世纪人们在解代数方程时引入的．年，意大利数学物理学家（卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将分成两部分，使其积为的问题，即求方程的根，它求出形式的根为和，积为．但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点．直到十八世纪，（达朗贝尔）：（欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数．复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕（柯西），（魏尔斯特拉斯）和（黎曼）三人的工作进行的．到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用．第一章§1复数了解复数的概念及复数的模与辐角；掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算.重点：德摩弗公式.难点：德摩弗公式.1．复数域形如或的数，称为复数，其中和均是实数，称为复数的实部和虚部，记为，，称为虚单位．两个复数，与相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即且虚部为零的复数可看作实数，即，特别地，，因此，全体实数是全体复数的一部分．实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数和称为互为共轭复数，记为或设复数，，则复数四则运算规定：容易验证复数的四则运算满足与实数的四则运算相应的运算规律．全体复数并引进上述运算后称为复数域，必须特别提出的是，在复数域中，复数是不能比较大小的．２．复平面从上述复数的定义中可以看出，一个复数实际上是由一对有序实数唯一确定．因此，如果我们把平面上的点与复数对应，就建立了平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系．由于轴上的点和轴上非原点的点分别对应着实数和纯虚数，因而通常称轴为实轴，称轴为虚轴，这样表示复数的平面称为复平面或平面．引进复平面后，我们在“数”与“点”之间建立了一一对应关系，为了方便起见，今后我们就不再区分“数”和“点”及“数集”和“点集”．3．复数的模与幅角由图1.1中可以知道，复数与从原点到点所引的向量也构成一一对应关系（复数对应零向量）．从而，我们能够借助于点的极坐标和来确定点，向量的长度称为复数的模，记为图1.1显然，对于任意复数均有，，另外，根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式（三角形两边之和第三边，图1.2）图1.2（三角形两边之差第三边，图1.3）图1.3与两式中等号成立的几何意义是：复数，分别与及所表示的三个向量共线且同向．向量与实轴正向间的夹角满足称为复数的幅角，记为由于任一非零复数均有无穷多个幅角，若以表示其中的一个特定值，并称满足条件的一个值为的主角或的主幅角，则有注意：当时，其模为零，幅角无意义．从直角坐标与极坐标的关系，我们还可以用复数的模与幅角来表示非零复数，即有同时我们引进著名的欧拉公式：则可化为与式分别称为非零复数的三角形式和指数形式，由式几指数性质即可推得复数的乘除有因此，公式与说明：两个复数，的乘积（或商），其模等于这两个复数模的乘积（或商），其幅角等于这两个复数幅角的和（或差）．特别当时可得此即说明单位复数乘任何数，几何上相当于将此数所对应的向量旋转一个角度．另外，也可把公式中的换成（某个特定值），若为主值时，则公式两端允许相差的整数倍，即有公式可推广到有限个复数的情况，特别地，当时，有当时，就得到熟知的德摩弗公式：例求及用与表示的式子解：4.曲线的复数方程例连接及两点的线段的参数方程为过及两点的直线（图）的参数方程为例平面上以原点为心，为半径的圆周的方程为平面上以为心，为半径的圆周的方程为例平面上实轴的方程为，虚轴的方程为.§复平面上的点集平面点集的几个基本概念;掌握区域的概念;了解约当定理.重点：区域的概念,约当定理.难点：区域的概念.几个基本概念定义满足不等式的所有点组成的平面点集（以下简称点集）称为点的，记为．显然，即表示以为心，以为半径的圆的内部定义设为平面上的一个点集，若平面上一点的任意邻域内巨有的无穷多个点，则称为的内点．定义若的每个聚点都属于，则称为闭集．若的所有点均为内点，则称为开集定义若，，均有则称为有界集，否则称为无界集．区域与约当曲线定义若非空点集满足下列两个条件：为开集．中任意两点均可用全在中的折线连接起来，则称为区域.定义若为区域的聚点且不是的内点，则称为的界点，的所有界点组成的点集称为的边界，记为，若，使得，则称为的外点定义区域加上它的边界称为闭区域，记为有关区域的几个例子例平面上以点为心，为半径的圆周内部（即圆形区域）：例平面上以点为心，为半径的圆周及其内部（即圆形闭区域）例与例所表示的区域都以圆周为边界，且均为有界区域例上半平面下半平面它们都以实轴为边界，且均为无界区域．左半平面右半平面它们都以虚轴为边界，且均为无界区域．例图1.4所示的带形区域表为.其边界为与，亦为无界区域．例图所示的圆环区域表为其边界为与，为有界区域．定义设及是两个关于实数在闭区间上的连续实数，则由方程所确定的点集称为平面上的一条连续曲线，称为的参数方程，及分别称为的起点和终点，对任意满足及的与，若时有，则点称为的重点；无重点的连续曲线，称为简单曲线（约当曲线）；的简单曲线称为简单闭曲线．若在上时，及存在节不全为零，则称为光滑（闭）曲线．定义由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线称为逐段光滑曲线．定义（约当定理）任一简单闭曲线将平面唯一地分为、、三个点集（图1.5），它们具有如下性质：图1.5彼此不交．与一个为有界区域（称为的内部），另一个为无界区域（称为的外部）若简单折线的一个端点属于，另一个端点属于，则与必有交点．对于简单闭曲线的方向，通常我们是这样来规定的：当观察这沿绕行一周时，的内部（或挖）始终在的左方，即“逆时针”（或“顺时针”）方向，称为的正方向（或负方向）．定义设为复平面上的区域，若内任意一条简单闭曲线的内部全含于，则称为单连通区域，不是单连通的区域称为多连通区域．例如，例所示的区域均为单连通区域，例所示的区域为多连通区域．（请读者针对定义自己作图思考）§复变函数理解复变函数的概念;了解复变函数的极限与连续的概念.重点：复变函数的概念.难点：复变函数的几何表示.复变函数概念定义设为一复数集，若存在一个对应法则，使得内每一复数均有唯一（或两个以上）确定的复数与之对应，则称在上确定了一个单值（或多值）函数，称为函数的定义域，值的全体组成的集合称为函数的值域．例如，及均为单值函数，及均为多值函数．今后如无特别说明，所提到的函数均为单值函数．设是定义在点集上的函数，若令，则、均随着、而确定，即、均为、的二元实函数，因此我们常把写成若为指数形式，，则又可表为其中，均为、的二元实函数．由和两式说明，我们可以把复变函数理解为复平面上的点集和复平面上的点集之间的一个对应关系（映射或变换），这是由于在复平面上我们不再区分“点”（点集）和“数”（数集）．故今后我们也不再区分函数、映射和变换．复变函数的极限和连续性定义设于点集上有定义，为的聚点，若存在一复数，使得，，当时有则称沿于有极限，记为定义的几何意义是：对于，存在相应的，使得当落入的去心时，相应的就落入的．这就说明与的路径无关．即不管在上从哪个方向趋于，只要落入的去心内，则相应的就落入的内，而在数学分析中，中只能在轴上沿着的左，右两个方向趋于，这正是复分析与数学分析不同的根源．今后为了简便起见，在不致引起混淆的地方，均写成可以类似于数学分析中的极限性质，容易验证复变函数的极限具有以下性质：若极限存在，则极限是唯一的．与都存在，则有另外，对于复变函数的极限与其实部和虚部的极限的关系问题，我们有下述定理：定理设函数于点集上有定义，为的聚点，则的充要条件及证明：因为从而由不等式可得及故由即可得必要性部分的证明．由可得充分性部分的证明．定义设于点集上有定义，为的聚点，且，若则称沿于连续．根据定义，沿于连续就意味着：，，当时，有与数分中的连续函数性质相似，复变函数的连续性有如下性质：若，沿集于点连续，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母不为零）沿点集于连续．若函数沿集于连续，且，函数沿集于连续，则复合函数沿集于连续．其次，我们还有定理设函数于点集上有定义,,则在点连续的充要条件为：,沿于点均连续.事实上,类似于定理的证明,只要把其中的换成,换成即可得到定理的证明.例设试证在原点无极限,从而在原点不连续.证明：设,则因此故不存在,从而在原点不连续.定义若函数在点集上每一点都连续,则称在上连续,或称为上的连续函数.特别地,当为实轴上的区间时,则连续曲线就是上的连续函数其次,若为闭区域,则上每一点均为聚点,考虑其边界上的点的连续性时,只能沿的点来取.与数学分析相同,在有界闭集上连续的伏辩函数具有以下性质：在上有界,即,使得在上有最大值和最小值.在上一致连续,即,使对上任意两点,,只要就有复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析）-∏<argz≤∏Arg(z1z2)=Argz1+Argz2Arg(z1/z2)=Argz1-Argz22.求根：由z==r(cos+isin)得==(cosn+isinn)当r=1时，=（*1）当w= （*2）例： 可直接利用（*1）式求解 可令z=1+i,利用（*2）式求解3.复函数：a.一般情况下：w=f(z),直接将z=x+iy代换求解但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑：z==r(cos+isin)代换。b.对于P12例题1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C）共线所满足的公式:(向量)OC=tOA+（1-t）OB=OB+tBAc.对于P15例题1.14中可直接转换成X和Y的表达式后判断正负号来确定其图像。d.判断函数f(z)在区域D内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程a.在某个区域内可导与解析是等价的。但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:复数转换成三角的定义。d.只需记住：Lnz=ln[z]+i(argz+2k)e.幂函数：底数为e时直接运算（一般转换成三角形式）当底数不为e时，w==(幂指数为Ln而非ln)能够区分： 的计算。f.三角函数和双曲函数：只需记住：及其他可自己试着去推导一下。反三角中前三个最好自己记住，特别因为下一章求积分会用到(如第三章的习题9)5.复变函数的积分a.注：只有当函数解析即满足柯西-黎曼公式时求积分才与路径无关只与出没位置有关。（勿乱用）例如:与路径无关。而与路径有关。b.柯西-古萨基本定理：当函数f(z)在以简单闭曲线C为边界的有界区域D内解析且在闭区域上连续时：重要公式c.柯西积分公式和高阶导数公式及其应用于计算积分：d.调和函数：一般与柯西-黎曼公式一起用:熟知课本P52中的例3.11中三种解法即可。6.级数a.熟知课本P59定理4.2及其推导（其中1最重要）性质。b.阿贝尔定理:判断收敛和发散区间。c.幂级数的收敛半径：利用比值法和根值法。（方法同于高数级数）d.泰勒级数：五个重要初等函数展开式：其余可由式：直接推导。（注意各展开式的[z]取值范围）e.洛朗展开式:与泰