专题04 导数与函数的极值（讲义）（教师版）

专题04导数与函数的极值【重难点知识点网络】：1．函数极值的概念若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧________，右侧________，就把点叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．极大值点和极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2．可导函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件必要条件：可导函数在处取得极值的必要条件是________．充分条件：可导函数在处取得极值的充分条件是在两侧异号．3．函数极值的求法一般地，求函数的极值的方法是：解方程．当时：（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是________；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是_________．【重难点题型突破】：一、求函数的极值（1）求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．（2）利用导数求极值时，一定要讨论函数的单调性，涉及参数时，必须对参数的取值情况进行讨论（可从导数值为0的几个x值的大小入手）．

例1．（1）（2021·辽宁高三其他模拟）（多选题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递增C．当时，函数有两个不同零点D．有两个极值点【答案】AD【分析】根据时，解析式，利用导数求得其单调递减区间，根据的奇偶性即可判定A、B的正误；在同一坐标系种画出与的图象，数形结合，即可判定C的正误；根据的图象，即可判定D的正误，即可得答案.【详解】当时，,令得,时,,所以在区间上单调递减,再根据奇函数知在区间上单调递减，故A正确;因为,所以在区间单调递减，故B错误;因为又为奇函数，所以,如图与有两个交点,则-且,故C错误;函数的两个极值点为土，故D正确.故选：AD【点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数判断函数的单调性，函数奇偶性的应用等知识，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.（2）．（2021·全国高三专题练习（理））已知函数()有两个极值点､()，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，设，根据题意，转化为在内有两个不等的实数根､，利用二次函数的性质，求得，结合二次函数根与系数关系和二次函数的性质，即可求解.【详解】由题意，函数，可得函数的定义域为，且，设，因为函数()有两个极值点､()，即在内有两个不等的实数根､()，可得，解得，又因为､，可得，则，当且仅当时，等号成立，故的最大值为.故选：D.（3）．（2021·吴县中学高二月考）函数的极大值为（）A．18 B．21 C．26 D．28【答案】D【分析】求导，利用导数研究函数的单调区间，确定在哪个点取得极值，进而得到答案.【详解】函数的定义域为，求导，令，解得：，极大值极小值所以当时，函数有极大值故选：D.（4）．已知，则（）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．有极大值，无极小值 D．有极小值，无极大值【答案】C【分析】求出导函数，根据导函数的正负，导函数的零点判断各选项．【详解】由题意，当时，，递增，时，，递减，是函数的极大值，也是最大值，函数无极小值．故选：C．【变式训练1-1】、（2021·吴县中学高二月考）（多选题）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（）A．是函数的极值点 B．函数在处取得极小值C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率小于零【答案】AB【分析】根据导数的知识对选项逐一分析，由此确定选项.【详解】对于A选项，由图可知，左右两侧导数都为负数，故不是的极值点，A选项错误.对于B选项，由图可知，左右两侧导数都为负数，故不是的极值点，B选项错误.对于C选项，由图可知，时，递减，所以C选项正确.对于D选项，由图可知，，所以D选项正确.故选：AB.【变式训练2-1】、（2021·全国高三其他模拟）关于函数，下列判断正确的是（）A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点C．存在正实数，使得恒成立D．对任意两个正实数，，且，若，则【答案】BD【分析】对于A，利用导数研究函数的极值点即可；对于B，利用导数判断函数的单调性，再利用零点存在性定理即得结论；对于C，参变分离得到，构造函数，利用导数判断函数的最小值的情况；对于D，利用的单调性，由得到，令，由得，所以要证，即证，构造函数即得．【详解】A：函数的定义域为，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以是的极小值点，故A错误．B：，，所以函数在上单调递减．又，，所以函数有且只有1个零点，故B正确．C：若，即，则．令，则．令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，所以在上单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数，使得恒成立，故C错误．D：因为在上单调递减，在上单调递增，∴是的极小值点．∵对任意两个正实数，，且，若，则．令，则，由，得，∴，即，即，解得，，所以．故要证，需证，需证，需证．∵，则，∴证．令，，，所以在上是增函数．因为时，，则，所以在上是增函数．因为时，，则，所以，∴，故D正确．故选：BD．【变式训练2-2】、（2020·浙江绍兴市·绍兴一中高二期中）若函数，则__________，的极大值点为__________．【答案】【分析】求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系即可得到结论．【详解】解：，，，则，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故为函数的极大值点，且极大值为．故答案为：；．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．二、函数极值的应用解决利用函数的极值确定函数解析式中参数的值的问题时，通常是利用函数的导数在极值点处的取值等于零来建立关于参数的方程，从而求出参数的值．需注意的是，可导函数在某点处的导数值等于零只是函数在该点处取得极值的必要条件，所以必须对求出的参数的值进行检验，看是否符合函数取得极值的条件．例2．（2021·河南高二月考（理））已知函数在处取得极值，则（）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【分析】依题意，即可求出参数的值；【详解】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；故选：B【变式训练2-1】、（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））已知函数的一个极值点为，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据找到的关系，再根据基本不等式即可求出．【详解】因为，依题意有，即，而，所以，当且仅当时取等号，即的最大值为．故选：D．【变式训练2-2】、（2021·全国高二课时练习）函数在上的极大值点为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析导数在上的符号变化，由此可得出结果.【详解】函数的导数为，因为，由，可得，解得.当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以使得函数取得极大值的的值为，故选：C.【点睛】思路点睛：利用导数求函数极值的步骤如下：（1）求函数的定义域；（2）求导；（3）解方程，当；（4）列表，分析函数的单调性，求极值：①如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；②如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值.【变式训练2-3】、（2021·盐城市伍佑中学高三期末）（多选题）已知函数，则（）A．的周期为 B．的图象关于点对称C．在上为增函数 D．在区间上所有的极值之和为10【答案】BCD【分析】计算，可判断A错；构造函数，判断其是奇函数，得出对称中心，即可判断的对称中心，得B正确；当时，对函数求导，判断其单调性，即可得出C正确；利用导数的方法求出函数在给定区间的极值点，结合函数对称性，即可得出结果.【详解】A选项，因为，所以，因此不是的周期；即A错；B选项，令，定义域为，则，所以图象关于原点对称；因为，所以的图象关于点对称，故B正确；C选项，当时，，则，因为，则，所以，即，故在上为增函数，即C正确；D选项，当时，，，令可得，所以，由可得，极值点为；当时，，则，令，可得，则，由可得，极值点为，由B选项，可知，即，所以在区间上所有的极值之和为，即D正确；故选：BCD.【点睛】思路点睛：利用导数的方法研究函数单调性求极值时，需要先对函数求导，求解导函数对应的不等式，判断出单调性，进而可得出极值，即可求解.例3．（2021·浙江温州市·高三二模）已知函数．（1）若函数没有极值点，求实数的取值范围；（2）若对任意的恒成立，求实数和所满足的关系式，并求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）当时，对任意的，恒成立【分析】（1）首先求出函数的导函数，依题意可得无解或有重根，对分两种情况讨论，计算可得；（2）依题意得：对任意的，恒成立，令，则恒成立，求出导函数，依题意可得，即可得到的关系，再证对任意的，恒有；【详解】解：（1）因为，所以，因为函数没有极值点，所以无解或有重根；即无解或有重根；①时，不满足条件；②时，，解得或；综上可得，函数没有极值点，则或；（2）依题意得：对任意的，恒成立，令，则恒成立，因为，所以是的极小值点，所以，所以，所以对任意的，恒有，①当时，，，，矛盾；②当时，显然有，因为函数即函数的图象恒在函数图象的上方，是函数在处的切线，下证：，令，，令，解得，即在上单调递增，令，解得，即在上单调递减，所以，即成立；所以综上所述：当时，对任意的，恒成立；【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．例4．（2020·宁夏长庆高级中学高二月考（理））已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【答案】（1）见解析（2）【详解】分析：（1）求导，利用函数单调性证明即可．（2）分类讨论和,构造函数,讨论的性质即可得到a的范围．详解：（1）当时，，.设函数，则.当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.（ii）若，设函数.由于当时，，故与符号相同.又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点..如果，则当，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点综上，.点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大．例5．（2020·全国高三专题练习（文））已知函数.证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）先对函数求导，根据导函数的单调性，得到存在唯一，使得，进而可得判断函数的单调性，即可确定其极值点个数，证明出结论成立；（2）先由（1）的结果，得到，，得到在内存在唯一实根，记作，再求出，即可结合题意，说明结论成立.【详解】（1）由题意可得，的定义域为，由，得，显然单调递增；又，，故存在唯一，使得；又当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；因此，存在唯一的极值点；（2）由（1）知，，又，所以在内存在唯一实根，记作.由得，又，故是方程在内的唯一实根；综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、极值、以及函数零点的问题，属于常考题型.例6．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数.（1）求证：当时，函数存在唯一的极小值点；（2）若函数的图象相切，求实数的值.【答案】（1）证明见解析；（2）的值为0.【分析】（1）当时，，求导得，再研究函数单调性与零点即可证明；（2）根据题意设切点为，故结合切点在切线上，也在曲线上，且切点处的导数值为切线斜率列方程求解即可得答案.【详解】（1）当时，，.因为，所以在R上为增函数，又因为，所以由零点存在性定理得，存在，使得，当