(新高考)高考数学三轮冲刺解答题核心考点练第11讲《立体几何中的探索性问题》（解析版）

第11讲立体几何中的探索性问题高考预测一：动态问题1．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）若点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求证：若二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的值．【解析】解：（Ⅰ）证明：连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0．SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，且SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0（4分）（Ⅱ）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．SKIPIF1<0（6分）如图，以SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系．则平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0法向量为SKIPIF1<0（10分）SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（舍SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（12分）2．如图，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．【解析】解：（Ⅰ）证明：以SKIPIF1<0为坐标原点，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为：SKIPIF1<0．（Ⅲ）解：设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0时线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0．3．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且四边形SKIPIF1<0为直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离；（2）设SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角最小时，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】解：（1）SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0即为三棱锥SKIPIF1<0的高，故SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0．（2）以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则各点的坐标为SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，此时直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角取得最小值．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0的一个法向量．从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又由于二面角SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．高考预测二：翻折问题4．如图，SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折叠到△SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因为SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不防设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，由此以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系SKIPIF1<0．则有SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．又平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．5．图1是由矩形SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和菱形SKIPIF1<0组成的一个平面图形，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将其沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起使得SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，连结SKIPIF1<0，如图2．（1）证明：图2中的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求图2中的二面角SKIPIF1<0的大小．【解析】证明：（1）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0确定一个平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点共面，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．解：（2）作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由已知，菱形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，6，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0．6．正方形SKIPIF1<0的边长为2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为折痕把SKIPIF1<0折起，使点SKIPIF1<0到达点SKIPIF1<0的位置，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【解析】解：（1）由已知可得，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0．由（1）得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系SKIPIF1<0．由（1）可得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（1）知：SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值为SKIPIF1<0．7．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上一动点，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（1）当棱锥SKIPIF1<0的体积最大时，求SKIPIF1<0的长；（2）若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】解：（1）令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，所以，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，即：体积最大时，SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0，又因为点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，可得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．8．如图（1），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到△SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如图（2）．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）当点SKIPIF1<0在何处时，三棱锥SKIPIF1<0体积最大，并求出最大值；（3）当三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小．【解析】证明：（1）SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．解：（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．由（1）SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．因此当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点时，三棱锥SKIPIF1<0体积最大，最大值为SKIPIF1<0．解：（3）如图，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0．9．如图（1），在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起到△SKIPIF1<0的位置，使SKIPIF1<0，如图（2）．（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求证：SKIPIF1<0；（Ⅲ）线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．若存在，求出SKIPIF1<0的长；若不存在，请说明理由．【解析】SKIPIF1<0证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的点，且SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（3分）SKIPIF1<0证明：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（4分）又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（5分）所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（6分）所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（7分）又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（8分）又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（9分）SKIPIF1<0解：线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．理由如下：因为SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（12分）因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（13分）如图（1），因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以，如图（2），在SKIPIF1<0△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0（14分）10．如图1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过动点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上且异于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0（如图2所示）．记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三棱锥SKIPIF1<0的体积．（1）求SKIPIF1<0的表达式；（2）设函数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为何值时，SKIPIF1<0取得最小值，并求出该最小值；（3）当SKIPIF1<0取得最小值时，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，试在棱SKIPIF1<0上确定一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小．【解析】解：（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0折起前SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折起后SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值4；（3）以SKIPIF1<0为原点，建立如图直角坐标系SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的一个法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0．高考预测三：存在性问题11．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（3）设SKIPIF1<0，是否存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，说明理由．【解析】（1）证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（2）解：取SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：则SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为：SKIPIF1<0．（3）解：设SKIPIF1<0，假设存在实数SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由（2）知，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．综上，存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．12．在如图所示的几何体中，四边形SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅰ）求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（Ⅱ）求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0？如果存在，确定点SKIPIF1<0的位置；如果不存在，说明理由．【解析】（Ⅰ）证明：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．（Ⅱ）解：以SKIPIF1<0为原点建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，如图所示：则SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，1，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（Ⅲ）解：设SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，4，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0