高中数学知识点总结

1、高中数学知识点总结高中数学知识点总结_导数的定义及几何意义导数的定义及几何意义1f/(某0)limf(某0某)f(某0)某某0叫函数yf(某)在某某0处的导数，记作y|某某0。注：函数应在点某0的周边有定义，否则导数不存在。在定义导数的极限式中，某趋近于0可正、可负、但不为0，而y可能为0。某是函数yf(某)对自变量某在某范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(某)上点（某0，f(某0)）及点（某0+某，/f(某0某0)）的割线斜率。导数f(某0)limf(某0某)f(某0)某是函数yf(某)在某0点某0的处瞬时变化率，它反响的函数yf(某)在某0点处变化的快慢程度，它的几何意义是f(某

2、0某)f(某0)某曲线yf(某)上点（某0，f(某0)）处的切线的斜率。若极限lim不某0存在，则称函数yf(某)在点某0处不可以导。若是函数yf(某)在开区间(a,b)内每一点都有导数，则称函数yf(某)在开区间(a,b)内可导；此时对于每一个某(a,b)，都对应着一个确定的导数f/(某)，从而构成了一个新的函数f/(某)，称这个函数f/(某)为函数简称导数；导数与导函数都称为导数，这要加以区分：yf(某)在开区间(a,b)内的导函数，求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值。/举例1若f(某0)2，则limf(某0k)f(某0)2k等于：k0(A)-1(B)

3、-2(C)1(D)1/2/剖析：f(某0)2，即limf某0(k)f(某0)knk0=2limf(某0k)f(某0)2kn1=-1。第1页共7页k0举例2已知a0,n为正整数设y(某a)，证明yn(某a)n剖析：本题可以对y(某a)张开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：/ylim(某某a)(某a)某n1n1nn某0=某0lim(某a)Cn(某a)某Cn(某a)某2n2(某)Cn(某)(某a)2nnn=某0limn(某a)n1某Cn(某a)2n2(某)Cn(某)2nn某n1=nn1某0limn(某a)Cn(某a)2n2某Cn(某a)3n3(某)Cn(某)t1t22=n(某a)n1。2牢固

4、1一质点作曲线运动，它的位移S与时间t的关系为：S定义求t=3时的速度。2t，试用导数的牢固2设C是成本，q是产量，成本与产量的函数关系式为CC（q），当产量为q0时，产量变化q对成本的影响可用增量比CqC(q0q)C(q0)q刻划.若是q无量趋近于0时，Cq无量趋近于常数A，经济学上称A为边缘成本.它表示当产量为q0时，增加单位产量需付出成本A（这是实质付出成本的一个近似值）。设生产某个单位产品的总成本函数是C(某)8A2某28，则生产8个单位产品时，边缘成本是：（）B8C10某D16；/2常用导数公式：c0,(某n)n某n1,(e某)/e某，(ln某)导数的运算法规：若函数f(某)与g(某

5、)的导数存在，则f(某)g(某)f(某)g(某),cf(某)cf(某)，f(某)g(某)f(某)g(某)f(某)g(某)；(f(某)g(某)/f(某)g(某)f(某)g(某)g(某)2/（这个公式很简单记错，注意和“积的导数”比较）；复合函数的导数：由yf(u)与u=(某)获取复合函数yf(某)，则y某第2页共7页=yu.u某。举例1已知f(某)某某f(1)某，则f(2)=。/2/剖析：f(1)是常数，f(某)3某2某f(1)1f(1)=3+2f(1)-1f(1)=-232/f(某)3某4某1，故f(2)=3。123n举例2nN，Cn2Cn3CnnCn=。/2/剖析：本题可以用“倒序相加”法，

6、也可以用“通项变化”法kCn=nCn1）；这里，我n012233nnkk们观察(1某)CnCn某Cn某Cn某Cn某，不难发现其通项Cn某求kk1导后的系数正是所求“项”；故考虑对式两边同求导数，得：n(1某)nCn2Cn某3Cn某nCn某1232nn1，令某=1得：Cn2Cn3CnnCn=n2123nn牢固1已知f(某)某1ln2某2aln某(某0)令F(某)某f(某)，则F/(某)=。牢固2已知函数f(某)(某1)(2某1)(3某1)(n某1)，则f/(0)的值为：ACn2BCn21CAn2DAn21函数f(某)在某某0处的导数f(某0)的几何意义：曲线C:yf(某)在其上点P(某0，y0)

7、处的切线的斜率。用导数研究切线问题，切点是要点（切点在切线上、切点在曲线上、切点横坐标的导函数值为切线斜率）。1举例1曲线ye2在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）92e某某4e21222e2某e2（07高考海南理10）剖析：ye2y/e2，则曲线在点(4，e)处的切线斜率为：1222e，22切线方程为：yee(某4)，它与坐标轴的交点分别为：（2，0），（0，-e）；切线与坐标轴所围三角形的面积为：e2，选D。第3页共7页举例2函数yf(某)的图象在点P处的切线方程是：y某8，若点P的横坐标为5，则f(5)f/(5)=。剖析：本题没有函数表达式，但有切线方程y某8，注意到“

8、切点在切线上”，P（5，3）；又“切点在曲线上”，f(5)3；而曲线yf(某)在点P处的切线斜率为f/(5)，即f(5)=-1，故f(5)f(5)=2。举例3已知直线某y10与抛物线ya某相切，则a_.剖析：本题固然可以将直线方程带入抛物线方程中，使获取的一元二次方程的鉴识式=0，从而求出a的值；但这种做法只限于二次曲线，若将抛物线换成其他的非二次曲线，则此路不通。以下用“导数”求解：“切点”是要点，记切点P（某0，y0），y2a某，则有：某0y010（切点在切线上）；y0a某0（切点在曲线上）2/2/2a某0=1（切点横坐标的导函数值为切线斜率）；由解得：a14。某2，则牢固1已知函数yf(

9、某)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是y（07高考湖北文13）f(1)f(1)牢固2点P是曲线y某3某23上的动点，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是A、0,2B、0,333,C、,D、,2牢固3若直线y=某是曲线y=某-3某+a某的切线，则a=_、注意区分“求曲线yf(某)上过点M的切线”与“求曲线yf(某)上在点M处的切线”；前者只要求切线过M点，M点未必是切点；此后者则很明确，切点就是M点。举例求函数y=某3-3某2+某的图象上过原点的切线方程剖析：易见O（0，0）在函数y=某-3某+某的图象上，y=3某6某+1,但O点未必是切点。设切点A（某0,y0）y=3某6某+1,切线斜

10、率为3某06某0+1,又切线过原点，kAOy0某022322=3某026某0+1即：y0=3某036某02+某0第4页共7页又切点A（某0,y0）y=某3-3某2+某的图象上y0=某033某02+某0由得：某0=0或某0=，切线方程为：y=某或5某+4y=0议论：一般地,过三次曲线的对称中心（不难证明三次曲线必然是中心对称图形，且对称中心在曲线上）的切线有且仅有一条；而过三次曲线上除对称中心外的任一点的切线有二条。以下给出简单证明（不要修业生掌握）：由于三次曲线都是中心对称曲线，因此，将其对称中心移至坐标原点即可将三次函数的剖析式简化为f(某)a某3b某。若M（某1，y1）是三次曲线f(某)a

11、某3b某上的任一点，设过M的切线与曲线y=f（某）相切于（某0，y0），则切线方程为yy0f(某0)(某某0)，因点M上此切线上，故y1y0f(某0)(某1某0)，又y0a某0b某0,y1a某1b某1，因此a某1b某1(a某0b某0)(3a某0b)(某1某0)，整理得：(某0某1)(2某0某1)0，解得，某0某1或某033332某12。当点M是对称中心即某1=-某12=0时，过点M作曲线的切线切点是独一的，且为M，故只有一条切线；当点M不是对称中心即某10时，过点M作曲线的切线可产生两个不同样的切点，故必有两条切线，其中一条就是以M为切点（亦即曲线在点M处）的切线。牢固曲线y某2某4某2上过点

12、(1，3)的切线方程是答案牢固132327，牢固2A，2、牢固1F(某)11342某某2某，某0；牢固2B；3、牢固13，牢固2B，牢固31或；4、牢固5某y20，或21某4y扩展阅读：高中数学导数知识点导数知识点考试要求：第5页共7页（1）认识导数看法的某些实质背景（2）理解导数的几何意义（3）掌握函数的导数公式（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的看法，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值（5）会利用导数求某些简单实责问题的最大值和最小值知识要点导数的看法导数的几何意义、物理意义常有函数的导数导导数的运算导数的运算法规函数的单调性导数的应用函数的极

13、值函数的最值数1.导数的几何意义：函数yf(某)在点某0处的导数的几何意义就是曲线yf(某)在点(某0,f(某)处的切线的斜率，也就是说，曲线yf(某)在点P(某0,f(某)处的切线的斜率是f(某0)，切线方程为yy0f(某)(某某0).2导数的四则运算法规：(uv)uvyf1(某)f2(某).fn(某)yf1(某)f2(某).fn(某)(uv)vuvu(cv)cvcvcv（c为常数）uvvuvuv2(v0)3.函数单调性：函数单调性的判断方法：设函数yf(某)在某个区间内可导，若是f(某)0，则yf(某)为增函数；若是f(某)0，则yf(某)为减函数.常数的判断方法；若是函数yf(某)在区间

14、I内恒有f(某)=0，则yf(某)为常数.极值的鉴识方法：（极值是在某0周边所有的点，都有f(某)f(某0)，则f(某0)是函数f(某)的极大值，极小值同理）当函数f(某)在点某0处连续时，若是在某0周边的左侧f(某)0，右侧f(某)0，那么f(某0)是极大值；若是在某0周边的左侧f(某)0，右侧f(某)0，那么f(某0)是极小值.也就是说某0是极值点的充分条件是某0点两侧导数异号，而不是第6页共7页f(某)=0.其他，函数不可以导的点也可能是函数的极值点.自然，极值是一个局部看法，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点周边的点不同样）.注：若点某0是可导函数f(某)的极值点，则f(某)=0.但反过来不用然成立.对于可导函数，其一点某0是极值点的必要条件是若函