高三数学复习不等式第三节

1、高三数学复习不等式第三节第1页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四三年13考 高考指数:1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.第2页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四1.主要考查应用不等式求最值和不等式的证明.2.对基本不等式的考查多以选择题和填空题的形式出现，难度为中低档题，若出现证明题难度也不会太大.第3页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四1.基本不等式：(1)基本不等式公式成立的条件是_.(2)等号成立的条件是：当且仅当_时取等号.(3)其中 称为正数a,b的_， 称为正数a，b的_.a

2、0,b0a=b算术平均数几何平均数第4页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【即时应用】判断下列不等式是否正确.(请在括号中填写或)(1)a2+b22ab(a,bR) ( )(2)ab (a，bR) ( )(3) (a,bR) ( )(4) 2(a,b均不为零) ( )第5页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【解析】(1)由(a-b)20得a2+b2-2ab0，即a2+b22ab，故(1)正确.(2)由(1)可知a2+b22ab，即a2+b2+2ab4ab,即(a+b)24ab,即ab ,故(2)正确.(3)由= 0,故(3)正确.(4)若a,b异号，

3、如a=-1,b=1,则 =-20，则x 的最小值为_解析：x0 x 2 ，当且仅当x x 时取等号答案：2第12页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【即时应用】(1)已知x+3y=2(x,y为正实数)，则xy的最大值为_.(2)已知x,y0,且x+2y=1,则 的最小值为_.(3)函数f(x)= 的最大值为_.(4)已知m0,n0且mn81，则m+n的最小值为_.【解析】(1)由2=x+3y ,得 故xy ，等号当且仅当x=1,y= 时取得.(2)由x,y0，x+2y=1得第13页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四 等号成立的条件是：x= -1.(3

4、)x0，当x=0时，f(0)=0；当x0时，f(x)=当且仅当 ，即x=1时取等号.所以f(x)的最大值为 .(4)m0,n0,mn81, 9,m+n2 18，故m+n的最小值为18.答案：(1) (2) (3) (4)18第14页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四 利用基本不等式求最值【方法点睛】应用基本不等式求最值应注意的问题(1)若直接满足基本不等式成立的条件，则直接应用基本不等式.(2)若不直接满足基本不等式成立的条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等.(3)若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.第15页，共72页，20

5、22年，5月20日，16点23分，星期四【提醒】(1)应用基本不等式注意不等式成立的条件.(2)若多次应用基本不等式要注意等号需同时成立. 第16页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【例1】(1)若x-3，则 的最小值为_.(2)已知a，b为正实数且a+b=1，则 的最小值为_.【解题指南】(1)将原式等价变形构造出应用基本不等式形式可解.(2)将 与 中的1用a+b代换整理后利用基本不等式可求.第17页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【规范解答】(1)由x-3得x+30,又x+ =x+3+ -3 -3，等号成立的条件是x+3= ,即x= -3.(

6、2)a0,b0,a+b=1, ,同理 5+4=9,等号成立的条件为答案：(1) (2)9第18页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【互动探究】若将本例(1)中x-3去掉，而求 的取值范围又将如何求解？【解析】分情况讨论，由题意得x-3,(1)当x-3时，由例题可知 .(2)当x-3时，x+30,=-(x+3)+ -3-2 -3，第19页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四等号成立的条件是x故 的取值范围是(-, ,+).第20页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【反思感悟】1.利用基本不等式求最值的关键在于凑“和”与“积”的定值.

7、2.基本不等式求最值，常为有条件最值问题.如本例(2)，其关键是充分利用条件转化为可利用基本不等式求最值，并要注意“一正、二定、三相等”.第21页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【变式备选】若正实数x,y满足2x+y+6=xy,则xy的最小值是_.【解析】xy=2x+y+6 令xy=t2(t0),可得t2- -60，注意到t0，解得t ,故xy的最小值为18.答案：18第22页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四4(2010年柳州一模)如果正数a、b满足abab3，则ab的取值范围是_答案：第23页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星

8、期四第24页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四第25页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四变式探究 1已知a0，b0，且ab，则 的大小关系是_答案：第26页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四设a0，b0，则下列不等式中不成立的是()第27页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四第28页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四第29页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四变式探究A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：a2b22ab中参数

9、的取值不只是仅可以取正数均值不等式 才需应满足a0，b0.答案：A第30页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四变式探究3若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是()第31页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四1在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正各项均为正；二定积或和为定值；三相等等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.第32页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四第33页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四3利用均值不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正、二定、三相等，和定积最

10、大，积定和最小”这17字方针常用的方法为：拆、凑、平方第34页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四第35页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四A8 B4 C1第36页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四 基本不等式的实际应用【方法点睛】基本不等式实际应用题的特点(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解.(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对

11、应函数的单调性求解.第37页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【例2】某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计.(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.第38页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【解题指南】(1)由题意设出未知量，构造函数关

12、系式，变形转化利用基本不等式求得最值，得出结论；(2)先由限制条件确定自变量的范围，然后判断(1)中函数的单调性，利用单调性求最值，得出结论.【规范解答】(1)设污水处理池的宽为x米，则长为 米.则总造价f(x)=400( )+2482x+80162第39页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四=1 296x+ +12 960=1 296( )+12 9601 296 +12 960=38 880(元)，当且仅当x= (x0),即x=10时取等号.当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元.第40页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星

13、期四(2)由限制条件知10 x16.设g(x)=x+ (10 x16),由函数性质易知g(x)在10 ，16上是增函数，当x=10 时(此时 =16),g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296(10 + )+12 960=38 882(元).当长为16米，宽为10 米时，总造价最低，为38 882元.第41页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【反思感悟】1.应用基本不等式解实际应用题时定义域是关键，因而在实际解题时要密切注意定义域的取值范围，它可直接决定最值能否取到.2.本例(2)中由于条件限制应用基本不等式结果不成立，从而转化为应用函数的单调性求解，这也是此部分内

14、容的常规解法.第42页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【变式训练】某种汽车，购车费用为10万元，每年的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元，年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元.这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最少？【解析】由于“年维修费第一年是0.2万元，以后逐年递增0.2万元”，可知汽车每年维修费构成以0.2万元为首项，0.2万元为公差的等差数列，因此，汽车使用x年时总的维修费用为 万元.第43页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四设汽车的年平均费用为y万元，则有y=1+ =3,当且仅当 ，即x=10时，y取得最小值.答：汽车使

15、用10年时，它的年平均费用最少.第44页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四 基本不等式与其他知识的综合应用【方法点睛】基本不等式应用的广泛性 以函数、方程、立体几何、解析几何、数列等知识为载体提供条件而后转化为基本不等式求最值，是本部分中常见题型，且在高考中也时常出现，其解题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式，同时要注意范围的变化影响. 第45页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【例3】(1)(2012揭阳模拟)已知函数f(x)=log2x(x0)的反函数为g(x),且有g(a)g(b)=8，若a0,b0，则 的最小值为_.(2)已

16、知函数f(x)=log2k(x+4)+2+1恒过一定点P，且点P在直线 =2(a,bR+)上，则3a+2b的最小值为_.【解题指南】(1)求出a+b后，再利用基本不等式可求.(2)求得P点坐标代入直线方程，再用“1”的代换转化为基本不等式求解.第46页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【规范解答】(1)g(x)=2x,g(a)g(b)=8,2a2b=2a+b=8=23,a+b=3,a0,b0,= =3(当且仅当 时取“=”).答案:3第47页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四(2)由函数f(x)=log2k(x+4)+2+1可知，当x=-4时，f(x

17、)=2,即P点坐标为(-4，2)，又P在直线 =2(a,bR+)上，故 =2，即 =1,3a+2b=(3a+2b)( )=8+等号当且仅当3a2=4b2，即a= b= +1时取得.答案：8+4 第48页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【互动探究】若本例(2)中函数改为f(x)=2k(x+1)+1,其余条件不变，又将如何求解?【解析】由f(x)=2k(x+1)+1可知图象恒过定点P(-1，2)，依题意，P在直线上，故 即 =1,3a+2b=(3a+2b)( )= 等号当且仅当a= +1时取得.所以3a+2b的最小值为第49页，共72页，2022年，5月20日，16点23分

18、，星期四【反思感悟】解决与其他章节知识综合的基本不等式题目，其难点在于如何从已知条件中寻找基本关系，本例(1)中其关键是求出a,b的关系，再利用基本不等式求解，而对本例(2)中其关键点是确定图象过的定点，确定了这一定点后问题便会迎刃而解.第50页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【变式备选】设x,y满足约束条件 若目标函数z=abx+y(a0,b0)的最大值为8，则a+b的最小值为_.【解析】已知x,y满足约束条件 其可行域是一个四边形，四个顶点是(0,0)，(0，2)，( ，0)，(1，4)，易见目标函数z=abx+y(a0,b0)在(1，4)取最大值8，所以8=ab+

19、4，即ab=4，a+b2 =4,第51页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四当且仅当a=b=2时，等号成立.所以a+b的最小值为4.答案：4第52页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四1(2010年成都新都一中测试)若a0，b0且ab4，则下列不等式恒成立的是()D2(2010年广东实验中学月考)若直线2axby20(ab0)，始终平分圆x2y22x4y10的周长，则 的最小值是_4第53页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【易错误区】忽视题目的基本含义导致误解【典例】(2011江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直

20、线与函数f(x)= 的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是_.【解题指南】由题目已知条件可知两交点必关于原点对称，从而设出交点代入两点间距离公式，整理后应用基本不等式可解.第54页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【规范解答】由题意可知f(x)= 的图象关于原点对称，而与过原点的直线相交，则两交点必关于原点对称，故可设两交点分别为P(x, )与Q(-x,- )，由两点间距离公式可得|PQ|= 4等号当且仅当x2=2时取得.答案：4第55页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下误区警示和备

21、考建议：误区警示在解答本题时主要有两点误区：(1)对于题目自身的含义理解不透，无法掌握交点关系，造成不会解.(2)有些同学设出直线方程与之联立得出两交点关系，再应用两点间距离公式求解时出现运算繁琐情况，导致错解.第56页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四备考建议解决此类问题时还有以下几点在备考时要高度关注(1)理解函数的图象性质，明确其表达的含义.(2)熟记要掌握的公式，如本例中的两点间距离公式.(3)思考要周密，运算要准确、快速.另外，由于此类题目往往以小题形式出现，因而能用简便方法的尽量使用简便方法.第57页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四1.(2011重庆高考)已知a0,b0,a+b=2,则y= 的最小值是( )(A) (B)4 (C) (D)5【解析】选C.由a+b=2,得 =1, (等号当且仅当b=2a时取得).第58页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四2.(2011陕西高考)设0ab，则下列不等式中正确的是( )(A)ab (B)a b(C)a (D) b【解析】选B.方法一,已知ab和 比较a与 ，因为a2- =a(a-b)0,所以a0得 0，所以 b,综上可得a b;故选B.第59页，共72页，2022年，5月20日，16点23分，星期四方法二,本题还可用特值法求解.取a=2,b=8,则 =4,