近世代数试卷

1、期末考试试卷（A卷）学年第二学期考试科目:近世代数考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号 姓名 年级专业题号一二三四五六七总分得分评阅人一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“；错的打“X”；每小 题3分，共15分）1、 如果环R的阶 2，那么R的单位元1。0 .（）2、 如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群.（X）3、如果循环群G = O中生成元a的阶是无限的，则G与整数加群同构.（）4、群G的子群H是不变子群的充要条件为Vg g G,Vh g H;g-iHg c H .（）5、设A、B、D都是非空集合，则A x B到D的每个映射都叫作二元运算.（X）二、单项选择题（共3

2、x 5=15分）1、设A , A ,A和D都是非空集合，而f是A x A x x A到D的一个映射， TOC o 1-5 h z 12n12n那么（）集合A ,A，,A ,D中两两都不相同；A ,A，,A的次序不能调换；12n12nA x A x x A中不同的元对应的象必不相同；12n一个元（aa尸,a的象可以不唯一。2、设。是整数集Z上的二元运算，其中a b = max a,b（即取a与b中的最大者），那么。在Z中（）不适合交换律；不适合结合律；存在单位元；每个元都有逆元。3、设（G,。）为群，其中G是实数集，而乘法。：a。b = a + b + k，这里k为G中固 定的常数。那么群（G,

3、。）中的单位元e和元x的逆元分别是（）1和0;k 和（x + 2k）。1和0;4、设H是群G的子群，且G有左陪集分类H,aH,bH,cH。如果|H| = 6,那么G的阶G| =（）6；24；10；12。5、设f : G1 T G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（）f的同态核是G1的不变子群；G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；G1的子群的象是G2的子群；G1的不变子群的象是G2的不变子群。三、填空题（共3x 5=15分）1、设集合 A = 1,0,1； B = b,2，则有 B x A =2、如果f是A与A间的一一映射，a是A的一个元，则f -1 f （a） =3、设集合A有一个分类

4、，其中A.与A是A的两个类，如果A。A，那么 i ji jA A =。4、设群G中元素a的阶为m，如果an = e，那么m与n存在整除关系为5、凯莱定理说：任一个子群都同一个 同构。四、计算题（15+10分=25分）1、给出下列四个四元置换234 ，1234 f 1234 f 1234 冗=，冗 =，冗 =，冗 =11234 J21243 J32134 J42143组成的群G，试写出G的乘法表，并且求出G的单位元及兀1,兀1,兀1,七1和G的 所有子群。2、设Z6lhb瓯1即是模 6的剩余类环，且f (x),g(x) G Z6 lx。如果 f (x)= 乱3 +乱+ g (x) = x2 + I5L + I3,计算 f (x) + g (x)、f (x) - g (x)以及 f (x) g (x)。五、证明题(2x 15分二30分)1、设 R 为实数集，Va,b g R,a 丰 0，令 f : R R,x ax + b, Vx g R，将 R 的 所有这样的变换构成一个集合G =f(ab)|Va,b g R,