2023版高三一轮总复习数学新教材老高考人教版教案：第2章 第3节　指数与指数函数

1、 指数与指数函数考试要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用1根式(1)如果xna，那么x叫做a的n次方根(2)式子 eq r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数(3)( eq r(n,a)na当n为奇数时， eq r(n,an)a；当n为偶数时， eq r(n,an)|a| eq blc(avs4alco1(a，a0，,a，a0，m，nN*，n1).正数的负分数指数幂，a eq sup6(f(m,n) eq f

2、(1,asup6( eq sup6(f(m,n) eq f(1,r(n,am)(a0，m，nN*，n1).0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义3指数幂的运算性质arasars；(ar)sars；(ab)rarbr(a0，b0，r，sR).4指数函数及其性质(1)概念：函数yax(a0，且a1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数提醒：形如ykax，yaxk(kR，且k0；a0且a1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数(2)指数函数的图象与性质a10a0时，y1；当x0时，0y1当x1；当x0时，0y0，且a1)的图象经过 eq blc(rc)(avs4alco1(

3、2，f(1,3)，则f(1)()A1B2C eq r(3)D3C依题意可知a2 eq f(1,3)，解得a eq f(r(3),3)，所以f(x) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3)x，所以f(1) eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),3) eq sup10(1) eq r(3).2某种产品的产量原来是a件，在今后m年内，计划使每年的产量比上一年增加p%，则该产品的产量y随年数x变化的函数解析式为_答案ya(1p%)x(0 xm，xN)3计算： eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq f(1,3) eq blc(rc)(avs

4、4alco1(f(7,6)08 eq sup10(f(1,4) eq r(4,2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sup10(f(2,3)_2原式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup10(f(1,3)12 eq sup10(f(3,4)2 eq sup10(f(1,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3) eq sup10(f(1,3)2.4已知a eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(f(1,3)，b eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(

5、f(1,4)，c eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup10(f(3,4)，则a，b，c的大小关系是_(用“”连接)cbay eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)x是减函数， eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(f(1,3) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5) eq sup10(f(1,4) eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,5)0，则ab1，又c eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq sup10(f(3,4) eq blc(rc)(avs4alco

6、1(f(3,2)01，cba. 考点一指数幂的运算1若x eq sup10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2) eq r(6)，则 eq f(（xx1）（x eq sup10( eq f(3,2)x eq sup10( eq f(3,2)）,x2x22)_ eq r(6)x eq sup10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2) eq r(6)，xx1(x eq sup10(f(1,2)x eq sup10( eq f(1,2)224，x2x2(xx1)2214，x eq sup10( eq f(3,2)x eq sup10(f(3,2)(x eq sup

7、10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2)(xx eq sup10( eq f(1,2)x eq sup10(f(1,2)x1)3 eq r(6)， eq f(（xx1）（x eq sup10( eq f(3,2)x eq sup10(f(3,2)）,x2x22 ) eq f(43r(6),12) eq r(6).2计算： eq blc(rc)(avs4alco1(f(27,8) eq sup10(f(2,3)0.002 eq sup10(f(1,2)10( eq r(5)2)10_ eq f(167,9)原式 eq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2) eq s

8、up10(2)500 eq sup10(f(1,2) eq f(10（r(5)2）,（r(5)2）（r(5)2）)1 eq f(4,9)10 eq r(5)10 eq r(5)201 eq f(167,9).3计算： eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4) eq sup10(f(1,2) eq f(r(blc(rc)(avs4alco1(4ab1)3),（0.1）1（a3b3）sup10(f(1,2)_(a0，b0). eq f(8,5)原式 eq f(24sup10(f(3,2)asup10(f(3,2)b eq sup10(f(3,2),10asup10(f(3,2)b e

9、q sup10(f(3,2) eq f(8,5).指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式要求统一 考点二指数函数的图象及应用 eq avs4al(典例1)(1)函数f(x)axb的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()Aa1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)已知实数a，b满足等式2 021a2 022b，Aab0Bab

10、0C0ab D0ba(1)D(2)C(1)由f(x)axb的图象可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1.又f(0)ab0，即b0.(2)如图，观察易知，ab0或0b0，且a1)的图象有两个公共点，则a(1)A(2) eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2)(1)法一：当x0时，y0，排除C.又f(x)为偶函数，排除B，D，故选A.法二：y1e|x|的图象可由ye|x|关于x轴对称得到ye|x|的图象，再向上平移一个单位长度得到，故选A.(2)y|ax1|的图象是由yax的图象先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的当a1时，如图1

11、，两个图象只有一个交点，不合题意；当0a1时，如图2，要使两个图象有两个交点，则02a1，得0a eq f(1,2).综上可知，a的取值范围为 eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(1,2).图1图2 考点三指数函数的性质及应用比较指数式的大小典例21(1)已知a20.2，b0.40.2，c0.40.6，Aabc BacbCcab Dbca(2)(2021江淮十校联考)若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0Cxy0 Dxy0(1)A(2)B(1)由0.20.6，0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc.因为a20.21，b0.40.21，所以ab.

12、综上，abc，故选(2)设函数f(x)2x5x，易知f(x)为增函数又f(y)2y5y，由已知得f(x)f(y)，所以xy，所以xy0.解简单的指数方程或不等式 典例22 (1)已知实数a1，函数f(x) eq blc(avs4alco1(4x，x0，,2ax，x0，)若f(1a)f(a1)，则a的值为_(2)设函数f(x) eq blc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)x7，x0，,r(x)，x0，)若f(a)1，则实数a的取值范围是_(1) eq f(1,2)(2)(3，1)(1)当a1时，2a(1a)4a1无解，故a的值为 eq f(1,2).(2)当

13、a0时，原不等式化为 eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2) eq sup10(a)71，则2a3，所以3a0.当a0时，则 eq r(a)1，0a0对任意xR都成立，则实数a的取值范围是_(1)1(2)(，4(3)(1，)(1)法一(定义法)：因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(x)f(x)对任意的xR恒成立，所以(x)3(a2x2x)x3(a2x2x)对任意的xR恒成立，所以x3(a1)(2x2x)0对任意的xR恒成立，所以a1.法二(取特殊值检验法)：因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(1)f(1)，所以 eq bl

14、c(rc)(avs4alco1(f(a,2)2)2a eq f(1,2)，解得a1，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.法三(转化法)：由题意知f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数设g(x)x3，h(x)a2x2x，因为g(x)x3为奇函数，所以h(x)a2x2x为奇函数，所以h(0)a20200，解得a1，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.(2)令t|2xm|，则t|2xm|在区间 eq blcrc)(avs4alco1(f(m,2)，)上单调递增，在区间 eq blc(rc(avs4alco1(，f(m,2)上单调递减而y2t是增函数，所以要

15、使函数f(x)2|2xm|在2，)上单调递增，则有 eq f(m,2)2，即m4，所以m的取值范围是(，4.(3)原不等式可化为a4x2x1对xR恒成立，令t2x，则t0，y4x2x1t22t(t1)211，当t1时，ymax1，a1.1.比较指数式的大小的方法(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”2指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化3涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断跟进训练2(1)已知函数f(x) eq f(4x1,2x)，af(20.3)，bf(0.20.3)，cf(log0.32)